การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายในชีวิตประจำวันมีอะไรบ้าง

นาฬิกาแบบลูกตุ้ม

ในธรรมชาติและกิจกรรมต่างๆ ในชีวิตประจำวันของมนุษย์ มีเรื่องที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่มากมาย การที่เราเข้าใจลักษณะการเคลื่อนที่แบบต่างๆนอกจากจะทำให้เราซาบซึ้งในธรรมชาติ และช่วยให้เราทำกิจกรรมที่เกี่ยวข้องได้สำเร็จแล้ว ยังจะช่วยให้เรามีความปลอดภัย รวมทั้งเป็นแนวคิดพื้นฐานที่นำไปสู่การพัฒนาทางเทคโนโลยีอีกด้วย

ปริมาณต่างๆ ของการเคลื่อนที่แบบซิลเปิลฮาร์มอนิก

1.แอมพลิมูล (Amplitude : A ) คือ การกระจัดสูงสุดของการเคลื่อนที่วัดจากจุดสมดุลไปยังจุดปลาย มีค่าคงที่เสมอ หรือบางครั้งเรียกว่า ช่วงกว้าง

2.คาบ (Period : T ) คือ ช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ นับจากจุดปลายด้านหนึ่งไปยังจุดปลายอีกด้านหนึ่งแล้วเคลื่อนที่กลับมายังจุดปลายเดิม มีหน่วยเป็น วินาที / รอบ หรือ วินาที

3.ความถี่ (Frequency : f) คือ จำนวนรอบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา มีหน่วยเป็น รอบ / วินาที หรือ เฮิรตซ์ (Hz)

จากการศึกษาการแกว่งของวัตถุ พบว่า

1.คาบและความถี่ของการแกว่งของวัตถุ ขึ้นกับความยาวของสายแขวนวัตถุ โดยความยาวสายแขวนมาก วัตถุแกว่งช้า มีคาบมากแต่ความถี่มีค่าน้อยกว่าเมื่อสาบแขวนสั้น

จากการศึกษาในบทเรียนต่อไป พบว่า
เมื่อ คือ ความยาวสายแขวนวัตถุ

G คือ คาบเร่งเนื่องจากสนามโน้มถ่วง

T คือ คาบของการแกว่ง

F คือ ความถี่ของการแกว่ง

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย(Simpleharmonic Motion)

การเคลื่อนที่ของสิ่งต่างๆ เช่น การแกว่งชิงช้า การแกว่งของลูกตุ้ม การเคลื่อนที่ของมวลที่ติดกับปลายแผ่นสปริง การเคลื่อนที่ขึ้นลงของผิวน้ำขณะเกิดคลื่นผิวน้ำ การเคลื่อนที่ของสิ่งเหล่านี้แตกต่างจากการเคลื่อนที่แบบอื่นอย่างไร

การเคลื่อนที่ของชิงช้า ลูกตุ้มและมวลที่ปลายแผ่นสปริงมีลักษณะที่เหมือนกัน คือ ถ้าเราเริ่มสังเกตวัตถุดังกล่าวจะเคลื่อนที่ผ่านตำแหน่งสมดุลไปในทิศทางหนึ่งและอัตราเร็วจะลดลงเรื่อยๆจนหยุด แล้วเคลื่อนที่ย้อนกลับมาตามแนวทางเดิม โดยอัตราเร็วเพิ่มขึ้นเรื่อยๆและมีอัตราเร็วสูงสุดเมื่อผ่านตำแหน่งสมดุล จากนั้นอัตราเร็วจะลดลงจนหยุดอีกครั้งหนึ่ง

การเคลื่อนที่ของวัตถุติดสปริงบนพื้นราบ

ในรูป วางมวลไว้บนพื้นราบ ผูกวัตถุเข้ากับปลายหนึ่งของสปริงโดยที่อีกปลายหนึ่งของสปริงผูกติดกับผนัง วัตถุจะอยู่นิ่งๆ บนพื้นในตำแหน่งสมดุล เมื่อดึงวัตถุออกจากตำแหน่งสมดุลแล้วปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่บนพื้นราบ วัตถุจะเคลื่อนที่กลับไปกลับมาผ่านตำแหน่งสมดุลและซ้ำเส้นทางเดิมการเคลื่อนที่ในลักษณะนี้มีจำนวนมาก เช่น การสั่นของสายไวโอลินเมื่อถูกสี การสั่นของกลองเมื่อถูกตี การเคลื่อนที่ของวัตถุที่ติดปลายลวดสปริง การเคลื่อนที่ของโมเลกุลอากาศเมื่อเคลื่อนเสียงส่งผ่าน การเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนในสายอากาศของเครื่องส่งวิทยุ เป็นต้น ปริมาณที่สำคัญอย่างหนึ่งของการเคลื่อนที่ในลักษณะนี้ คือ ความถี่ ซึ่งหมายถึงจำนวนรอบของการเคลื่อนที่ใน 1 วินาที แทนสัญลักษณ์ f มีหน่วยเป็นเฮิรตซ์ (Hz) ซึ่ง 1 Hz =

           ความถี่จะเป็นส่วนกลับกับคาบ ดังสมการ (4.13) คาบคือ เวลาในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ ใช้สัญลักษณ์ T แทนคาบ คาบมีหน่วยเป็นวินาที (s)

(4.13)
การเคลื่อนที่ใดๆ ซึ่งเคลื่อนที่กลับไปมาซ้ำทางเดิม โดยผ่านตำแหน่งสมดุลและคาบของการเคลื่อนที่คงตัว ดังแสดงด้วยกราฟของการเคลื่อนที่ในแนวแกน x ดังรูป 4.24 เรียกว่า การเคลื่อนที่แบบพีริออดิก(periodic motion)

กราฟของการเคลื่อนที่แบบพีริออดิก ทางแกน x

การเคลื่อนที่แบบพีริออดิกชนิดหนึ่งที่กราฟของการกระจัดกับเวลาอยู่ในรูปของฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์ความถี่คงที่มีค่าที่แน่นอนค่าเดียว เรียกว่า การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (simple harmonic motion) นั่นคือ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นการเคลื่อนที่แบบพีริออดิกอย่างหนึ่ง อาจจะเรียกย่อๆ ว่า การเคลื่อนที่แบบ SHM การกระจัดทาง x ในรูปฟังก์ชันของเวลา t ของ SHM โดยทั่วไปเขียนเป็นสมการได้เป็น

(4.14)
ซึ่ง

และ

เป็นค่าคงตัว

เป็นการกระจัดสูงสุด เรียกว่า แอมพลิจูด (Amplitude)

เป็นความถี่เชิงมุม มีค่าเท่ากับ

เมื่อ f เป็นความถี่ หรือเท่ากับ

เมื่อ T เป็น คาบ (period)

เป็นค่าคงตัวทางเฟส (phase constant) หมายถึงเฟสเริ่มต้น คือค่าเฟสที่เวลาเป็นศูนย์ การเคลื่อนที่จะเป็นรูปไซน์หรือโคไซน์ขึ้นกับค่านี้ ถ้า

ก็เป็นรูปโคไซน์ ถ้า

ก็เป็นรูปไซน์ เนื่องจากรูปโคไซน์และรูปไซน์ต่างกันที่เฟสเท่านั้น จึงอาจเรียกรวมว่าเป็นฟังก์ชันรูปไซน์ (sinusoidal function)

ในสมการ (4.14) นับเป็นเฟสที่เปลี่ยนไปตามเวลาของการเคลื่อนที่
จากสมการ (4.14) เมื่อเขียนกราฟระหว่างการกระจัดกับเวลา โดยมี

ต่างๆ กันการกระจัดที่ตำแหน่งเริ่มต้นจะมีค่าขึ้นกับมุมเฟสเริ่มต้น

ดังรูป

กราฟระหว่างการกระจัดกับเวลาของฟังก์ชันรูปไซน์

และ

</b>

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย จึงอาจจะเขียนได้ในรูป

(4.15)

ถ้าอนุภาคเริ่มต้นเคลื่อนที่จากตำแหน่งสมดุล (x = 0) ซึ่งจะมีลักษณะเช่นเดียวกับกราฟของ

สรุปได้ว่า สำหรับ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย คือการเคลื่อนที่ซึ่งมีการกระจัดเป็นฟังก์ชันของเวลาเป็นฟังก์ชันรูปไซน์

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเทียบกับการเคลื่อนที่เป็นวงกลม

การเคลื่อนที่แบบซิมเปิ้ลฮาร์มอนิก มีลักษณะคล้ายกับการเคลื่อนที่แบบวงกลม กล่าวคือ มีการเคลื่อนที่กลับไปกลับมาซ้ำรอยเดิม เมื่อการเคลื่อนที่ครบรอบ ดังนั้น การศึกษาปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบซิมเปิ้ลฮาร์มอกนิก จึงสามารถศึกษาได้จาก เงาของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบวงกลมในระนาบดิ่ง ที่ตกกระทบไปยังระนาบในแนวดิ่ง และในแนวระดับ ดังภาพ

การหาปริมาณต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบซิมเปิ้ลฮาร์มอนิก เช่น การกระจัด ความเร็ว และความเร่งของนุภาค ณ ตำแหน่งต่างๆ เมื่อเวลาผ่านไป t ทั้งในแนวระดับและในแนวดิ่ง สามารถหาได้โดยใช้ความรู้เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ในแนววงกลม

เมื่อเวลาผ่านไป t ให้อนุภาคเคลื่อนที่ในแนวเฉพาะส่วนโค้งของวงกลมจากตำแหน่ง A ไปอยู่ตำแหน่ง B ทำมุมที่จุดศูนย์กลาง

การหาการกระจัดในแนวระดับและในแนวดิ่ง

จากรูป พิจารณาในแนวระดับ จะได้

พิจารณาในแนวดิ่ง จะได้

พิจารณาความเร็วของเงาของอนุภาค จากรูป ณ ตำแหน่ง B มีขนาด v

ซึ่งเท่ากับซึ่งเท่ากับ

หรือ

สามารถหาขนาดของความเร็วของเงาอนุภาคในแนวระดับและแนวดิ่งได้ ดังนี้

การหา

และ

XXXXXจากรูปXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXและXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXX

XXXXXจากXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXX

XXXXXแทนค่า

ในสมการ
XXXXXได้ว่าXXXXX

XXXXXXXXXXXX

XXXXXและXXXXX

XXXXXXXXXXXX

XXXXXเครื่องหมาย

หมายความว่า ณ ตำแหน่งหนึ่งๆ อนุภาคมีการเคลื่อนที่ไปและกลับ
XXXXXพิจารณาความเร่งของเงาของอนุภาค จากรูป ณ ตำแหน่ง B มีความเร่ง a ซึ่งเท่ากับ

หรือ

สามารถหาขนาดของความเร่งของเงาของอนุภาคในแนวระดับและแนวดิ่งๆ ได้ ดังนี้

XXXXXการหา
และ

XXXXXจากรูปXXXXX

XXXXXหรือXXXXXX

XXXXXและXXXXXX

XXXXXXXXXXXXX

XXXXXหรือ XXXXX

XXXXXจากสมการที่ได้ออกมาเครื่องหมายมีค่าติดลบ (-) หมายความว่า ณ ตำแหน่ง B ความเร่ง a มีทิศตรงข้ามกับการกระจัด

และ

การหาอัตราเร็วสูงสุด (
) และอัตราความเร่ง (
)

XXXXXจากXXXXX

XXXXXณ ตำแหน่งสมดุล

มีค่ามากที่สุด
XXXXXได้ว่าXXXXX

XXXXXดังนั้นXXXXX

XXXXXจากXXXXXXXXX

XXXXXณ ตำแหน่งไกลสุด y มากสุดเท่ากับ A a มีค่ามากที่สุด
XXXXXได้ว่าXXXXX

ถ้านำดินน้ำมันก้อนโตพอเหมาะติดไว้ที่ขอบวงล้อกลมหรือแผ่นไม้วงกลมซึ่งหมุนได้คล่องในแนวระดับ เมื่อหมุนวงล้อให้อัตราเร็วเชิงมุมสม่ำเสมอ ดินน้ำมันจะเคลื่อนที่ในแนววงกลมด้วยอัตราเร็วสม่ำเสมอด้วย เมื่อฉายลำแสงขนานในแนวระดับไปที่ดินน้ำมัน ดังรูป เงาของดินน้ำมันจะปรากฏบนฉากข้างหลัง โดยการเคลื่อนที่ของเงาจะกลับไปกลับมาในแนวตรงเป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

การฉายแสงผ่านวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ปรากฏเงาบนฉากเป็น SHM

พิจารณาการเคลื่อนที่แบบวงกลมสัมพันธ์กับการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค (S.H.M)

จากภาพจะเห็นว่าเมื่อวัตถุสีเหลืองเคลื่อนที่เป็นวงกลม เงาของวัตถุบนฉากจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงกลับไป
กลับมา เรียกการเคลื่อนที่แบบซ้ำรอยเดิมนี้ว่า การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค (Simple Harmonic Motion)
หรือการเคลื่อนที่แบบ S.H.M

เงาบนฉากของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ก็เหมือนกบการคิดองค์ประกอบทาง x ของการเคลื่อนที่ของจุดๆ หนึ่งเป็นวงกลมบนระนาบ xy ดังรูป 4.27 ให้ที่ขณะหนึ่งจุดนั้นอยู่ที่ตำแหน่งมุม

หลังจากเคลื่อนที่มาแล้วเป็นเวลา t จากจุดตั้งต้นบนแกน x ดังรูป การเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่มีอัตราเร็วสม่ำเสมอ ดังนั้น

ถ้าวงกลมมีรัศมี r จะมีองค์ประกอบของตำแหน่งบนแกน x คือ

(4.16)
และองค์ประกอบของความเร็วบนแกน x คือ

(4.17)

จุด P เคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอบนระนาบ xy

จากความเร่งในทิศเข้าหาจุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากับ

หรือ

จะได้องค์ประกอบของความเร่งบนแกน x คือ

(4.18)
จะเห็นว่าตำแหน่งทาง x ในสมการ (4.16) เป็นอย่างเดียวกับสมการ (4.14) เมื่อ เมื่อ เมื่อ เมื่อ

ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย และเมื่อนำมาใช้ในสมการ (4.18) จะทำให้ได้ว่า

(4.19)
สมการ (4.19) แสดงลักษณะสำคัญประการหนึ่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย นั่นคือ การมีความเร่งเป็นปฎิภาคกับการกระจัดแต่มีทิศตรงกันข้าม เนื่องจาก

มีค่าคงตัว ทั้งนี้ทิศของความเร่งจะเป็นทิศเดียวกับแรง และแรงจะต้องเป็นแรงเข้าหาจุดสมดุลในขณะที่การกระจัดมีทิศออกไปจากสมดุล
สำหรับการเคลื่อนที่ของดินน้ำมันไปตามแนววงกลม เมื่อเคลื่อนที่ครบ 1 รอบใช้เวลาที่เรียกว่าหนึ่งคาบ (period) หรือ T หนึ่งรอบหมายถึงดินน้ำมันจะเคลื่อนที่ไป

เรเดียน ดังนั้นอัตราเร็วเชิงมุม

ของการเคลื่อนที่เป็นวงกลมจึงมีค่าเท่ากับ

ส่วนเงาของดินน้ำมันที่เคลื่อนที่กลับไปกลับมารอบตำแหน่งสมดุลจะมีความถี่ของการเคลื่อนที่เป็น

มีหน่วยเป็นรอบต่อวินาทีหรือเฮิรตซ์ (hertz, Hz) ความถี่เชิงมุม (

) ของการเคลื่อนที่แบบ SHM มีค่าเป็น

ซึ่งมีค่าเหมือนกับอัตราเร็วเชิงมุม

และมีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาทีเช่นเดียวกัน

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของรถติดสปริง

เมื่อดึงรถทดลองให้สปริงยึดและรถออกจากตำแหน่งสมดุลเป็นระยะ A จะได้การกระจัดของรถทดลองมีค่า A และมีแรง

ของสปริงดึงรถทดลองไปทางซ้าย ดัง รูป 4.28 ก. แรงนี้เรียกว่า แรงดึงกลับ (restoring force) มีค่าตาม

ซึ่งแสดงว่าขนาดและแรงดึงกลับแปรผันตรงกับระระยืดหรือหดของสปริงหรือขนาดการกระจัด แต่แรงดึงกลับ

มีทิศตรงข้ามกับการกระจัด

โดย k เป็นค่าคงตัวของสปริง
เมื่อปล่อยมือ แรง

จะดึงรถทดลองเคลื่อนที่กลับไปทางซ้ายเข้าหาตำแหน่งสมดุลด้วยความเร่ง

ทำให้ความเร็วมีขนาดเพิ่มขึ้นและมีทิศไปทางซ้าย ขนาดของแรง

จะลดลง เพราะขนาดการกระจัด

ลดลง การเคลื่อนที่เป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เมื่อรถทดลองเคลื่อนที่ถึงตำแหน่งสมดุล ขนาดของการกระจัด

เป็นศูนย์ ขนาดของ

และ

ก็เป็นศูนย์แต่ความเร็ว

ของรถทดลองจะมีค่ามากที่สุดและมีทิศไปทางซ้าย ดังรูป 4.28 ค
จากนั้นรถทดลองจะเคลื่อนที่ออกจากตำแหน่งสมดุลไปทางซ้ายต่อไปอีก และอัดลวดสปริงให้หดสั้น ลวดสปริงก็จะออกแรง

มีทิศไปทางขวาต้านการเคลื่อนที่ของรถทดลอง ในขณะนี้รถทดลองจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง

ที่มีทิศไปทางขวาทำให้ความเร็วรถทดลองลดลงเรื่อยๆ จนกระทั่งความเร็วเป็นศูนย์ ขณะนี้รถทดลองมีการกระจัดค่า - A ดังรูป จ แล้วเคลื่อนที่ต่อไปดังรูปซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เราอาจเขียนกราฟของการกระจัดกับเวลาของการเคลื่อนที่ของรถทดลองในรูป ได้ดังรูป

กราฟของการกระจัดของเวลาสำหรับหนึ่งรอบของการเคลื่อนที่

         เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของรถทดลองติดปลายสปริงที่เคลื่อนที่ แรงที่สปริงกระทำต่อรถทดลองจะมีค่าเป็น F = - kx   ถ้าให้ m เป็นมวลของรถทดลอง และ a เป็นความเร่งของรถทดลอง จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน
จะได้                        F   = ma = - kx
และ

                                                                                                                                      (4.20)
นั่นคือ การเคลื่อนที่ของรถทดลองติดสปริงเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่าง่ายเช่นเดียวกับการเคลื่อนที่ของเงาของดินน้ำมัน มีความเร่งแปรผันตรงกับการกระจัด แต่มีทิศตรงกับข้าม
          เทียบสมการ ( 4.20) กับสมการ (4.19) จะเห็นว่า ความเร่งคือ

ดังนั้น

(4.21)
ความถี่เชิงมุมของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีความสัมพันธ์กับค่าคงตัวของสปริง และมวลของวัตถุที่ติดกับสปริง ดังสมการ 4.21

การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย
ลูกตุ้มอย่างง่ายคือ ลูกตุ้มที่ประกอบด้วยมวลขนาดเล็ก ตามอุดมคติเป็นจุด แขวนที่ปลายด้ายหรือเชือกอ่อน โดยธรรมชาติวัตถุแขวนห้อยในแนวดิ่งเป็นตำแหน่งสมดุล เมื่อดึงวัตถุให้เอียงทำมุมเล็กๆ กับแนวดิ่งแล้วปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่แกว่งกลับไปมา ซึ่งจะพิสูจน์ได้ว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ขณะเส้นเชือกเอียงทำมุมกับแนวดิ่งมีแรงกระทำเข้าหาจุดสมดุล

พิจารณาลูกตุ้มที่ผูกติดกับเชือกเบา แล้วแกว่งไปมาในแนวดิ่งในทำนองเดียวกับการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา โดยกำหนดให้

m เป็นมวลของลูกตุ้ม

L เป็นความยาวของเส้นเชือก

Q เป็นมุมที่เส้นเชือกทำกับแนวดิ่ง

จากรูปจะเห็นว่าในขณะที่ลูกตุ้มอยู่ในแนว

กับแนวดิ่ง การขจัดจะเป็น x ซึ่งถ้า

เป็นมุมเล็ก ๆ จะได้ว่า x = L

ดังนั้นการขจัดของวัตถุอาจจะเขียนได้ว่าเป็น x หรือเป็น

ก็ได้ เมื่อพิจารณาแรงน้ำหนัก mg ของลูกตุ้ม ก็สามารถแตกแรงนี้ออกเป็น 2 ส่วน คือ mgcos

อยู่ในแนวเดียวกับเส้นเชือก และ mg sin

ซึ่งอยู่ในแนวเส้นสัมผัส แรง mg sin