รหัสวิชา 71 วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร์ (PAT 1) วันเสาร์ที่ 5 มีนาคม 2559 เวลา 13.00-16.00 มีทั้งหมด 45 ข้อ คะแนนรวม 300 คะแนน ตอนที่ 1 แบบปรนัย มี 5 ตัวเลือก จำนวน 30 ข้อ ตอนที่ 2 แบบอัตนัย (เติมคำตอบ) จำนวน 15 ข้อ เริ่มทำข้อสอบ
 คอร์สเรียน เกี่ยวกับเรา OPENDURIAN หน้าแรก คอร์สเรียน คลังข้อสอบ คลังความรู้ เกี่ยวกับเรา ล็อคอิน / สมัครสมาชิก
ข้อ 15 15 of 50 ฝึกทำโจทย์แบบชิลๆ น้องๆ สามารถเลือกทำโจทย์ได้ตามต้องการ ไม่มีการจับเวลา ไม่มีการนับคะแนน ตอบผิดแล้ว สามารถตอบใหม่ได้ สิ่งสำคัญ ก็คือ ควรทำความเข้าใจกับวิธีทำในเฉลยละเอียด การเรียนคณิตศาสตร์ให้ได้คะแนนดี ต้องเรียนด้วยการลองทำโจทย์เยอะๆ เคล็ดลับจากติวเตอร์ ระหว่างอ่านเฉลย อย่าลืมมองหา "เคล็ดลับจากติวเตอร์" กรอบสีเขียว เพื่อเรียนวิธีลัด ตีโจทย์แตก เร็ว แวร๊ง! วันนี้เรามาดูเฉลยข้อสอบ Pat1 เรื่องลำดับและอนุกรม ทั้งที่เป็นลำดับเลขคณิต ลำดับเรขาคณิต อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเรขาคณิต และที่เป็นแบบทั้งลำดับจำกัด อนุกรมจำกัดและที่เป็นทั้งลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ และมีการใช้พวก สัญลักษณ์แสดงการบวก มาช่วยในการหาคำตอบของอนุกรมด้วย ก็จะมีพวกสูตรพวกนี้ \[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}\] \[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\] \[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}\] และอื่นๆที่เราจะต้องใช้เช่น สูตรผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต \[S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\quad or\quad S_{n}=\frac{a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}\] สูตรหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต \[S_{n}=\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d]\quad or \quad S_{n}=\frac{n}{2}[a_{1}+a_{n}]\] สูตรการหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ถ้าอนุกรมเรขาคณิตอนันต์มี \(|r|<1\) สามารถหาผลบวกได้จาก \[\frac{a_{1}}{1-r}\] เอาละต่อไปเราเริ่มมาทำข้อสอบกันเลยดีกว่าครับผม 1. กำหนดให้อนุกรมต่อไปนี้ \(A=\displaystyle\sum_{i=1}^{1000}(-1)^{k},\quad B=\displaystyle\sum_{k=3}^{20}k^{2},\quad C=\displaystyle\sum_{k=1}^{100}k\quad , D=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}2(\frac{1}{2})^{k}\) ค่าของ \(A+B+C+D\) เท่ากับเท่าใด (PAT 1 (ก.ค.53)/23) วิธีทำ เอาละเรามาหาค่าของแต่ละตัวกันเลย เริ่มที่ A ก่อน \begin{array}{lcl}A&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{1000}(-1)^{k}\\&=&(-1)^{1}+(-1)^{2}+(-1)^{3}+(-1)^{4}+\cdots +(-1)^{999}+(-1)^{1000}\\&=&(-1)+1+(-1)+1+\cdots +(-1)+1\\&=&0\end{array} ต่อไปหาค่า B \begin{array}{lcl}B&=&\displaystyle\sum_{k=3}^{20}k^{2}\\&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{20}k^{2}-\displaystyle\sum_{k=1}^{2}k^{2}\\&=&\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}-(1^{2}+2^{2})\\&=&\frac{20(21)(41)}{6}-5\\&=&2870-5\\&=&2865\end{array} ต่อไปหาค่า C \begin{array}{lcl}C&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{100}k\\&=&\frac{k(k+1)}{2}&=&\frac{100(100+1)}{2}\\&=&5050\end{array} ต่อไปหาค่า D \begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}2(\frac{1}{2})^{k}&=&2\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^{k}\\&=&2\left[\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{3}+(\frac{1}{2})^{4}+\cdots\right]\\&=&2(\frac{a_{1}}{1-r})\\&=&2\left(\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\right)\\&=&2\end{array} ดังนั้น \begin{array}{lcl}A+B+C+D&=&0+2865+5050+2\\&=&7915+2\\&=&7917\quad\underline{Ans}\end{array} 2. ถ้า \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{2}b+1}{2n^{2}a-1}=1\) แล้วผลบวกของอนุกรม \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}\right)^{n}\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 มี.ค.52/29) วิธีทำ ข้อนี้เป็นการผสมผสานความรู้ระหว่างลิมิตขอลำดับอนันต์ และอนุกรมอนันต์ครับ เราไปหาลิมิตกันก่อนคับ \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{2}b+1}{2n^{2}a-1}&=&1\\\frac{b}{2a}&=&1\\so\\b&=&2a\end{array} เมื่อเรารู้ว่า \(b=2a\) เราก็นำค่านี้ไปแทนในอนุกรมเพื่อที่จะได้หาผลบวกได้ครับ นำไปแทนเลยจะได้ \begin{array}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}\right)^{n}&=&(\frac{a(2a)}{a^{2}+4a^{2}})+(\frac{a(2b)}{a^{2}+4a^{2}})^{2}+(\frac{a(2b)}{a^{2}+4a^{2}})^{3}+\cdots\\&=&\frac{2a^{2}}{5a^{2}}+(\frac{2a^{2}}{5a^{2}})^{2}+(\frac{2a^{2}}{5a^{2}})^{3}+\cdots\\&=&\frac{2}{5}+(\frac{2}{5})^{2}+(\frac{2}{5})^{3}+\cdots\\&=&\frac{a_{1}}{1-r}\\&=&\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{2}{5}}\\&=&\frac{2}{5}\times \frac{5}{3}\\&=&\frac{2}{3}\quad\underline{Ans}\end{array} 3. ให้ \(k\) เป็นค่าคงที่ และถ้า \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{k(n^{5}+n)+3n^{4}+2}{(n+2)^{5}}=15+6+\frac{12}{5}+\cdots +15(\frac{2}{5})^{n-1}+\cdots\) แล้ว \(k\) มีค่าเท่ากับเท่าใด (Pat1 ก.ค.53/40) วิธีทำ ข้อนี้หาลิมิตไม่ยากครับจะเห็นว่าเป็นการหาลิมิตของเศษส่วนพหุนาม ซึ่งข้างล่างที่เป็นตัวส่วน สังเกตว่า \((n+2)^{5}\) เมื่อยกกำลังเสร็จสับเรียบร้อยแล้วจะเป็นพหุนามดีกรี 5 ที่มีสัมประสิทธิ์ของดีกรีสูงสุดเท่ากับ 1 ดังนั้นค่าของลิมิตจะเป็น\(\frac{k}{1}=k\) และฝั่งขวาของสมการจัดรูปมันจะได้เป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ นั่นเองครับ ไปลองทำกันเลยครับผม \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{k(n^{5}+n)+3n^{4}+2}{(n+2)^{5}}&=&15+6+\frac{12}{5}+\cdots +15(\frac{2}{5})^{n-1}+\cdots\\k&=&15(\frac{2}{5})^{0}+15(\frac{2}{5})^{1}+15(\frac{2}{5})^{2}+15(\frac{2}{5})^{3}+\cdots\\k&=&15[1+\frac{2}{5}+(\frac{2}{5})^{2}+(\frac{2}{5})^{3}+\cdots]\\k&=&15(\frac{a_{1}}{1-r})\\k&=&15(\frac{1}{1-\frac{2}{5}})\\k&=&15\times \frac{5}{3}\\k&=&25\end{array} 4. กำหนดให้ \(4\) พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ \(2a+1\quad ,2b-1\quad ,3b-a\quad ,a+3b\) เมื่อ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริง พจน์ที่ 1000 ของลำดับเลขคณิตนี้เท่ากับเท่าใด (Pat 1 มี.ค. 54/17) วิธีทำ ข้อนี้ใช้สมบัติของลำดับเลขคณิตตัวอย่างเช่นลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต \(4,6,8,10\) ซึ่งเราจะได้ว่า \(6-4=8-6=10-8\) ดังนั้นข้อนี้เราจะได้ว่า \begin{array}{lcl}(2b-1)-(2a+1)&=&(3b-a)-(2b-1)\\2b-2a-2&=&3b-2b-a+1\\2b-2a-2&=&b-a+1\\b-a-3&=&0\\b&=&a+3\quad \cdots (1)\end{array} อีกหาอีกสมการหนึ่ง \begin{array}{lcl}(3b-a)-(2b-1)&=&(a+3b)-(3b-a)\\b-a+1&=&2a\\b-3a+1&=&0\quad (2)\end{array} แทน \(b\) ด้วย \(a+3\) ในสมการที่ \((2)\) จะได้ว่า \begin{array}{lcl}b-3a+1&=&0\\a+3-3a+1&=&0\\-2a+4&=&0\\a&=&2\end{array} ต่อไป แทน \(a\) ด้วย \(2\) ในสมการที่ \((1)\) จะได้ \begin{array}{lcl}b&=&a+3\\b&=&2+3\\b&=&5\end{array} เมื่อเราได้ค่า \(a\) กับ \(b\) แล้ว เราเอาไปแทนค่าในลำดับที่โจทย์กำหนดให้ จะได้ 4 พจน์ดังนี้ \(5,9,13,17\) ดังนั้นจากลำดับเลขคณิตนี้จะได้ \(a_{1}=5\quad ,d=9-5=4\) ต่อไปโจทย์ให้หาค่าพจน์ที่ 1000 ของลำดับเลขคณิต จาก พจน์ที่ไปของลำดับเลขคณิต \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\) จะได้ \begin{array}{lcl}a_{1000}&=&a_{1}+999d\\&=&5+(999)(4)\\&=&5+3996\\&=&4001\end{array} 5. ถ้า \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{4}-n^{2}}=A\) แล้ว \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (Pat 1 ก.ค.52/31)
วิธีทำ ข้อนี้ยุ่งยากพอสมควรครับ เรามาดูวิธีการทำกันเลย จากที่โจทย์ให้มา \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{4}-n^{2}}=A\) พิจารณา \(\frac{1}{n^{4}-n^{2}}=\frac{1}{n^{2}(n^{2}-1)}=-\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{n^{2}-1}\right)\) จึงได้ว่า \begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{4}-n^{2}}&=&A\\\displaystyle\sum-(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{n^{2}-1})&=&A\\\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}(\frac{1}{n^{2}-1}-\frac{1}{n^{2}})&=&A\\\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}-\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}&=&A\\-\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}&=&A-\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}\\\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}&=&\color{red}{\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}-A\cdots\quad (1)}\end{array} จากสมการที่ \((1)\) พิจารณา \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}\) จะเห็นว่า \(\frac{1}{n^{2}-1}=\frac{1}{(n-1)(n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})\) จะได้ \begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}&=&\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})\\&=&\frac{1}{2}((\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\cdots )\\&=&\frac{1}{2}((\frac{1}{1}-\not{\frac{1}{3}})+(\frac{1}{2}-\not{\frac{1}{4}})+(\not{\frac{1}{3}}-\not{\frac{1}{5}})+(\not{\frac{1}{4}}-\not{\frac{1}{6}})+(\not{\frac{1}{5}}-\not{\frac{1}{7}})+\cdots )\\&=&\frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{1}{2})\\&=&\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\\&=&\frac{3}{4}\end{array} จะเห็นว่า \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}=\frac{3}{4}\) นำส่วนนี้ไปแทนใน \((1)\) จะได้ว่า \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\color{red}{\frac{3}{4}-A}\quad\underline{Ans}\) 6. กำหนดให้ \(a_{n}=\frac{2^{n+1}+3^{n-1}}{4^{n}}\) และ \(b_{n}=\frac{1}{1+2+3+\cdots +n}\) ถ้า \(A\) และ \(B\) เป็นผลบวกของ อนุกรม \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) และ \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) ตามลำดับ แล้ว \(A+B\) เท่ากับเท่าใด วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ A-net นะคับ โหดๆพอๆกับข้อสอบ Pat 1 เรียกว่าเป็นพี่เป็นน้องกันก็ว่าได้ข้อสอบพวกนี้ ถึงจะยากแต่ก็น่าทำนะคับ สนุกดี แก้เหงา สร้างสมาธิได้ดีเยี่ยม การจะทำข้อสอบพวกนี้ได้ ต้องอ่านหนังสือพื้นฐานก่อนนะคับ หนังสือที่อ่านได้และปูพื้นฐานได้ดี คือ หนังสือคณิตศาสตร์ของ สสวท. ส่วนสำนักอื่น บางที่ก็สรุปกันมากไปหน่อย สรุปจะคนอ่านไม่ได้ concept ได้แต่ความจำ พอมาเจอข้อสอบที่ยากก็จะไปไม่เป็น เอาละเรามาดูวิธีการทำข้อนี้เลยครับ พิจารณา \(a_{n}=\frac{2^{n+1}+3^{n-1}}{4^{n}}\) จะเห็นว่า \(a_{1}=\frac{2^{2}+3^{0}}{4}\) \(a_{2}=\frac{2^{3}+3^{1}}{4^{2}}\) \(a_{3}=\frac{2^{4}+3^{2}}{4^{3}}\) \(a_{4}=\frac{2^{5}+3^{3}}{4^{4}}\) \(a_{5}=\frac{2^{6}+3^{4}}{4^{5}}\) ดังนั้น \begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}&=&\frac{2^{2}+3^{0}}{4}+\frac{2^{3}+3^{1}}{4^{2}}+\frac{2^{4}+3^{2}}{4^{3}}+\frac{2^{5}+3^{3}}{4^{4}}+\frac{2^{6}+3^{4}}{4^{5}}+\cdots\\&=&\color{red}{(\frac{2^{2}}{4}+\frac{2^{3}}{4^{2}}+\frac{2^{4}}{4^{3}}+\frac{2^{5}}{4^{4}}+\cdots)}+\color{green}{(\frac{1}{4}+\frac{3}{4^{2}}+\frac{3^{2}}{4^{3}}+\frac{3^{3}}{4^{4}}+\cdots)}\end{array} จะเห็นว่าอนุกรมก้อนสีแดง เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี \(r=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) ซึ่งสามารถหาผลบวกได้จากสูตร\(\frac{a_{1}}{1-r}\) จะได้ว่า \begin{array}{lcl}\frac{a_{1}}{1-r}&=&\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\\&=&2\end{array} และจะเห็นอีกว่า ก้อนสีเขียว ก็เป็นอนุกรมเรขาคณิตเหมือนกันมี \(r=\frac{3}{4}\) และผลบวกคือ \begin{array}{lcl}\frac{a_{1}}{1-r}&=&\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{3}{4}}\\&=&1\end{array} จับก้อนอนุกรมสีแดงกับอนุกรมก้อนสีเขียวบวกกันจะได้ \(2+1=3\) ดังนั้น \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=A=3\) ตอนนี้ได้ค่า \(A\) แล้ว ไปหาค่า \(B\) กันต่อเลยคับ จากที่กำหนดให้ \(b_{n}=\frac{1}{1+2+3+\cdots +n}\) ซึ่งจะเห็นว่า \(1+2+3+\cdots +n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}\) ดังนั้น \(b_{n}=\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2}{n(n+1)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\) เราจึงได้ว่า \begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}&=&\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\&=&2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\&=&2[(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})+\cdots]\\&=&2[(\frac{1}{1}-\not{\frac{1}{2}})+(\not{\frac{1}{2}}-\not{\frac{1}{3}})+(\not{\frac{1}{3}}-\not{\frac{1}{4}})+(\not{\frac{1}{4}}-\not{\frac{1}{5}})+\cdots]\\&=&2[1-0]\\&=&2\end{array} ดังนั้น \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=B=2\) โจทย์ข้อนี้เขาให้หาค่าของ \(A+B\) จึงได้ว่า \(\color{green}{A+B=3+2=5\quad\underline{Ans}}\) |
ข้อสอบลําดับและอนุกรม พร้อมเฉลย pat1
กระทู้ที่เกี่ยวข้อง
ลิขสิทธิ์ © 2024 th.ketiadaan Inc.
