เอกสารประกอบการสอน หลักพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ เรยี บเรยี งโดย อาจารยจ์ รี ะนนั เสนาจกั ร์ ครศุ าสตร์ มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏมหาสารคาม หลกั พน้ื ฐานทางคณิตศาสตร์ 1 บทที่ 2 หลกั พน้ื ฐานทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีความสำคัญยิ่งสำหรับการพัฒนาการคิดและการให้เหตุผลของมนุษย์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในโลกปัจจุบันสภาพการดำเนินชีวิตในสังคมมนุษย์นับวันซับซ้อนยิ่งขึ้น ทำให้มีความ จำเปน็ ตอ้ งใช้ความรู้ ความคดิ และเหตุผลทางคณติ ศาสตรใ์ นการแกป้ ัญหาและจดั การกบั สถานการณ์อย่าง มีระบบ มีแบบแผนที่ต่างไปจากในอดีต การจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์เพื่อให้ผู้เรียนมีความรู้ทาง คณิตศาสตรท์ ีเ่ พียงพอ มีความสามารถวิเคราะหป์ ัญหาหรือสถานการณ์ไดอ้ ย่างถ่ถี ้วนรอบคอบ และมีความ ชำนาญในการนำความรู้ไปใช้ ตลอดจนพัฒนาความคิดทางคณิตศาสตร์ในระดับที่สามารถจัดการกับสิ่ง ต่าง ๆ ในชวี ิตประจำวนั ได้อยา่ งถกู ต้องเหมาะสม จำเป็นอยา่ งยิ่งที่ผู้สอนต้องมีความรู้เกี่ยวกับมโนทัศน์ทาง คณติ ศาสตร์เป็นอยา่ งดี เพ่ือนำไปใช้ในการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตรไ์ ดอ้ ยา่ งมปี ระสิทธิภาพ ลักษณะและธรรมชาติของคณติ ศาสตร์ คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีมาแต่โบราณ คนส่วนใหญ่อาจมีความเข้าใจว่า คณิตศาสตร์ หมายถึง ตัวเลขและการคำนวณ สิ่งที่คนทั่วไปเข้าใจเป็นผลมาจากประสบการณ์การเรียนรู้และการนำความรู้ทาง คณิตศาสตร์มาใช้ในชีวิตประจำวัน เป็นผลให้ความหมายและขอบเขตของคณิตศาสตร์ในแต่ละบุคคลและ ยุคสมยั มมี ุมมองทแี่ ตกต่างกันไป ดงั ตอ่ ไปน้ี คณติ ศาสตรเ์ ป็นวชิ าทว่ี ่าด้วยการคำนวณ คณิตศาสตร์เป็นกลุ่มของวิชาต่าง ๆ ที่มีความเกี่ยวข้องกับตัวเลข สัญลักษณ์ สมบัติ ปริมาณ ขนาด รปู ทรง และความสัมพันธ์ ตัวอย่างวิชาในคณติ ศาสตร์ ไดแ้ ก่ เลขคณิต เรขาคณติ พีชคณติ แคลคลู สั คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีลักษณะเป็นนามธรรมมีโครงสร้างซึ่งประกอบด้วย คำอนิยาม บท นิยาม และสัจพจน์ ทเี่ ป็นข้อตกลงเบ้อื งตน้ จากนั้นจึงใชก้ ารใหเ้ หตุผล ท่ีสมเหตุสมผล สรา้ งทฤษฎบี ทตา่ ง ๆ ขึ้น และนำไปใช้ คณิตศาสตร์มีความถูกต้องเทีย่ งตรงคงเส้นคงวา มีระเบียบแบบแผนเป็นเหตุเป็นผลและมี ความสมบรู ณ์ในตนเอง คณิตศาสตร์เป็นทั้งศาสตร์และศิลป์ท่ีศกึ ษาเกี่ยวกับรูปแบบความของความสัมพันธ์ เพื่อให้ได้ ข้อสรุปและนำไปใช้ประโยชน์ คณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นภาษาที่เป็นสากล ที่ทุกคนเข้าใจตรงกัน ในการ ส่ือสาร สอื่ ความหมายและถ่ายทอดความรูร้ ะหว่างศาสตรต์ า่ ง ๆ คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวข้องกับการคิด การใช้กระบวนการคิด ต้องอาศัยเหตุผลและการ เรยี นคณิตศาสตรเ์ ปน็ การฝึกแกป้ ัญหาตา่ ง ๆ คณิตศาสตร์เป็นภาษาอย่างหนึ่ง สัญลักษณ์ที่ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์เกิดขึ้นจากการคิดและตก ลงยอมรับทจ่ี ะนำไปใช้ คณิตศาสตรเ์ ป็นวชิ าทีม่ ีแบบรปู (Pattern) เราจะเหน็ วา่ การคิดทางคณิตศาสตร์นั้นต้องมีแบบ แผน มีแบบรปู ไม่ว่าจะคิดเรื่องใดกต็ าม ทุกขน้ั ตอนจะตอบไดแ้ ละจำแนกออกมาให้เหน็ จริง การจัดการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตรร์ ะดบั ประถมศึกษา หลกั พ้นื ฐานทางคณติ ศาสตร์ 2 จะเห็นได้ว่าวิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีลักษณะเฉพาะ การให้ความหมายและการกำหนด ขอบเขตของคณิตศาสตร์เปลี่ยนแปลงไปตามการใช้งานของคณิตศาสตร์ ในอดีตการเรียนรู้คณิตศาสตร์ มุ่งเน้นการใชจ้ ำนวนและการคิดเลขในชีวิตประจำวัน แต่ในปัจจุบนั มุง่ เน้นการเชื่อมโยงความรู้ในเนื้อหามา ประกอบการคดิ เพื่อแก้ปญั หาอย่างมีประสิทธิภาพและสมเหตุสมผล มกี ารทำงานอยา่ งเปน็ ระบบ มรี ะเบียบ แบบแผน และมีขั้นตอนการคิดหรือการทำงานท่ีเป็นไปตามหลักวิชา ความสำเร็จในการเรียนคณิตศาสตร์ อยู่ที่ความสามารถในการนำความรู้ทีไ่ ด้รับไปใช้ให้เป็นประโยชน์ต่อตนเองและสงั คมได้จริง แม้ความหมาย และขอบเขตของคณิตศาสตร์จะเปลี่ยนแปลงตามมุมองของมนุษย์ในแต่ละยุคสมัยก็ตาม แต่ลักษณะและ ธรรมชาติของคณติ ศาสตร์ท่ยี ังคงเปน็ จรงิ ในทุกยุคสมยั ซึ่งอาจสรปุ ไดด้ ังนี้ 1. คณิตศาสตร์มลี ักษณะเป็นนามธรรม ใชภ้ าษาและสัญลักษณ์ในการสือ่ ความหมาย 2. คณิตศาสตร์เปน็ ศาสตร์ท่ีเกยี่ วข้องกับการคำนวณ การคิด และการแกป้ ญั หา 3. คณติ ศาสตรเ์ ปน็ ศาสตรแ์ ห่งการมีระบบแบบแผนชดั เจน มโี ครงสรา้ ง มีเหตผุ ลและสามารถ พสิ จู นไ์ ด้ 4. คณิตศาสตร์เป็นศิลปะอย่างหนึ่งที่แสดงถึงความมีระเบียบและความกลมกลืนที่เกิดข้ึน ออกมาทางความคิดสร้างสรรค์ การมีจินตนาการ มีความคิดริเริ่มที่จะแสดงความคิดใหม่ ๆ และโครงสร้าง ใหม่ ๆ ทางคณติ ศาสตร์ออกมา 5. คณติ ศาสตรม์ ีความเป็นสากล สามารถใช้งานได้อย่างกว้างขวางเปน็ สากลท่ัวไป ความสำคัญของคณติ ศาสตร์ คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีวิวัฒนาการมาเป็นเวลานาน มีอิทธิพลต่อชีวิตความเป็นอยู่ของมนุษย์ จนถึงปัจจุบันและคาดว่าจะยังทรงอิทธิพลอยู่ต่อไปในอนาคต ทั้งยังเป็นเครื่ องมือในการศึกษาด้าน วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ตลอดจนศาสตร์อื่น ๆ ที่ต้องอาศัยความรู้ทางคณิตศาสตร์ ดังคำกล่าวของ คาร์ล ฟรีดริค เกาส์ (Carl Friedrich Gauss) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ว่า “คณิตศาสตร์เป็นราชินีของ วิทยาศาสตร์และเลขคณิตเป็นราชินีของคณิตศาสตร์” (Mathematics is the queen of sciences and arithmetic is the queen of mathematics) คณิตศาสตร์จึงมีประโยชน์ต่อการดำรงชีวิตและช่วยพัฒนา คุณภาพชีวิตให้ดีขึ้น ก่อให้เกิดความเจริญก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี นอกจากนี้คณิตศาสตร์ ยังมีบทบาทสำคัญยิ่งต่อการพัฒนาความคิดของมนุษย์ให้สมบูรณ์ มีความสมดุลทั้งทางร่างกาย จิตใจ สติปัญญา และอารมณ์ มีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งต่อการพัฒนาความคิดของมนุษย์ ทำให้มนุษย์มีความคิด สร้างสรรค์ คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ ระเบียบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาและสถานการณ์ได้ อย่างถี่ถ้วนรอบคอบ ทำให้สามารถคาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ และแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องเหมาะสม และสามารถอย่รู ่วมกบั ผู้อนื่ ได้อยา่ งมีความสุข จะเหน็ ได้ว่าคณิตศาสตร์มคี วามสำคัญท้งั ในแง่ของการใช้งานในชวี ิตจริง และการพัฒนาการศึกษา ให้แก่สังคม อีกทั้งมีความสำคัญในมุมมองของการเป็นศาสตร์แห่งการพัฒนาความคิด ความมีเหตุผลและ การพฒั นาทกั ษะชีวิต ดว้ ยเหตุผลดงั กล่าวมาข้างต้นจงึ พอสรปุ ความสำคัญของคณิตศาสตร์ ได้ดังน้ี การจดั การเรยี นรูค้ ณติ ศาสตรร์ ะดบั ประถมศกึ ษา หลักพื้นฐานทางคณติ ศาสตร์ 3 1. คณิตศาสตรเ์ ปน็ พนื้ ฐานของการพฒั นาศาสตรส์ าขาอนื่ ในฐานะเป็นเครื่องมือในการทำงาน และสรา้ งองค์ความรใู้ หม่ เช่น วทิ ยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ เป็นตน้ 2. คณิตศาสตร์ช่วยพัฒนาการคิดของมนุษย์ การเรียนรู้คณิตศาสตร์ทำให้มนุษย์ต้องใช้การ คิดที่หลากหลาย นอกจากจะทำให้เกิดความคิดทางคณิตศาสตร์ (Mathematics thought) แล้ว ยังช่วย พัฒนาความสามารถในการคิด (Thinking ability) ของมนุษย์ให้ดียิ่งขึ้น เช่น การคิดวิเคราะห์ การคิด สังเคราะห์ การคดิ อยา่ งมวี ิจารณญาณ เป็นตน้ 3. คณิตศาสตร์ทำให้มนุษย์มีเหตุผล เนื้อหาบางเรื่องของคณิตศาสตร์ช่วยพัฒนา ความสามารถในการให้เหตุผล (Reasoning ability) เช่น ตรรกศาสตร์ (Logic) และการพิสจู น์ (Proof) ทาง คณิตศาสตร์ เป็นต้น 4. ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์เป็นส่วนหนึ่งของทักษะชีวิต เช่น ทักษะการ แก้ปัญหา ทักษะการสื่อสาร ทักษะการเชื่อมโยงความรู้กับศาสตร์อื่น ๆ แลการคิดริเริ่มสร้างสรรค์ รวมท้ัง ช่วยพัฒนาความสามารถในการทำงานอย่างมรี ะบบ มีการวางแผนและการดำเนินงานอย่างเป็นขั้นตอน จึง เปน็ ผลให้สามารถอย่รู ่วมกับผอู้ นื่ ไดอ้ ย่างมคี วามสขุ โครงสร้างของคณติ ศาสตร์ ธรรมชาติของวิชาคณิตศาสตร์นั้นมีองค์ประกอบแยกได้เป็น 2 ส่วนใหญ่ ๆ คือ โครงสร้าง ของ คณิตศาสตร์ (Mathematical structure) และกระบวนการของเหตุและผล (Reasoning) ซึ่งองค์ประกอบ ทั้งสองนี้มีความสำคัญต่อการศึกษาและการพัฒนาคณิตศาสตร์เป็นอย่างยิ่ง ในบทนี้จะ กล่าวถึงโครงสร้าง ของคณิตศาสตรก์ อ่ น โครงสร้างของคณิตศาสตร์หรืออาจเรียกอีกอย่างหนึ่งว่าระบบของคณิตศาสตร์ โครงสร้างของ คณิตศาสตร์ในรูปที่สมบูรณ์นั้น เริ่มจากปัญหาของธรรมชาติ อาจจะเป็นทาง วิทยาศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ ศึกษาศาสตร์ เทคโนโลยีและวิศวกรรมศาสตร์ เป็นต้น เมื่อพิจารณาปัญหาต่าง ๆ ของเนื้อหาเหล่านั้นแล้ว สรุปในรูปนามธรรม สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหานั้น ๆ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้จะ ประกอบดว้ ย คำอนยิ าม คำนิยาม และสจั พจน์ จากนนั้ ก็ใชต้ รรกศาสตรส์ รุปออกมาเปน็ ทฤษฎหี รือกฎ แล้ว นำทฤษฎีบทหรือกฎเหล่านั้นไปประยุกต์ใช้ในธรรมชาติต่อไป เราจะได้ศึกษาความหมายขององค์ประกอบ ของโครงสรา้ งของ คณติ ศาสตร์ท้งั 4 สว่ น ดงั ตอ่ ไปนี้ 1. คำอนยิ าม ในระบบใดระบบหนึ่งจะมีคำบางคำที่ไม่สามารถให้ความหมายได้ชัดเจน ตัวอย่างเช่น คำ ว่า “สีขาว” ถ้าอธิบายว่า สีขาว คือ สีของสำลี ก็จะมีปัญหาถามต่อไปว่า สีของสำลีเป็นอย่างไรซึ่งจำเป็น จะต้องวกกลับมาใช้ คำวา่ “สีขาว” ไปอธบิ ายสขี องสำลี จึงเปน็ การวนเวยี นไปมา ซ่งึ มลี กั ษณะงกู นิ หางโดย ท่ียังไม่รวู้ า่ “สขี าว” เป็นอย่างไร โดยธรรมชาติแล้วการท่คี นเราสามารถเข้าใจความหมายของสีขาวว่าเป็น อย่างไรเพราะคนมีความคุ้นเคยกับวัตถุสีขาวมาก่อนไม่ได้ทราบ ความหมายของ “สีขาว” โดยการอธิบาย ดว้ ยคำอนื่ การจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตรร์ ะดบั ประถมศึกษา หลกั พนื้ ฐานทางคณติ ศาสตร์ 4 ในระบบคณิตศาสตร์มีบางคำ ที่ไม่สามารถอธิบายความหมายได้เช่นกัน เช่น “จุด” และ “เส้น” ถา้ พยายามอธบิ ายคำน้ี “จุด คือ รอยตดั ของเส้น” “เสน้ คอื ทางเดนิ ของจุด” จะพบว่าการให้ความหมายของ “จุด” ต้องใช้คำว่า “เส้น” และการให้ความหมายของ “เส้น” ต้องใช้คำว่า “จุด” เป็นเครื่องอธิบาย ซึ่งมีลักษณะไม่สิ้นสุด เพราะฝากความไม่รู้เรื่องของจุดไว้กับ เสน้ และฝากความไมร่ เู้ ร่อื งของเส้นไวก้ ับจดุ ซงึ่ โดยที่จริงกไ็ ม่ไดร้ ู้อะไรข้นึ เลย แตก่ ารที่เรารู้ความหมายของ จุดและเส้นก็อาศัยความคนุ้ เคยกบั จดุ และเส้นมาก่อนนน้ั เอง คำซึ่งไม่สามารถอธิบายความหมายด้วยคำอื่นได้ดังที่ยกตัวอย่างมานี้ เรียกว่า คำพื้นฐาน เบอ้ื งต้น (Primitive term) หรือ คำอนิยาม (Undefined term) ตัวอย่างคำอนิยามในระบบคณิตศาสตร์ เชน่ จุด เส้น ระนาบ อย่บู น ระหวา่ ง เซต จำนวน การเทา่ กนั ทกุ ประการ นอ้ ยกว่า เป็นต้น 2. คำนิยาม คำนิยาม (Defined term) หรอื บทนยิ าม คอื คำที่สามารถนำคำอื่นมาอธิบาย ความหมาย ให้เข้าใจ และชัดเจนได้ อาจประกอบด้วยคำอนิยามหรือคำนิยามอื่น ๆ ก็ได้ คำนิยามจะมีลักษณะเป็น ขอ้ ความผันกลบั ได้ หรอื สามารถเขียนในรปู ข้อความผันกลบั ได้ ดงั เชน่ “สเี่ หล่ยี มจตั รุ ัส คือ สเ่ี หล่ียมทมี่ ดี ้านท้ังสด่ี า้ นเทา่ กนั และมุมท้ังสม่ี ุมเป็นมมุ ฉาก” “ถา้ a,b เป็นจำนวนจริง กำหนด a*b=a+b-ab” ให้พจิ ารณาจากตัวอย่างตอ่ ไปนี้ “ให้ A,B เป็นสามเหลี่ยมสองรูป A,B จะเป็นสามเหลียมที่เท่ากันทุกประการ เขียน แทนด้วย A≅B ก็ต่อเมื่อ ด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมเท่ากัน และมุมทั้งสามของสามเหลี่ยมเท่ากันด้านต่อ ดา้ น และมมุ ต่อมมุ ” จากขอ้ ความดังกล่าวประกอบดว้ ยขอ้ ความ 2 แบบ คอื
การจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ระดบั ประถมศึกษา หลักพ้ืนฐานทางคณิตศาสตร์ 5 3. สัจพจน์ ในการดำเนินการร่วมกันในระบบใดระบบหนึ่ง จำเป็นอย่างยิ่งจะต้องมีข้อตกลง หรือ กตกิ าหรอื ความเชื่อรว่ มกันเป็นหลกั ยึดในเบือ้ งตน้ โดยไมจ่ ำเป็นตอ้ งพสิ จู น์หาเหตุผลเพ่อื สนบั สนุนขอ้ ตกลง กตกิ า หรือความเชือ่ เหลา่ นน้ั ทัง้ นก้ี เ็ พราะเหตผุ ลหลายประการ คือ 3.1 มีความเช่ือเดิมร่วมกนั เป็นสมมติฐาน ซ่ึงถงึ แม้จะไมส่ ามารถแสดงให้เห็นจริงได้ก็ตาม เชน่ ในทางศาสนามีความเชื่อวา่ ทำดแี ลว้ จะไดข้ น้ึ สวรรค์ เปน็ ต้น 3.2 สิ่งเหล่านี้นัน้ มีความเป็นจริงด้วยตนเอง เช่น สิ่งทั้งหลายต่างก็เท่ากับตัวมันเอง หรือ คนทกุ คนต้องตาย 3.3 มีความจำเป็นต้องยอมรับหลักการเหล่านั้นเพื่อความสะดวกสบายในการอยู่ร่วมกัน หรือเพื่อดำเนินการร่วมกัน ดังเช่น ในการเล่นฟุตบอลจำเป็นตอ้ งมีกตกิ าที่ต้องยอมรับร่วมกนั เพื่อจะได้เลน่ ดว้ ยกนั ได้ เป็นต้น หลักการที่ยึดถือร่วมกันโดยไม่ต้องพิสูจน์หรือหาเหตุผลประกอบดังที่กล่ าวมานั้นเรียกว่า สัจพจน์ (Axiom หรือ Postulate หรือ Assumption) หรือบางครั้งอาจเรียกว่า สมมติรากฐาน หรือ สิ่งที่ เหน็ จริงแลว้ หรอื ข้อตกลง หรือ กติกา หรอื ความจรงิ เบ้ืองตน้ หรือ ข้อตกลงข้นั ปฐมฐาน ตัวอย่างเชน่ คนทกุ คนเกิดมาแล้วต้องตาย ไมม่ สี ่งิ ทีม่ ีชีวติ อาศยั อยบู่ นดวงอาทติ ย์ สามารถลากเสน้ จากจดุ หน่ึงไปยังจดุ หนง่ึ ได้เสมอ มมุ ฉากทั้งหลายย่อมเท่ากัน การกำหนดสจั พจน์สำหรบั คณิตศาสตรแ์ ต่ละระบบต้องระมดั ระวังให้มีจำนวนพอดี นน่ั คอื ระบบสจั พจน์จะต้องมสี มบัตติ อ่ ไปน้ี
การจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตรร์ ะดบั ประถมศกึ ษา หลักพนื้ ฐานทางคณิตศาสตร์ 6 4.1 ทฤษฎีบท (Theorems) ข้อความที่จดั ว่าเป็นทฤษฎีบทในระบบที่จะต้องเป็น ข้อความ ที่มีความสำคญั และสามารถนำไปใชอ้ า้ งอิงได้เสมอ 4.2 บทแทรก (Corollary) เป็นทฤษฎีที่เป็นผลต่อเนื่องที่ได้มาจากทฤษฎีบทใด บทหนึ่ง หรือหลายบท และสามารถพิสจู น์ได้ทันทีโดยการอา้ งทฤษฎบี ทดงั กล่าว การนำไปใช้เช่นเดยี วกับทฤษฎีบท 4.3 บทตั้ง (Lemma) เป็นทฤษฎีทสี่ ร้างขนึ้ เพ่อื ความสะดวกในการนำไปอา้ งองิ ในตวั ทฤษฎี บท และโอกาสทจ่ี ะนำไปใช้ จะใช้เฉพาะทฤษฎีบททจี่ ำเป็น เทา่ นัน้ กล่าวโดยสรุปว่า การพิจารณาปัญหาของธรรมชาติโดยใช้การสังเกตเพื่อรวม และประมวลผล แล้วไดแ้ บบจำลองทางคณติ ศาสตร์ของเน้ือหานั้น ๆ และใช้ตรรกศาสตร์สรปุ ได้ทฤษฎีบทหรือกฎด้วยวิธีการ ดังกล่าว ทำให้เราค้นพบความสัมพันธ์ใหม่ๆ ซึ่งอาจช่วยในการวางแผนและพัฒนาบุคคล สังคม และ ส่งิ แวดล้อมใหด้ ีขึ้น ซง่ึ ในขณะทใี่ ช้ทฤษฎีบทหรือกฎต่าง ๆ ไปประยกุ ต์กับธรรมชาติน้ัน อาจได้ข้อมูลใหม่ ๆ ก่อให้เกิดการปรับปรุงแบบจำลองจนกระทั่งได้ทฤษฎีบทหรือกฎที่ดีขึ้น แล้วนำไปประยุกต์ใช้หมุนเวียน ตอ่ ไป สำหรับคณติ ศาสตรใ์ นระดับสูงขึ้นไป นักคณิตศาสตรส์ ร้างแบบจำลองทางคณติ ศาสตร์ขึ้นมาเอง แล้ว ค้นหาทฤษฎีบทหรือกฎต่าง ๆ จากแบบจำลอง เรียกคณิตศาสตร์แบบนี้ว่า คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ (Pure mathematics) จะเห็นว่าคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ไม่ได้เริ่มจากปัญหาในธรรมชาติ แต่อย่างไรก็ตามทฤษฎีบท หรือกฎในระบบคณิตศาสตร์บริสุทธิ์อาจนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ ในชีวิตจริงหรือธรรมชาติ ได้ ซ่ึงนบั ว่าเปน็ ผลพลอยได้ โครงสร้างของ คณิตศาสตรจ์ ะเปน็ ไปตามรปู ดังน้ี ภาพที่ 1.1 โครงสรา้ งของคณิตศาสตร์ ท่มี า : สุรพงษ์ คงสตั ย์ (2557, หน้า 28) การจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ระดบั ประถมศึกษา หลักพน้ื ฐานทางคณติ ศาสตร์ 7 มโนทศั น์ทางคณติ ศาสตร์ 1. ความหมายของมโนทัศนท์ างคณติ ศาสตร์ มโนทัศนท์ างคณติ ศาสตร์ (Mathematics Concepts) ไดม้ นี ักวิชาการทงั้ ในและต่างประเทศ ได้ใหค้ วามหมายเกีย่ วกับมโนทศั นท์ างคณติ ศาสตร์ไว้ดงั นี้ เมธี ลิมอักษร (2524, หน้า 4) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ความเข้าใจในวิชาคณติ ศาสตร์ทีไ่ ด้เรยี นรมู้ าแลว้ โดยสามารถสรปุ รวบยอดคุณสมบตั ทิ ีเ่ ป็นองคป์ ระกอบร่วม ของสิ่งที่เราพบเห็น แล้วสามารถกำหนดสัญลักษณ์หรือความหมายแทนคุณสมบัติดังกล่าวได้ เช่น รูปสามเหล่ียม หมายถงึ รูปปิดท่ปี ระกอบดว้ ยดา้ นสามดา้ น เขียนสญั ลักษณ์แทนด้วย △ เปน็ ต้น ณัชชา กมล (2542, หน้า 21) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ความคิดและความเข้าใจเกีย่ วกับวชิ าคณิตศาสตร์ที่เกดิ จากการได้รับประสบการณ์ในการเรียนคณิตศาสตร์ โดยสามารถสรุปความเขา้ ใจทีไ่ ด้ออกมาเปน็ นยิ าม และสามรถจัดประเภทของสิ่งของท่ีเหมือนกนั เข้าด้วยกัน และแยกประเภทของสงิ่ ท่ไี ม่เหมอื นกนั ออกจากกนั ได้ เพลินพศิ ภิรมย์ไกรภักดิ์ (2542, หนา้ 25) ได้ให้ความหมายไวว้ า่ มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ หมายถงึ การจดั กจิ กรรมที่มีการเตรียมการวางแผนไว้เพื่อสง่ เสรมิ ให้เด็กมีประสบการณ์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่ง จะนำไปสู่การเกิดความคิด ความเข้าใจ แล้วสามารถสรุปหรือให้คำจำกัดความเกี่ยวกับคุณลักษณะทาง คณิตศาสตร์ วัชรสันต์ อินธิสาร (2547, หน้า 27) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ หมายถงึ ความคดิ ความเข้าใจเกีย่ วกบั ส่งิ ใดสง่ิ หนงึ่ ที่เกี่ยวกบั คณิตศาสตร์ในด้านจำนวน สัญลกั ษณห์ รือการ ประยุกตใ์ ช้คณิตศาสตร์ ทเ่ี กดิ จากการไดร้ บั ประสบการณ์ในการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ แล้วสรุปรวมให้อยใู่ นรูป นยิ าม ทฤษฎบี ท และสมบตั ติ า่ ง ๆ กันญารัตน์ หนูชุม (2549, หน้า 8) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ความคิด ความเข้าใจของบุคคลซึ่งเป็นนามธรรมเกี่ยวกับความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่เกิดจากการ ได้รับประสบการณใ์ นการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ โดยสามารถจดั ประเภทของสง่ิ ที่เหมือนกนั เขา้ ด้วยกันและ แยกประเภทของสิ่งที่ไม่เหมือนกันออกจากกันได้ แล้วสรุปความเข้าใจที่ได้ออกมาเป็นบทนิยามหรือ คุณสมบัติหรอื สัญลกั ษณแ์ ทนคณุ สมบตั ิได้ อรพรรณ เลื่อนแป้น (2555, หน้า 9) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ หมายถงึ ความคดิ ความเขา้ ใจเกี่ยวกับเนื้อหาวิชาคณิตศาสตรท์ ่ีไดจ้ ากการเรียนรู้ โดยนักเรียนสามารถสรุป ออกมาเปน็ บทนิยามหรอื ความหมายของเรอื่ งน้นั ได้ อัมพร ม้าคนอง (2557, หน้า 15) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ เป็น ความคิดรวบยอดเกี่ยวกับลักษณะสำคัญ ความหมาย ที่มา หรือการขยายความ ทฤษฎี กฎ สูตร บทนิยาม อนยิ าม เป็นความคิดนามธรรมท่ีทำให้ผู้เรียนสามารถจำแนกส่ิงที่มีลักษณะตามความคิดนามธรรมน้ัน ๆ ได้ และสามารถระบไุ ดว้ ่าสง่ิ ทก่ี ำหนดให้เป็นตวั อยา่ งหรือไมใ่ ช่ตัวอย่างของความคิดนามธรรมนั้น การจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ระดบั ประถมศกึ ษา หลกั พนื้ ฐานทางคณิตศาสตร์ 8 กูด (Good, 1959, p.118) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ความคิดสำคัญ ความเข้าใจที่เกี่ยวกับสิ่งใดสิ่งหนึ่ง หรือเรื่องใดเรื่องหนึ่งเกี่ยวข้องกับเนื้อหาคณติ ศาสตร์ใน ด้านการคำนวณ ความสัมพันธ์กับจำนวน การให้เหตุผลอย่างมีระบบ และคุณลักษณะภายนอกของสิ่งของ อันเกิดจากการสังเกตหรือการได้รับประสบการณ์แล้วนำลักษณะนั้นมาประมวลเข้าด้วยกันให้เป็นข้อสรุป ทางคณติ ศาสตร์ โดโนแวนและเจอรอลด์ (Donovan and Gerald, 1972, p.168) ไดใ้ หค้ วามหมายไว้วา่ มโน ทัศน์ทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ความคิดของบุคคลซึ่งเป็นนามธรรมเกี่ยวกับความรู้ทางคณิตศาสตร์ เช่น สมบัตขิ องวตั ถุ หรือเหตุการณ์ต่าง ๆ โดยสามารถบอกลักษณะรว่ มและลักษณะแตกต่างของแต่ละมโนทัศน์ ได้ คูนีย์ เดวิส และเฮนเดอร์สัน (Cooney, Davis and Henderson, 1975, p.85) ได้ให้ ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ความเข้าใจของนักเรียนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่ได้ เรียนรโู้ ดยสามารถสรุปความเข้าใจท่ีได้ออกมาในรปู ของนยิ ามหรือความหมายของเรื่องน้ัน เช่น การมีมโน ทศั น์ เรอ่ื ง ฟงั กช์ นั คือ นกั เรยี นสามารถบอกความหมายของฟังกช์ ันได้ เบล (Bell, 1981, p.124) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ หมายถึง โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ มี 3 แบบ คือ 1. มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ เป็นการจัดประเภทของจำนวน ความสัมพันธ์ ระหวา่ งจำนวนและการใช้สญั ลกั ษณแ์ ทนจำนวน เชน่ หก แปด IV เป็นต้น 2. มโนทัศน์ทางสัญกรณ์ เป็นข้อตกลงเกี่ยวกับการใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ ความหมายและสมบัติของจำนวน เช่น การทราบว่าตัวเลขในจำนวน 275 ว่าตัวเลขแต่ละตัวหมายถึงอะไร เช่น 2 หมายถึง 200, 7 หมายถึง 70 และ 5 หมายถึง 5 ดงั น้ัน 275 หมายถงึ 200+70+5 3. มโนทัศน์ในการประยุกต์ เป็นการใช้มโนทัศน์ทาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์กับมโนทัศน์ ทางสัญกรณ์ ไปแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ และใช้ในสาขาที่เกี่ยวข้อง เช่น ความยาว พื้นที่ และปริมาตร เป็นตน้ ทูมาซิส (Toumasis, 1995, p.98) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ เป็น ความคิดขั้นสูงสุดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่เกิดจากการเรียนรู้ของนักเรียนที่มีต่อสิ่งเร้า โดยนักเรียนสามารถ แยกประเภทของสิ่งเรา้ ทมี่ ีความสมั พันธแ์ ละไมส่ ัมพันธ์กนั ได้ จากความหมายของมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ที่กล่าวมาข้างต้นสามารถสรุปได้ว่า มโนทัศน์ ทางคณิตศาสตร์ เป็นความคิดรวบยอดเกีย่ วกับลักษณะสำคัญ ความหมาย อนิยาม บทนิยาม สัจพจน์ และ ทฤษฎีบท เป็นความคิดนามธรรมที่ทำให้ผู้เรียนสามารถจำแนกสิ่งท่ีมีลักษณะตามความคิดนามธรรมนัน้ ๆ ได้ สามารถระบุไดว้ ่าส่ิงที่กำหนดให้เป็นตัวอย่างหรือไมเ่ ป็นตัวอยา่ งของความคดิ นามธรรมน้นั 2. ความสำคัญของมโนทศั น์ทางคณติ ศาสตร์ มโนทัศน์ทางคณติ ศาสตร์มคี วามสำคัญเป็นอย่างมากต่อความรู้ความเข้าใจ และการนำความรู้ ไปใชแ้ ก้ปัญหา มโนทัศน์ทางคณติ ศาสตรช์ ว่ ยให้ผู้เรียนมีความเข้าใจอย่างถ่องแท้เกยี่ วกับความรู้เฉพาะหรือ แนวคิดเชิงลึกทางคณิตศาสตร์ การเรียนการสอนคณิตศาสตร์จึงควรเน้นที่การทำให้ผู้เรียนเกิดความเข้าใจ การจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตร์ระดบั ประถมศกึ ษา หลักพืน้ ฐานทางคณิตศาสตร์ 9 (Hiebert and Carpenter, 1992 ; Koyama, 1993 ; Sierpinska, 1994 ; Pirie and Kieren, 1994 อ้าง ถึงใน อัมพร ม้าคนอง, 2557, หน้า 16) เพื่อที่จะทำให้ผู้สอนได้ข้อมูลว่าผู้เรียนเข้าใจอะไรและไม่เข้าใจ อะไร ซ่งึ จะนำไปส่กู ระบวนการเรยี นการสอนทส่ี ง่ เสริมความเขา้ ใจและการพฒั นามโนทศั น์ เนื่องจากความสำเร็จในการเรียนรู้หรือแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ส่วนหนึ่งขึ้นอยู่กับมโนทัศน์ ทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อปัญหามีความซับซ้อน ไม่คุ้นเคย หรือต้องใช้การแปลความหมาย ทางคณิตศาสตร์มาช่วยในการแก้ปัญหา มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์จึงมีความสำคัญสำหรับทั้งผู้สอนและ ผู้เรียน เนื่องจากมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์เป็นความคิดรวบยอดเกี่ยวกับเนื้อหาคณิตศาสตร์ เป็นความรู้ ความเข้าใจที่ถ่องแท้ ที่จะทำให้ผู้สอนสอนคณิตศาสตร์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ และสามารถเชื่อมโยงไปสู่ การใช้งานของคณิตศาสตร์ได้ นักวิชาการมากมายแสดงความคดิ เหน็ ว่าผู้สอนจะสอนคณิตศาสตรไ์ ด้ไม่ดีถา้ ผู้สอนขาดมโนทัศน์เก่ียวกับส่ิงทส่ี อน ในขณะเดียวกันมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ก็มีความสำคัญมาก สำหรับ ผู้เรียนในการคิดการเรียนรู้ และการทำงานทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากมโนทัศน์จะทำให้ผู้เรียนเข้าใจส่ิง ตา่ ง ๆ ทางคณติ ศาสตร์เป็นอย่างดี และสามารถนำสิง่ เหล่านัน้ ไปใชใ้ นการแกป้ ัญหาทซ่ี ับซ้อนและไม่คุ้นเคย ได้ ตัวอยา่ งมโนทัศน์ทางคณติ ศาสตร์ของผู้เรยี นและผสู้ อนมีดงั น้ี (Hallett,2001 อ้างถึงใน อัมพร ม้าคนอง, 2557, หน้า 17) 2.1 มโนทศั น์ทางคณิตศาสตร์ของผเู้ รยี น ลองพิจารณาขั้นต้อนการทำงานทางคณิตศาสตร์เพื่อแก้ปญั หาตอ่ ไปน้ี ปัญหา ขอ้ 1 ฉนั มีทอ้ ฟฟ่ี 7 เมด็ พีใ่ หม้ า 5 เมด็ ฉันมีท้อฟฟ่ีกเี่ มด็ ข้อ 2 พีม่ ที อ้ ฟฟ่ี 12 เมด็ ให้น้องไป 5 เม็ด พเี่ หลือทอ้ ฟฟ่กี ่เี มด็ ข้อ 3 ฉันมีกอ้ นหิน 9 ลูก หลังจากเล่นเกมกับน้อง ฉันมลี ูกหินรวมเปน็ 14 ลกู เกดิ อะไรขึ้นระหว่างการเล่นเกม ข้อ 4 ฉนั เล่นเกมลกู หินกบั นอ้ ง และเสียลูกหนิ ไป 5 ลกู ตอนน้ฉี นั เหลือ ลูกหนิ 7 ลูก เดิมฉันมลี กู หินก่ลี กู การแก้ปัญหาททั้งสี่ข้อข้างต้นต้องการมโนทัศน์ที่แตกต่างกัน สำหรับข้อ 1 และข้อ 2 ซึ่ง เป็นปัญหาที่คุ้นเคยนั้น ผู้เรียนสามารถใช้มโนทัศน์เกี่ยวกับการเพิ่มขึ้นและลดลง รวมทั้งใช้ขั้นตอนการ ทำงานเอหาคำตอบได้โดยง่าย ส่วนข้อ 3 และข้อ 4 นั้น ผู้เรียนจำเป็นต้องใช้มโนทัศน์หลายอย่างเกี่ยวกับ จำนวน เช่น การเปล่ียนแปลงของจำนวน การเพม่ิ ข้นึ และการลดลง จำนวนเริ่มตน้ และจำนวนสุดท้าย มโน ทัศน์เหล่านี้ไม่ใช่มโนทัศน์เกี่ยวกับขขั้นตอนการทำงาน การจดจำคำสำคัญ (Key Word) ว่าหากมีคำว่า “รวม” ต้องใชก้ ารบวก และคำวา่ “เสยี ไป” ตอ้ งใชก้ ารลบ ไม่สามารถนำมาใช้กับการแก้ปัญหาท้ังสองข้อนี้ ได้ เนื่องจากการแก้ปัญหาในข้อ 3 และข้อ 4 ต้องใช้การดำเนินการตรงข้ามกับคำสำคัญที่จดจำมา แต่สิ่ง สำคัญและจำเป็นต้องใช้คือมโนทัศน์เกี่ยวกับความหมาย ซึ่งเป็นความเข้าใจที่ถ่องแท้และทำให้ “มองเห็น หรือหยั่งรู้ (Insight)” ที่จะทำให้ผู้เรียนเข้าใจปัญหาจนสามารถเลือกใช้ขั้นตอนการดำเนินการได้กอย่าง ถกู ตอ้ ง การจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ระดบั ประถมศกึ ษา หลกั พน้ื ฐานทางคณติ ศาสตร์ 10 2.2 มโนทศั น์ทางคณติ ศาสตรข์ องผู้สอน มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ของผู้สอนมีความสำคัญต่อการเรียนการสอนเป็นอย่างยิ่ง เนื่องจากเป็นปัจจัยสำคัญต่อการตัดสินใจจัดกิจกรรมและการสร้างบรรยากาศในชั้นเรียนของผู้สอน มโน ทัศน์ในเนื้อหาเฉพาะใด ๆ ที่ผู้สอนมีอยู่ มีผลเป็นอย่างยิ่งต่อการวิเคราะห์ผู้เรียน การจัดการเรียนรู้ การ ตัดสินใจ และการแสดงออกของผู้สอน (Brophy, 1991 ; Thompson, 1992) ความรู้คณิตศาสตร์ที่ผู้สอน ใช้สอนในห้องเรียนทั้งที่เป็นความรู้ทั่วไป (Common Content Knowledge) และความรู้เฉพาะที่ขยาย ความรู้ทั่วไป (Specialized Content Knowledge) สามารถทำนายคะแนนสัมฤทธิผลของผู้เรียน อัตรา การขาดเรียน และประสบการณ์ของผู้สอน ตลอดจนความยาวเฉลี่ยของบทเรียนคณิตศาสตร์ ((Hill, Rowan and Ball, 2005) ผ้สู อนทม่ี ีมโนทศั นท์ างคณติ ศาสตรด์ จี ะสามารถวางแผนจดั กการเรียนรู้ ใช้ส่งิ ต่าง ๆ ช่วยอธิบายหรือสื่อความหมาย และตอบสนองต่อคำถามและข้อวิพากษ์วิจารณ์ของผู้เรียนได้ดี (Leinhardt, Putnam, Stein and Baxter, 1991) ผู้สอนคณิตศาสตร์จึงควรมีความเข้าใจในมโนทัศน์ เพื่อที่จะสามารถนำเสนอหรืออธิบายมโนทัศน์และขั้นตอนหรือหรือกระบวนการทางคณิตศาสตร์ได้หลาย รปู แบบ (National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1991) ผู้สอนคณติ ศาสตร์ท่ีดนี ัน้ นอกจากจะต้องมมี โนทัศนใ์ นเน้ือหาระดับท่ีตนจะสอนแลว้ ยงั ต้องมี มโนทศั น์ในเน้ือหาทเ่ี ก่ียวข้องกับสงิ่ ที่ตนจะสอน ตลอดจนมมี โนทัศน์ในระดับทส่ี ูงกวา่ และในระดับที่ต่ำกว่า การมีมโนทศั นใ์ นระดบั ท่ีต่ำกว่าจะชว่ ยให้ผู้สอนสามารถวเิ คราะหพ์ ืน้ ฐานความรูท้ ีผ่ ู้เรียนเรียนมา เพื่อจะได้ ทบทวนหรือเพิ่มเติมให้ผู้เรียนก่อนที่จะสอนมโนทัศน์ใหม่ และการมีมโนทัศน์ในระดับที่สูงกว่าจะช่วยให้ ผูส้ อนสามารถสอนให้ผ้เู รียนมีความรูเ้ พยี งพอทจี่ ะเป็นพ้ืนฐานของการเรยี นในระดับท่สี ูงขึ้น อาจกล่าวได้ว่า นอกจากขอบเขตของเนื้อหาที่จะต้องสอนแล้ว ผู้สอนคณิตศาสตร์ควรมีมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ทั้งใน หลักสูตรและนอกหลักสูตรที่ตอ่ เนื่องและสมั พันธก์ ับเนือ้ หาท่ีตนรับผิดชอบ เพื่อจะได้วิเคราะห์ความสำคญั และความสัมพันธ์ของเนื้อหารเหล่านั้น นอกจากจะเข้าใจมโนทัศน์ที่สำคัญของเนื้อหารเฉพาะใด ๆ แล้ว ผู้สอนควรเข้าใจความหมายและที่มาของการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหานั้น ๆ สามารถวิเคราะห์และ เชื่อมโยงสิ่งเหล่านั้นได้ เพื่อช่วยให้ตัดสินใจวางแผนได้ว่า จะเรียงลำดับการสอนมโนทัศน์ใดก่อนหลัง จะ สอนแต่ละมโนทัศนอ์ ยา่ งไร จะใชอ้ ะไรเป็นกจิ กรรมหรือเคร่ืองมือในการสอน และจะประเมนิ การเรียนรู้มโน ทัศน์แต่ละมโนทัศน์อย่างไร (Ball, Thames and Phelps, 2008 อ้างถึงใน อัมพร ม้าคนอง, 2557, หน้า 21) จากที่กล่าวมา จะเห็นได้ว่ามโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์มีความสำคัญมากต่อการจัดการเรียนการ สอน และการนำคณิตศาสตร์ไปใช้ โดยเฉพาะสถานการณ์ปัจจุบันท่ีเน้นการนำคณิตศาสตร์ไปใช้แก้ปัญหา ซ่ึงแตกต่างจากอดีต จึงจำเป็นอย่างยิง่ ท่ีจะต้องพฒั นาใหผ้ ู้เรียนมีมโนทัศน์ท่ีถูกต้องเป็นผลไปสู่ความรู้ที่ถ่อง แท้ของผู้เรียน และสามารถนำความรู้คณิตศาสตร์ไปใช้งานได้อย่างมีประสิทธิภาพ ซึ่งสิ่งเหล่านั้นเป็นผลมา จากมโนทัศนข์ องผู้สอนถือเป็นสิ่งสำคัญที่ผู้สอนจะนำมาใช้ในการวางแผนการจัดการเรียนรู้ 3. การพัฒนามโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ การพัฒนามโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์มีแนวคิดและแนวทางในการดำเนินการดังน้ี (อัมพร ม้าคนอง, 2557, หน้า 22-23) การจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรร์ ะดบั ประถมศึกษา หลักพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ 11 3.1 จัดการเรียนรู้เพื่อให้ผู้เรียนได้เรียนรู้ในสิ่งที่มีความหมาย จำเป็นสำหรับการคิดและการ ใชง้ าน และเป็นพ้ืนฐานของการเรียนในระดับสูงขึ้น นอกจากนี้ ควรใหผ้ ูเ้ รยี นได้เชื่อมโยงความรู้ไปสู่ขั้นตอน หรือวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่มีประสิทธิภาพ และเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีหรือเนื้อหากับวิธีการ หรือขน้ั ตอนการทำงานทต่ี นเลือกใช้ ความรูค้ ณติ ศาสตร์จึงควรเกดิ จากความเข้าใจมิใชเ่ กิดจากการจดจำ ซึ่ง อาจลืมได้โดยง่าย การเรียนรู้อย่างเข้าใจจะช่วยให้ผู้เรียนมองเห็นประโยชน์และคุณค่าของสิ่งที่เรียน และ สามารถพัฒนาให้เปน็ ความรทู้ ี่ลกึ ซ้ึงมากขนึ้ ได้ 3.2 พัฒนาการคิดในลักษณะต่าง ๆ ควบคู่กับการพัฒนามโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ เช่น การ คิดวิเคราะห์ การคิดสังเคราะห์ การคิดไตร่ตรอง การคิดอย่างมีวิจารณญาณ เนื่องจากการคิดเป็นพื้นฐาน สำคัญของการทำความเข้าใจและการพัฒนาความรู้ทางคณิตศาสตร์ ตลอดจนการนำความรู้ทาง คณติ ศาสตร์ไปใช้ 3.3 ออกแบบกิจกรรมและงานให้สอดคล้องกับมโนทัศน์ที่ต้องการพัฒนาให้ผู้เรียน โดยอาจ ต้องมกี ารวิเคราะหม์ โนทศั น์ย่อยท่ีจะสอนก่อน จากนนั้ จงึ ออกแบบกจิ กรรมสำหรบั แตล่ ะมโนทัศน์ และเมื่อ ดำเนินการจัดกิจกรรมจะต้องมีการประเมินพฤติกรรมการทำกิจกรรมของผู้เรียนอย่างต่อเน่ือง โดยอาจใช้ คำถามทีส่ ง่ เสรมิ กระบวนการคดิ เพือ่ ช่วยให้ผเู้ รียนสรา้ งความรู้ได้ดว้ ยตนเองและขยายไปส่คู วามรู้ใหม่ หรือ ความรู้เชงิ นามธรรมได้ 3.4 เลือกใช้สื่อ เอกสารประกอบการสอน นวัตกรรม และเทคโนโลยีทางคณิตศาสตร์ที่ เหมาะสมกบั มโนทัศน์ทีต่ ้องการพฒั นา รวมทงั้ จดั สภาพแวดล้อมหรือบรบิ ทของการเรยี นรู้ให้เอ้ือต่อการใช้ สื่อและนวตั กรรมนัน้ ๆ 3.5 ประเมินผลการพัฒนามโนทัศน์เป็นระยะ ๆ อย่างต่อเนื่องในกระบวนการเรียนรู้ของ ผู้เรียนทั้งการประเมินรายบุคคลและประเมินโดยรวม โดยเฉพาะอย่างยิ่งการประเมินพัฒนาการของผู้เรยี น แต่ละคน นอกจากนี้ผู้สอนควรสะท้อนการสอนของตนจากผลการเรียนที่เกิดขึ้นกับผู้เรียน เพื่อที่จะปรับ การจดั การเรียนร้ใู ห้มีประสทิ ธภิ าพมากยง่ิ ขนึ้ 3.6 พยายามให้ผู้เรียนทำกิจกรรม คิด สังเกต วิเคราะห์ อภิปราย และหาข้อสรุปทาง คณิตศาสตร์ด้วยตนเอง โดยใช้กิจกรรมหรือสถานการณ์ทีก่ ระตุ้นและทา้ ทายความสามารถของผู้เรยี น และ ไม่ยากเกนิ กวา่ ที่ผเู้ รียนจะคดิ ได้ สรุปแนวคิดและแนวทางในการดำเนินการพฒั นามโนทศั น์ทางคณิตศาสตร์ คือ จัดการเรียนรู้ เพื่อใหผ้ เู้ รียนไดเ้ รียนรู้ในสิ่งท่มี ีความหมายและผเู้ รยี นเป็นผู้สรา้ งมโนทัศน์ด้วยตนเอง ออกแบบกิจกรรมและ เลือกสื่อ นวัตกรรม เทคโนโลยีให้สอดคล้องกับมโนทัศน์ที่ต้องการพัฒนาให้ผู้เรียน และมีการประเมินผล การพฒั นามโนทัศนเ์ ปน็ ระยะ ๆ อย่างต่อเนือ่ ง เป็นผลตอ่ การพัฒนามโนทศั น์ของผู้เรยี น สมรรถนะทางคณติ ศาสตร์ ความสำเร็จหรือความล้มเหลวของการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ส่วนหนึ่งขึ้นอยู่กับผู้เรียนและ ผู้สอน การจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์ให้มีประสิทธิภาพ จึงจำเป็นต้องพิจารณาทั้งสมรรถนะของผู้เรียนท่ี การจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตรร์ ะดบั ประถมศกึ ษา หลักพน้ื ฐานทางคณิตศาสตร์ 12 ต้องการให้มี และสมรรถนะของผู้สอนท่ีจำเป็นต้องใช้ในการพัฒนาสมรรถนะให้กับผู้เรียน สิ่งสำคัญในการ เรยี นคณิตศาสตร์ในยุคนจี้ ะตอ้ งมุ่งเนน้ ถงึ การรู้เร่ืองคณิตศาสตร์ (Mathematical Literacy) 1. สมรรถนะทางคณิตศาสตร์ของผ้เู รยี น สมรรถนะทางคณิตศาสตร์เป็นความรู้ความสามารถทางคณิตศาสตร์ และคุณลักษณะของ ผู้เรียนที่เกิดขึ้นจากการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โดยทั่วไปมักกำหนดเป็นคุณภาพของผู้เรียนตามหลักสูตร ซึ่ง อาจจำแนกเป็น 3 ด้าน ดงั นี้ 1.1 ด้านความรู้ เป็นความรู้ความสามารถทางสติปัญญาของผู้เรียนในการทำความเข้าใจ ความรู้ทางคณิตศาสตร์ ทั้งความรู้เชิงมโนทศั น์และความรู้เชิงขั้นตอนหรือกระบวนการทีค่ รอบคลุมเน้ือหา คณิตศาสตร์ในสาระหลัก ได้แก่ จำนวนและพีชคณิต การวัดและเรขาคณิต สถิติและความน่าจะเป็น และ แคลคูลัส 1.2 ด้านทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ เป็นความสามารถหรือความชำนาญของ ผู้เรียนในการใช้ความรู้หรือการทำงานทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ 1) การแก้ปัญหา 2) การสื่อสารและการสื่อ ความหมายทางคณิตศาสตร์ 3) การเชื่อมโยง 4) การใหเ้ หตผุ ล และ 5) การคดิ สรา้ งสรรค์ 1.3 ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ เป็นคุณลักษณะอันพึงประสงค์ในการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์ ได้แก่ 1) ความเข้าใจหรือสรา้ งกรณีทว่ั ไปโดยใชค้ วามรู้ท่ไี ด้จากการศึกษากรณตี ัวอย่างหลายๆ กรณี 2) มองเห็นว่าสามารถใช้คณิตศาสตร์แก้ปัญหาในชีวิตจริงได้ 3) มีความมุมานะในการทำความเข้าใจ ปญั หาและแกป้ ญั หาทางคณิตศาสตร์ 4) สร้างเหตผุ ลเพ่ือสนับสนุนแนวคิดของตนเองหรอื โต้แยง้ แนวคิดของ ผ้อู ื่นอยา่ งสมเหตสุ มผล และ 5) คน้ หาลักษณะท่ีเกิดขน้ึ ซ้ำ ๆ และประยกุ ต์ใช้ลักษณะดงั กล่าวเพื่อทำความ เข้าใจหรอื แกป้ ญั หาในสถานการณต์ า่ ง ๆ ตลอดจนคณุ ลกั ษณะท่มี ีอยู่ในตัวผเู้ รียนอันได้แก่ ความสามารถใน การทำงานอยา่ งเปน็ ระบบ มรี ะเบียบ มคี วามรอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวจิ ารณญาณ มคี วามเชื่อมั่น ในตนเอง และตระหนักในคุณค่าและมเี จตคตทิ ดี่ ตี ่อคณิตศาสตร์ 2. สมรรถนะทางคณิตศาสตรข์ องผู้สอน ผู้ที่จะสอนคณิตศาสตร์ได้ดีนั้นควรมีความรู้ความสามารถในการพัฒนาให้ผู้เรียนมีความรู้ ทักษะ และคุณลักษณะตามที่ระบุไว้ตามหลักสูตร ความรู้ความสามารถเหล่านี้ครอบคลุมความรู้ในเนื้อหา คณิตศาสตร์ทั้งในเชิงลึกและเชิงกว้าง ความสามารถในการจัดการเรียนรู้และการพัฒนาทักษะและ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ เพื่อให้ผู้เรียนสามารถนำความรู้ในเนื้อหาไปใช้ได้จริง รวมถึงจิตลักษณะที่ดี ของความเป็นครูที่จะมุ่งมั่นในการสอนและการปฏิบัติหน้าที่ที่ดีของครู ความรู้ความสามารถ และจิต ลกั ษณะดังกลา่ วรวมเป็นสมรรถนะของผู้สอน ซ่ึงมคี วามสำคัญมาก เน่ืองจากกิจกรรมต่าง ๆ ที่เกิดข้ึนท้ังใน และนอกหอ้ งเรียน เชน่ การวางแผนการจดั การเรยี นรู้ การจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้ การประเมินผลงานผู้เรียน การตรวจการบ้าน ล้วนเป็นผลมาจากความรู้ ความสามารถทางคณิตศาสตร์ ทักษะเกี่ยวกับการให้เหตุผล และการสื่อสาร รวมถึงความคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของผู้สอน สมรรถนะทางคณิตศาสตร์ของผู้สอนจึงมี ความสำคัญต่อคุณภาพการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของผู้เรียน โดยทั่วไปอาจจำแนกสมรรถนะทางคณิตศาสตร์ ของผสู้ อนเป็น 3 ด้าน ดงั นี้ (อมั พร ม้าคะนอง, 2557, หน้า 7-11) การจัดการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ระดบั ประถมศกึ ษา หลกั พนื้ ฐานทางคณิตศาสตร์ 13 2.1 ด้านความรู้ เป็นความรู้ของผู้สอนเก่ียวกับเนื้อหาคณิตศาสตร์และความรู้เกี่ยวกับการ สอน ซงึ่ ประกอบด้วยความรูด้ งั น้ี 2.1.1 ความรใู้ นเน้อื หา (Subject Matter Knowledge) เป็นความรใู้ นสาระหลกั มโนทัศน์ และแนวคดิ เชิงลึกทางคณติ ศาสตร์ในทุกสาขาของคณติ ศาสตร์และในระดับท่สี ูงกว่าระดับท่ีสอน ทั้งความรู้ เชงิ มโนทศั น์ ความรู้เชงิ ข้ันตอนหรอื กระบวนการ รวมทงั้ การเช่อื มโยงระหวา่ งความรูท้ ั้งสองประเภท ความรู้ ในเนื้อหาคณิตศาสตร์มีมิติที่หลากหลาย และมีผลในทางบวกต่อการเรียนรู้ของผู้เรียน สามารถจำแนก ความรูเ้ น้อื หาคณติ ศาสตร์ไดเ้ ป็น 2 ประเภท ดงั น้ี
2.1.2 ความรู้เกี่ยวกับการสอน (Pedagogical Content Knowledge) เป็นความรู้ความ เข้าใจของผูส้ อนว่าจะช่วยให้ผู้เรียนเข้าใจเนื้อหาคณติ ศาสตร์ได้อย่างไร รวมถึงความรูท้ ี่จะวิเคราะห์วางแผน และจัดการเรียนรู้สำหรับเนื้อหา ปัญหา และประเด็นที่เกี่ยวข้องให้กับผู้เรียนที่มีความสนใจและ ความสามารถแตกต่างกัน หรอื อาจกลา่ วได้วา่ ความร้เู ก่ยี วกับการสอนเป็นผลของการแปลงเนื้อหาให้อยู่ใน รปู แบบทจ่ี ะช่วยผู้เรียนเกดิ การเรียนรู้ ในทางปฏบิ ตั ิความร้เู ก่ยี วกับการสอนเปน็ ความรเู้ ก่ียวกบั วิธีวิทยาการ สอนคณติ ศาสตร์ เชน่ หลักการจดั การเรียนรู้ วธิ ีสอน เทคนคิ การสอน สอื่ และแหลง่ เรียนรู้ การประเมินการ เรยี นรู้ เป็นตน้ จึงผสมผสานระหว่างความรู้ในเน้ือหาและความรู้เกี่ยวกับการเรียนการสอน ความรู้เก่ียวกับ การสอนคณติ ศาสตรส์ ามารถจำแนกไดด้ ังนี้
2.2 ด้านทักษะการสอน เปน็ ความสามารถหรือความชำนาญของผสู้ อนในการจัดการเรียนรู้ ให้เหมาะสมกับเนื้อหาและศักยภาพทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน เพื่อให้ผู้เรียนพัฒนาทั้งในเรื่องของความรู้ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งคุณลักษณะอันพึงประสงค์ ทักษะการสอนจึงเป็น การจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ระดบั ประถมศึกษา หลักพ้ืนฐานทางคณติ ศาสตร์ 14 ความสามารถที่มีการบูรณาการความรู้ในเนื้อหาคณิตศาสตร์และความรู้เกี่ยวกับการสอนคณิตศาสตร์ มารว่ มวางแผนและดำเนินการจัดการเรียนรอู้ ยา่ งมปี ระสิทธิภาพ 2.3 ด้านจิตลักษณะในการพัฒนาผู้เรียน เป็นคุณลักษณะทางจิตของผู้สอนที่มุ่งพัฒนา ผู้เรียน ให้ประสบความสำเร็จในการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เช่น แรงจูงใจในการสอน ความรักและศรัทธาใน การเป็นครูคณิตศาสตร์ ความมุ่งมั่นในการสอนคณิตศาสตร์ การสนับสนุนทางสังคมและการให้ความ ชว่ ยเหลือผ้เู รยี นในการเรยี นคณติ ศาสตร์ 3. การรเู้ รอื่ งคณติ ศาสตร์ (Mathematical Literacy) การรู้เรื่องคณิตศาสตร์” (Mathematical Literacy) เน้นการนำคณิตศาสตร์ที่เรียนมาใช้ ใน สถานการณ์ของชวี ิตจริง นักเรยี นจะต้องสามารถขยายความรู้จากทเ่ี รียนมาประยุกต์กบั สถานการณ์ จริงใน บริบทต่าง ๆ ที่หลากหลาย โดยให้นักเรียนระบุสถานการณ์ท่ีสำคัญของปัญหา กระตุ้นให้หา ข้อมูล สำรวจ ตรวจสอบ และนำไปสู่การแก้ปญั หา เช่น ทักษะการคิดและการใชเ้ หตุผล การโต้แย้ง การสื่อสาร การสร้าง ตวั แบบ การตัง้ ปัญหา และการแกป้ ัญหา การนำเสนอ การใช้สญั ลักษณแ์ ละการดำเนินการในการแก้ปัญหา นักเรียนต้องใช้ทักษะต่าง ๆ ที่หลากหลายมารวมกัน หรือใช้ทักษะหลายอย่างที่ทับซ้อน หรือคาบเกี่ยวกัน โดยถือข้อตกลงเบื้องต้นว่าการที่คนหนึ่งจะใช้คณิตศาสตร์ได้ คนนั้นจะต้องมีความรู้พื้นฐานและทักษะทาง คณิตศาสตร์มากพออยู่แล้ว ซึ่งนั่นก็หมายถึง สิ่งที่นักเรียนได้เรยี นไปขณะอยู่ในโรงเรียน การประเมินการรู้ เรื่องคณิตศาสตร์ จึงมุ่งประเมินความสามารถในการเชื่อมโยงสถานการณ์ ต่าง ๆ ที่นักเรียนอาจพบเจอใน การดำเนินชีวิตประจำวันเข้ากับคณิตศาสตร์และใช้คณิตศาสตร์เพื่อการแก้ปัญหานั้น ๆ ได้อย่างมี ประสิทธิภาพ โดยปัญหาหรือคำถามมุ่งประเมินความสามารถของนักเรียน ด้านการรู้เรื่องคณิตศาสตร์ 3 ลักษณะ คอื การคดิ สถานการณ์ปญั หาในเชิงคณิตศาสตร์ การใชห้ ลักการหรือกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ในการแกป้ ัญหา และการประเมนิ และตีความผลลพั ธท์ าง คณิตศาสตร์ การรู้เรื่องคณิตศาสตร์ (Mathematical Literacy) หมายถึง ความสามารถของบุคคลในการ คดิ ใช้ และตคี วามคณติ ศาสตรใ์ นสถานการณต์ า่ ง ๆ ทห่ี ลากหลายรวมถึงการให้เหตผุ ลอยา่ งเป็นคณติ ศาสตร์ ใช้แนวคิดและกระบวนการทางคณิตศาสตรใ์ นการอธบิ าย และทำนายปรากฏการณต์ ่าง ๆ 3.1 กรอบการประเมินการรเู้ ร่อื งคณิตศาสตร์ กรอบการประเมินผลของ OECD/PISA เน้นที่การประเมินว่า นักเรียนอายุ 15 ปี รู้เรื่อง คณิตศาสตร์มากน้อยเพียงใด นั่นคือ สามารถนำฐานความรู้คณิตศาสตร์มาใช้ และเผชิญหน้ากับปัญหาใน โลกจรงิ ไดเ้ พยี งใด ขอบเขตของคณิตศาสตรค์ รอบคลุมองค์ประกอบ 3 ดา้ น ได้แก่ 3.1.1 กระบวนการทางคณิตศาสตร์ (Process) ที่อธิบายสิ่งที่แต่ละคนทำเพื่อเชื่อมโยง บรบิ ทของปญั หากบั คณติ ศาสตร์ แลว้ นำไปสู่การแกป้ ญั หา 3.1.2 เนือ้ หาคณิตศาสตร์ (Content) ทต่ี ้องนำมาใช่ในการแกป้ ญั หา 3.1.3 สถานการณห์ รอื บริบท (Context) ที่ปญั หานนั้ ต้งั อยู่ 3.2 กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ ส่วนหนึ่งของนิยามของการรู้เรื่องคณิตศาสตร์ที่กล่าวว่า “ความสามารถของแต่ละบุคคล ในการคิด การใช้ และการตีความคณิตศาสตร์...” สามคำนี้ มีประโยชน์และมีความสำคัญในการจัดการ การจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ระดบั ประถมศกึ ษา หลกั พื้นฐานทางคณติ ศาสตร์ 15 กระบวนการ ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถอธิบายได้ว่า แต่ละคนสามารถเชื่อมโยงบริบทของปัญหากับ คณิตศาสตร์ได้อย่างไรและแก้ปัญหาอย่างไร กระบวนการทางคณิตศาสตร์ แบ่งออกเป็น 3 กระบวนการ ดงั นี้ 3.2.1 การคิดสถานการณข์ องปญั หาในเชงิ คณติ ศาสตร์ 3.2.2 การใชห้ ลักการและกระบวนการทางคณิตศาสตรใ์ นการแกป้ ญั หา 3.2.3 การตีความและประเมินผลลพั ธท์ างคณติ ศาสตร์ การรู้ว่านักเรียนสามารถเข้าไปมีส่วนร่วมในแต่ละกระบวนการเหล่านี้ได้อย่างมี ประสิทธิภาพเพียงใดนั้น เป็นสิ่งสำคัญต่อการจัดทำนโยบายทางการศึกษาในปัจจุบัน ผลการสำรวจของ PISA ในกระบวนการคดิ ในเชงิ คณติ ศาสตร์ชใี้ หเ้ ห็นวา่ นักเรยี นสามารถร้แู ละบอกโอกาสทจ่ี ะใช้คณิตศาสตร์ ในสถานการณ์ของปัญหา และให้โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นต้องใช้ในการแปลงสถานการณ์ของ ปัญหาให้อยู่ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์อย่างมีประสิทธิภาพเพียงใด ส่วนการใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ ชี้ให้เห็นว่า นักเรียนสามารถคำนวณ ดำเนินการ และประยุกต์แนวคิดหลักและข้อเท็จจริงท่ีนำไปสู่การ แก้ปัญหาเชิงคณิตศาสตร์กับปัญหาที่ถูกเปลี่ยนให้เป็นปัญหาเชิงคณิตศาสตร์ได้ดีเพียงใดและส ำหรับ กระบวนการตีความชี้ให้เห็นว่า นักเรียนสามารถสะท้อนข้อสรุปและวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ตคี วามผลทีไ่ ด้ไปสบู่ รบิ ทปัญหาในโลกชีวติ จรงิ และระบุไดว้ ่าผลลัพธห์ รือขอ้ สรุปเป็นเหตเุ ป็นผลหรือไม่ 3.3 การใชห้ ลกั กการและกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ์ นการแก้ปัญหา นิยามของคำว่า “การใช้” ในการรู้เรื่องคณิตศาสตร์ หมายถึง ความสามารถของแต่ละ บุคคลในการประยุกต์ใช้แนวคิด หลักทางคณิตศาสตร์ ข้อเท็จจริง วิธีดำเนินการ และเหตุผลทาง คณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหา เชิงคณิตศาสตร์เพื่อให้ได้ข้อสรุปทางคณิตศาสตร์ การใช้หลักการและ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหา เป็นกระบวนการที่แต่ละคนแสดงวิธีดำเนินการทาง คณติ ศาสตร์ท่จี ำเป็นเพื่อใหไ้ ดม้ าซึ่งผลลัพธ์ และคน้ หาวธิ แี ก้ปญั หาทางคณติ ศาสตร์ (เชน่ แสดงการคำนวณ การแก้สมการ การลงข้อสรุปจากสมมติฐานทางคณิตศาสตร์ การใช้เชิงสัญลักษณ์ การสกัดข้อมูลทาง คณิตศาสตร์จากตารางและกราฟ การใช้สัญลักษณ์แทนและการจัดการกับรูปร่างและรูปทรง และการ วเิ คราะหข์ ้อมูล) สรา้ งแบบจำลองของสถานการณแ์ กป้ ัญหา สร้างกฎเกณฑ์ ระบุความเชื่อมโยงระหว่างองค์ ความรู้ทางคณิตศาสตร์ และสร้างข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ กระบวนการนี้ประกอบด้วยกิจกรรม ต่าง ๆ ต่อไปนี้ 3.3.1 การคิดและนำกลยทุ ธใ์ นการหาวธิ ีแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ไปใช้ 3.3.2 การใชเ้ คร่อื งมอื ทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งเทคโนโลยีเพื่อช่วยหาวธิ ีแก้ปญั หาที่ถูกต้อง หรือเหมาะสม 3.3.3 การนำขอ้ เทจ็ จรงิ กฎเกณฑ์ ขนั้ ตอนวธิ ี และโครงสร้างทางคณิตศาสตร์มาใช้ในการ แกป้ ัญหา 3.3.4 การดำเนินการในเรื่องจำนวน ข้อมูลและข้อสนเทศเกี่ยวกับกราฟและสถิติ นิพจน์ พชี คณติ และสมการ และการแสดงแทนทางเรขาคณิต การจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตรร์ ะดบั ประถมศกึ ษา หลกั พนื้ ฐานทางคณติ ศาสตร์ 16 3.3.5 การสร้างแผนภาพ กราฟ และโครงสร้างทางคณิตศาสตร์และการสกัดข้อมูลทาง คณิตศาสตร์จากส่งิ เหล่านัน้ 3.3.6 การใชแ้ ละการสลบั ที่ระหวา่ งการใช้สัญลักษณต์ ่าง ๆ ในกระบวนการแกป้ ญั หา 3.3.7 การสร้างข้อสรุปทั่วไปบนพื้นฐานของผลลัพธ์ที่เกิดจากการนำวิธีดำเนินการทาง คณิตศาสตรไ์ ปใช้ ในการแก้ปัญหา 3.3.8 การสะท้อนข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ การอธิบายและการแสดงเหตุผลต่อผลลัพธ์ ทางคณติ ศาสตร์ 3.4 ความสามารถพื้นฐานทางคณิตศาสตรท์ ี่อยใู่ นกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ความสามารถพ้นื ฐานทางคณิตศาสตรท์ ใ่ี ชใ้ นกรอบโครงสร้างนี้มี 7 ดา้ น ดงั ต่อไปนี้ 3.4.1 การสื่อสาร (Communication) ความสามารถของแต่ละบุคคลคนที่รับรู้การมีอยู่ ของสิ่งที่ท้าทาย และถูกกระตุ้นให้รู้และเข้าใจสถานการณ์ปัญหา การอ่าน การถอดรหัส และการตีความ ข้อความ การถาม ภาระงานหรอื ส่งิ ตา่ ง ๆ ที่ทำให้แตล่ ะคนสามารถสร้างแบบจำลองสถานการณ์ข้ึนมาในใจ ซึ่งเป็นขั้นตอนที่สำคัญในการเข้าใจปัญหา การทำปัญหาให้ง่ายขึ้น และการคิดสร้างปัญหา ในระหว่าง กระบวนการแก้ปัญหา ผลที่ได้ทันทีอาจจำเป็นต้องมีการสรุปและนำเสนอ หลังจากที่พบวิธีแก้ปัญหาแล้ว ผแู้ กป้ ัญหาจำเป็นตอ้ งนำเสนอวธิ ีแก้ปญั หานั้น และบางคร้งั ต้องมีการอธิบายและให้เหตผุ ลกบั ผู้อน่ื ด้วย 3.4.2 การทำให้เป็นคณิตศาสตร์ (Mathematising) การรู้เรื่องคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับ การแปลงปัญหา ในโลกชวี ติ จรงิ ใหอ้ ย่ใู นรปู ทางคณิตศาสตร์อย่างแทจ้ ริง (ซึ่งรวมทงั้ การสร้างโครงสร้างการ สรา้ ง กรอบโครงสรา้ งการประเมินผลนกั เรยี น โครงการ PISA 2015 แนวคดิ หลัก การสรา้ งสมมติฐาน และ/ หรือการคิดแบบจำลอง) หรือการตีความ หรือการประเมิน ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์หรือแบบจำลองทาง คณิตศาสตรใ์ หเ้ ชอ่ื มโยงกับปญั หาเดมิ 3.4.3 การแสดงแทน (Representation) การรู้เร่ืองคณติ ศาสตร์มกั เกยี่ วข้องกบั การแสดง เครื่องหมาย แทนของสิ่งต่าง ๆ และสถานการณ์ในเชิงคณิตศาสตร์อยู่บ่อยครั้ง นำมาซึ่งการคัดเลือกการ ตคี วาม การแปล และการแสดงเครอื่ งหมายแทนที่หลากหลายในการจับประเดน็ ของสถานการณป์ ฏิสัมพันธ์ กับปัญหา หรอื เพื่อนำเสนองาน การแสดงแทน ได้แก่ กราฟ ตาราง แผนภาพ รูปภาพ สมการ สตู ร และสื่อ ทเี่ ป็นรูปธรรม 3.4.4 การใหเ้ หตุผลและการสร้างขอ้ โต้แย้ง (Reasoning and argument) ความสามารถ ทางคณิตศาสตร์ ที่ถูกนำมาใช้ในแต่ละขั้นตอนและแต่ละกิจกรรมที่เชื่อมโยงกับการรู้เรื่องคณิตศาสตร์คือ การให้ เหตุผลและการสร้างข้อโต้แย้ง ความสามารถนี้เกี่ยวข้องกับพื้นฐานของความเป็นเหตุเป็นผลใน กระบวนการคิดที่ค้นหาและเชื่อมโยงกับองค์ประกอบของปัญหา เพื่อใช้สร้างข้อสรุปจากสิ่งเหล่านั้น ตรวจสอบการใหเ้ หตุผลที่ไดร้ ับ หรอื แสดงการใหเ้ หตุผลของขอ้ ความหรือวธิ แี กป้ ัญหา 3.4.5 การสร้างกลยุทธ์เพื่อแกป้ ญั หา (Devising strategies for solving problems) การ รู้เรื่อง คณิตศาสตร์จำเป็นต้องคิดกลยุทธ์ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์อยู่บ่อยครั้งซึ่งประกอบด้วย กระบวนการควบคมุ ขนั้ สูงท่ีนำแต่ละคนไปสู่การรู้การสร้าง และการแกป้ ัญหาไดอ้ ย่างมี ประสิทธภิ าพทักษะ นี้มีลักษณะทีเ่ ป็นการเลือก หรือคิดแผน หรือกลยุทธ์ที่จะใช้คณติ ศาสตร์ในการแก้ปัญหาท่ีมาจากภาระงาน การจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรร์ ะดบั ประถมศึกษา หลกั พืน้ ฐานทางคณติ ศาสตร์ 17 หรือบริบทและการชีแ้ นวทาง การนำไปใช้ ความสามารถทางคณิตศาสตร์นีอ้ าจต้องใช้ในขัน้ ตอนใดขั้นตอน หนง่ึ ของกระบวนการแก้ปัญหา 3.4.6 การใชส้ ญั ลกั ษณ์ ภาษาที่เป็นทางการและภาษาเทคนคิ และการดำเนนิ การ (Using symbolic, formal and technical language and operations) การรู้เรื่องคณิตศาสตร์จำเป็นต้องใช้ สัญลักษณ์ภาษาที่เป็นทางการและภาษาเทคนิค และการดำเนินการ ซึ่งประกอบด้วยความเข้าใจ การ ตีความการจัดการ และการใช้นิพจน์สัญลักษณ์ในบริบททางคณิตศาสตร์ (ได้แก่ นิพจน์พีชคณิต และการ ดำเนนิ การ) เพือ่ ดำเนนิ การตามแบบแผนและกฎเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์และยังรวมถึง ความเขา้ ใจ และการ ใช้โครงสร้างตามแบบแผนที่มาจากนิยาม กฎเกณฑ์และระบบตามแบบแผน และการใช้อัลกอริทึมกับองค์ ความรู้เหล่านี้ด้วย สัญลักษณ์กฎเกณฑ์และระบบจะถูกใช้ตามความรู้เนื้อหาทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็น สำหรับภาระงานนน้ั ๆ โดยเฉพาะในการสร้าง แก้ปัญหา หรือ ตคี วามทางคณิตศาสตร์ 3.4.7 การใชเ้ คร่อื งมอื ทางคณติ ศาสตร์ (Using mathematical tools) สมรรถนะสดุ ทา้ ย นี้เป็นการสนับสนุนการรู้เรื่องคณิตศาสตร์ในทางปฏิบัติซึ่งเป็นการใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ เครื่องมือ ทางคณิตศาสตร์รวมถึงเครื่องมือทางกายภาพ เช่น เครื่องมือวัด เครื่องคิดเลข และเครื่องมือในกรอบ โครงสร้างการประเมินผลนักเรียน โครงการ PISA 2018 คอมพิวเตอร์ซึ่งมีให้ใช้มากขึ้นอย่างกว้างขวาง ความสามารถนี้เกี่ยวข้องกับการรู้จักและการนำเครื่องมือที่หลากหลายมาใช้เพื่อช่วยในกิจกรรมทาง คณิตศาสตรแ์ ละการรู้ถึงข้อจำกดั ของเครื่องมือ นั้น ๆ เครือ่ งมือทางคณติ ศาสตร์ยังสามารถมีบทบาทสำคัญ ในการใหข้ ้อมูลผลลัพธด์ ว้ ย 3.5 เนื้อหาคณิตศาสตร์ ความเข้าใจในเนอ้ื หาคณิตศาสตร์ และความสามารถในการนำความรู้ไปใชใ้ นการแก้ปัญหา ได้จริงเป็นสงิ่ สำคัญ ในการแก้ปัญหาและตคี วามสถานการณ์ในบริบทต่าง ๆ จำเปน็ ต้องดงึ ความรู้และความ เข้าใจเกี่ยวกับคณิตศาสตร์มาใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือในการสร้างความเข้าใจ จัดระเบียบ และวิเคราะห์ปรากฏการณ์ต่าง ๆ ในธรรมชาติ สังคม และการคิดจิตนาการต่าง ๆ ในโรงเรียน หลักสูตร คณิตศาสตร์จะถูกจัดเป็นสาขาวิชา (เลขคณิต พีชคณิต เรขาคณิต ฯลฯ) ที่สะท้อนถึงที่มา แนวคิดที่ยึดถือ มา และเป็นฐานของการจัดการแผนการเรียนการสอน อย่างไรก็ตามในโลกของความเป็นจริง ปรากฏการณ์ ที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ไม่ได้จัดระเบียบมาเป็นหมวดหมู่หรือแยกสายวิชามาให้ และไม่ค่อยมี ปรากฏการณ์ใดที่สามารถใชค้ วามรู้จากสายวิชาเดียวโดด ๆ มาแก้ปัญหาได้ หากแต่ต้องใช้พื้นฐานความร้ทู ่ี กว้างขวาง ครอบคลุมหลายด้านกว่าที่ใช้อยู่ในห้องเรียนเนื่องจากระดับของการรู้เรื่องคณิตศาสตร์จะ พิจารณาจากการที่บุคคลนั้นสามารถใชค้ วามรู้และทักษะทางคณิตศาสตร์มาแกป้ ัญหาในโลกของความเปน็ จริงตามสถานการณ์หรือบริบททีแ่ ตกต่างหลากหลายได้ดเี พียงใด ดังนั้น ในการประเมินจึงใช้ปรากฏการณ์ เป็นตวั ตั้งในการนำไปสู่แนวคิดโครงสร้าง หรือความคดิ หลักการทางคณิตศาสตร์ วิธีนจ้ี งึ ประกันได้ว่าจะตรง กับจดุ มุง่ หมายในนิยามของการประเมิน ซง่ึ จะไมเ่ หมือนกบั การประเมินผลคณติ ศาสตรท์ ี่พบเห็นในหลักสูตร ทั่วไป โครงสร้างการประเมินคณิตศาสตร์ครอบคลุมเนื้อหา 4 เรื่อง และยังครอบคลุมเนื้อหาที่นักเรียนได้ เรียนมาแล้วตามหลักสูตรคณิตศาสตรใ์ นโรงเรยี น ได้แก่ การเปลี่ยนแปลงและความสัมพันธ์ (Change and การจัดการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ระดบั ประถมศึกษา หลกั พืน้ ฐานทางคณติ ศาสตร์ 18 Relationships) ปริภูมิและรูปทรง (Space and Shape) ปริมาณ (Quantity) และ ความไม่แน่นอนและ ขอ้ มลู (Uncertainty and Data) แตล่ ะเน้อื หามลี กั ษณะและรายละเอียดดังน้ี 3.5.1 การเปล่ียนแปลงและความสัมพนั ธ์ (Change and Relationships) โลกแสดงใหเ้ ราเห็นถึงการเปล่ยี นแปลงมากมายมหาศาล และแสดงใหเ้ หน็ ถึงความสัมพันธ์ทั้ง ชั่วคราวและถาวรของการเปลี่ยนแปลงในธรรมชาติ (ตัวอย่างเช่น มีการเปลี่ยนแปลงของสิ่งมีชีวิตขณะ เจริญเติบโต การหมุนเวียนของฤดูกาล การขึ้นลงของกระแสน้ำ การเปลี่ยนแปลงของอวกาศการขึ้นลงของ หุ้น การว่างงานของคน) การเปลี่ยนแปลงบางกระบวนการสามารถบอกได้หรอื สร้างเป็นตัวแบบได้โดยตรง โดยใชฟ้ งั กช์ นั ทางคณิตศาสตร์ ความสมั พนั ธ์ทางงคณติ ศาสตร์สว่ นมากเป็นรูปแบบของสมการหรืออสมการ แต่ความสัมพันธ์ในธรรมชาติอื่น ๆ ก็อาจเกิดขึ้นได้เช่นกัน ความสัมพันธ์หลายอย่างไม่สามารถใช้ คณิตศาสตร์ได้โดยตรง ต้องใช้วิธีการอื่น ๆ และจำเป็นต้องมีการวิเคราะห์ข้อมูลเพื่อระบุถึงความสัมพันธ์ นอกจากน้ี ธรรมชาตแิ ละสิ่งที่มนุษย์สรา้ งสรรค์ขึ้นในโลกมีความสัมพันธ์กบั สภาพแวดล้อมการเปล่ียนแปลง ที่เกิดขึ้นในระบบจะส่งผลซึ่งกันและกัน ในหลายกรณีมีการเปลี่ยนแปลงนี้เกิดขึ้นตามช่วงเวลา และบาง กรณีการเปลี่ยนแปลงของสิ่งหนึ่งหรือหลาย ๆ สิ่งที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของอีกสิ่งหนึ่ง โดยมีทั้ง การเปลี่ยนแปลงแบบต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง บางความสัมพันธ์เป็นสิ่งที่ถาวรหรือไม่เปลี่ยนแปลงเป็นไป ตามธรรมชาตขิ องสง่ิ น้นั ดังน้ันการรเู้ รือ่ งการเปลีย่ นแปลงและความสัมพนั ธจ์ ะเก่ียวข้องกบั ความเข้าใจเรื่อง การเปลี่ยนแปลงแบบต่าง ๆ และการรู้ว่าเมื่อเกิดการเปลี่ยนแปลงจะใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ เหมาะสมเพ่ือใช้อธิบายและทำนายการเปลย่ี นแปลงน้ันได้อย่างไร ซ่งึ ในทางคณิตศาสตร์การทำแบบจำลอง และการตคี วามการเปลีย่ นแปลงของปรากฏการณ์ตา่ ง ๆ 3.5.2 ปรภิ มู แิ ละรปู ทรง (Space and Shape) ปริภูมิและรูปทรงครอบคลุมปรากฏการณ์ต่าง ๆ อย่างกว้างขวางซึ่งมีอยู่ทั่วทุกแห่งใน โลกท่เี ราสามารถเหน็ ไดแ้ ละมลี ักษณะเป็นกายภาพ ไดแ้ ก่ แบบรูป สมบัติของวตั ถุ ตำแหน่งและทิศทางการ แสดงแทนวัตถุ การเข้ารหัสและถอดรหัสของสาระที่มองเห็นจากภาพได้ การนำทาง และปฏิสัมพันธ์ของ กลศาสตรก์ ับรูปร่างจรงิ และกับการแทน เรขาคณติ เป็นพน้ื ฐานทีจ่ าเปน็ สำหรับปริภูมแิ ละรปู ทรง แตเ่ น้ือหา ปริภูมิและรูปทรงมีรายละเอียดเกินกว่าสาระของวิชาเรขาคณิต ทั้งในเรื่องเนื้อหา ความหมายและวิธีการ ซึ่งจะขยายกว้างไปถึงเรื่องทัศนะการมองเหน็ การวัดขนาด และพีชคณิต การศึกษาเรื่องของรูปร่างมีความ เกีย่ วขอ้ งอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของเรื่องทวี่ ่าง ซึง่ ต้องการความเข้าใจในเร่ืองสมบตั ิขชองวัตถุและตำแหน่ง เปรียบเทียบของวัตถุ เราต้องรู้ว่าเรามองเห็นวัตถุสิ่งของต่าง ๆ อย่างไร และทำไมเราจึงมองเห็นอย่างทีเ่ รา เห็น เราจ้องเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างรูปร่างและภาพในควรมคิด หรือภาพที่เรามองเห็น เป็นต้นว่า มองเหน็ ความสัมพนั ธ์ของตวั เมืองจริงกับแผนที่ รูปถา่ ยของเมืองนน้ั ขอ้ น้ีรวมท้ังความเข้าใจในรูปร่างที่เป็น สามมิติที่แสดงแทน ออกมารในภาพสองมิติ มีความเข้าใจใจเรื่องของเงา และภาพที่มีความลึก (Perspective) และเข้าใจด้วยว่ามันทำงานอยา่ งไร 3.5.3 ปรมิ าณ (Quantity) แนวคิดเรื่องปริมาณเปน็ เรือ่ งทางคณิตศาสตรท์ ี่พบมากที่สุดและเป็นเรื่องทีจ่ ำเป็นต้อง ใช้ในชีวิตประจำวัน ในเรื่องปริมาณจะรวมถึงเรื่องการกำหนดปริมาณของวัตถุ ความสัมพันธ์ สถานการณ์ การจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ระดบั ประถมศกึ ษา หลักพน้ื ฐานทางคณิตศาสตร์ 19 และกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ในโลก ความเข้าใจการแสดงแทนปริมาณในรูปแบบต่าง ๆ และการตัดสินจากการ ตีความและข้อโต้แย้งเชิงปริมาณ การรู้เรื่องปริมาณควรมีความเข้าใจเกี่ยวกับการวัดขนาด การนับขนาด หน่วยนับ ตัวบ่งชี้ ขนาดสัมพันธ์ และแนวโน้มเชิงตัวเลขและแบบรูป นอกจากนี้ ในด้านการให้เหตุผลเชิง ปริมาณ เช่น ความรู้สึกเชิงจำนวน การแสดงจำนวนด้วยวิธีต่าง ๆ การคำนวณอย่างฉลาด การคิดเลขในใจ การประมาณค่า และการประเมินผลลัพธ์อย่างมีเหตุมีผล ล้วนเป็นสิ่งจำเป็นต่อการรู้เรื่องทางคณิตศาสตร์ เกยี่ วกบั ปรมิ าณ การแสดงปริมาณเปน็ วิธีข้ันพื้นฐานสำหรบั การอธิบายและการวัดสง่ิ ต่าง ๆ ในโลก และเป็น ตัวช่วยในด้านต่าง ๆ เช่น การสร้างแบบจำลองสถานการณ์ การตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงและ ความสัมพันธ์ การอธิบายและการปรับปรุงเรื่องปริภูมิและรูปทรง การจัดการและการตีความข้อมูลการวัด และประเมินความไม่แน่นอน ดังนั้น การรู้เร่ืองทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับปริมาณ จึงเป็นการนำความรู้เรื่อง จำนวนและการด าเนนิ การไปใช้ในเป้าหมายต่าง ๆ อยา่ งกวา้ งขวางจุดเน้นของเร่ืองนี้ คอื การบอกปริมาณ รวมทั้งความเข้าใจเรื่องของขนาด (เปรียบเทียบ) แบบรูปของจำนวน และการใช้จำนวน เพื่อแสดงปริมาณ และแสดงวัตถุต่าง ๆ ในโลกจริง ๆ ในเชิงปริมาณ (การนับและการวัด) นอกจากนี้ปริมาณยังเกี่ยวข้องกับ กระบวนการและความเขา้ ใจเรื่องจำนวนทนี่ ำมาใช้ในเรื่องตา่ ง ๆ อย่างหลากหลาย 3.5.4 ความไมแ่ น่นอนและขอ้ มลู (Uncertainty and Data) เรื่องของความไม่แน่นอนเกี่ยวข้องกับสองเรื่อง คือ ข้อมูล และ โอกาส ซึ่งเป็น การศึกษาทาง“สถิติ” และเรื่องของ “ความน่าจะเป็น” ข้อแนะนำสำหรับหลักสูตรคณิตศาสตร์ในโรงเรียน สำหรับประเทศสมาชิก OECD คือ ให้ความสำคัญกับเรื่องของสถิติและความน่าจะเป็น ให้เป็นจุดเด่น มากกว่าที่เคยเป็นมาในอดีต เพราะว่าโลกปัจจุบันในยุคของ “สังคมข้อมูลข่าวสาร” ข้อมูลข่าวสารท่ี หลั่งไหลเข้ามาแน่นอนหลายอย่าง เช่น ผลการเลือกตั้งที่ไม่คาดคิด การพยากรณ์อากาศที่ไม่เที่ยงตรงการ ล้มละลายทางเศรษฐกิจ การเงิน การพยากรณ์ต่าง ๆ ที่ผิดพลาด แสดงให้เห็นถึงความไม่แน่นอนของโลก ทำให้คณิตศาสตร์เข้ามามีบทบาทในส่วนนี้ คือ การเก็บข้อมูล การวิเคราะห์ข้อมูล การเสนอข้อมูล ความ น่าจะเป็น และการอ้างอิง (สถิติ) ความไม่แน่นอนเป็นเรื่องที่มีอยู่ในวิทยาศาสตร์เทคโนโลยีและใน ชีวิตประจำวัน และเป็นเรื่องที่เป็นหัวใจสำคัญของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในสถานการณ์ปัญหาที่ หลากหลาย รวมทั้งทฤษฎีความนา่ จะเป็นและสถิติ และเทคนิคของการพรรณนาและการนำเสนอข้อมูลซึ่ง ถูกสร้างขึ้นมาเพื่อจัดการกับเรื่องนี้ เนื้อหาเรื่องความไม่แน่นอนและข้อมูลนี้รวมถึงการรู้ว่าตำแหน่งใดที่มี ความผันแปรในกระบวนการมีการรับรู้ถึงปริมาณของความผันแปร การรับรู้ถึงความไม่แน่นอนและความ ผิดพลาดจากการวัด และความรู้ในเรื่องโอกาสที่จะเกิดขน้ึ นอกจากน้ี ยังรวมความคดิ การตคี วาม และการ ประเมินข้อสรุปในสถานการณ์ที่มีความไม่แน่นอนเป็นจุดสำคัญ ความไม่แน่นอนพบได้ในการทำนายทาง วิทยาศาสตร์ การสำรวจความคิดเห็น การพยากรณ์อากาศ และแบบแผนทางเศรษฐกิจการมีความแปรผัน ในกระบวนการผลิต คะแนนสอบ และผลการสำรวจ รวมทั้งเรื่องโอกาสซึ่งพบได้ในกิจกรรมสันทนาการ ต่าง ๆ ของแต่ละคน โดยทั่วไป เรื่องความน่าจะเป็นและสถิติในหลักสูตรเป็นเครือ่ งมือที่ใช้ในการพรรณนา การสร้างตัวแบบ การตีความความไม่แน่นอนของปรากฏการณ์ และการนำไปอ้างอิง นอกจากนี้การ แก้ปัญหาที่อยู่ในเนื้อหาประเภทนี้ยังต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับจำนวนและพีชคณิต เช่น การแสดงแทนด้วย กราฟ และสัญลกั ษณ์ดว้ ย การจัดการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ระดบั ประถมศึกษา หลักพ้นื ฐานทางคณิตศาสตร์ 20 จากแนวคิดที่กล่าวมานั้น ความสำเร็จหรือความล้มเหลวของการเรียนการสอนคณิตศาสตร์นั้น ส่วนหนึ่งขึ้นอยู่กับสมรรถนะทางคณิตศาสตร์ของทั้งผู้เรียนและผู้สอน จึงจำเป็นต้องพัฒนาสมรรถนะของ ผู้เรียน 3 ด้าน คือ ด้านความรู้ ด้านทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ และด้านคุณลักษณะอันพึง ประสงค์ ในส่วนของครูควรได้รับการพัฒนาสมรรถนะ 3 ด้าน เช่นกันคือ ด้านความรู้ ด้านทักษะการสอน และดา้ นจิตลกั ษณะในการพฒั นาผเู้ รียน และสิ่งสำคญั ในการเรียนคณติ ศาสตร์ในยุคนจี้ ะต้องมุ่งเน้นถึงการ รู้เรื่องคณิตศาสตร์ (Mathematical Literacy) ซึ่งเป็นความสามารถของบุคคลในการคิดใช้ และตีความ คณิตศาสตร์ในสถานการณ์ต่าง ๆ ที่หลากหลายรวมถึงการให้เหตุผลอย่างเป็นคณิตศาสตร์ ใช้แนวคิดและ กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ในการอธิบาย และทำนายปรากฏการณ์ตา่ ง ๆ บทสรปุ ลกั ษณะและธธรรมชาตขิ องคณิตศาสตร์ กล่าวได้ว่าคณิตศาสตร์มลี ักษณะเป็นนามธรรม ใช้ภาษา และสัญลักษณ์ในการสื่อความหมาย เป็นทั้งศาสตร์แห่งการมีระบบแบบแผนชัดเจน มีโครงสร้าง มีเหตุผล และสามารถพิสูจนไ์ ด้ เกี่ยวข้องกับการคำนวณ การคิด และการแก้ปัญหา และเป็นศิลปะที่แสดงถึงความมี ระเบยี บ การมีจินตนาการ มีความคิดรเิ ร่ิม ตลอดจนมคี วามเป็นสากล จะเห็นได้วา่ คณิตศาสตร์มีความสำคัญทง้ั ในแง่ของการใช้งานในชวี ิตจริง และการพฒั นาการศึกษา ให้แก่สังคม อีกทั้งมีความสำคัญในมุมมองของการเป็นศาสตร์แห่งการพัฒนาความคิด ความมีเหตุผลและ การพัฒนาทักษะชวี ติ จึงเป็นผลให้สามารถอยูร่ ่วมกบั ผู้อนื่ ไดอ้ ยา่ งมคี วามสุข โครงสรา้ งของคณติ ศาสตรป์ ระกอบด้วย คำอนิยาม คำนยิ าม สัจพจน์ และทฤษฎี มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ เป็นความคิดรวบยอดเกี่ยวกับลักษณะสำคัญ ความหมาย อนิยาม บท นิยาม สัจพจน์ ทฤษฎีบท เป็นความคิดนามธรรมที่ทำให้ผู้เรียนสามารถจำแนกสิ่งทีม่ ีลักษณะตามความคดิ นามธรรมน้ัน ๆ ได้ มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียนและผู้สอนจึงมีความสำคญั มากต่อการจดั การเรยี น การสอน และการนำคณิตศาสตร์ไปใช้ การพฒั นามโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ คอื จัดการเรียนรู้เพ่ือให้ผู้เรียน ได้เรียนรู้ในสิ่งที่มีความหมายและผู้เรียนเป็นผู้สร้างมโนทัศน์ด้วยตนเอง ออกแบบกิจกรรมและเลือกสื่อ นวัตกรรม เทคโนโลยีให้สอดคล้องกับมโนทัศน์ที่ต้องการพัฒนาให้ผู้เรียน และมีการประเมินผลการพัฒนา มโนทัศน์เปน็ ระยะ ๆ อยา่ งตอ่ เนอ่ื ง เป็นผลตอ่ การพัฒนามโนทัศน์ของผเู้ รยี น สมรรถนะทางคณิตศาสตร์เป็นความรู้ความสามารถทางคณิตศาสตร์ของทั้งผู้เรียนและผู้สอน จึง จำเปน็ ตอ้ งพฒั นาสมรรถนะของผเู้ รียน 3 ด้าน คอื ด้านความรู้ ดา้ นทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ และด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ ในส่วนของครูควรได้รับการพัฒนาสมรรถนะ 3 ด้าน เช่นกันคือ ด้าน ความรู้ ด้านทกั ษะการสอน และดา้ นจติ ลกั ษณะในการพฒั นาผูเ้ รยี น และสิง่ สำคญั ในการเรยี นคณิตศาสตร์ ในยุคนี้จะต้องมุ่งเน้นถึง การรเู้ ร่ืองคณติ ศาสตร์ (Mathematical Literacy) ซ่งึ เป็นความสามารถของบุคคล ในการคิดใช้ และตีความคณิตศาสตร์ในสถานการณ์ต่าง ๆ ที่หลากหลายรวมถึงการให้เหตุผลอย่างเป็น คณิตศาสตร์ ใช้แนวคิดและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการอธิบาย และทำนายปรากฏการณ์ต่าง ๆ คณุ ลักษณะของผูเ้ รยี นจงึ เกิดจากการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ การจัดการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ระดบั ประถมศึกษา |
การใช ฟ งก ช นทางคณ ตศาสตร อ ลกอร ท ม
กระทู้ที่เกี่ยวข้อง
ลิขสิทธิ์ © 2024 th.ketiadaan Inc.
