แบบรูปของจํานวนที่เพิ่มขึ้นทีละ 5

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

1. แบบรูปและความสัมพันธ์
          1.1 แบบรูปคืออะไร ? 
                แบบรูป (Patterns) หรือที่บางครั้งเรียกว่า อนุกรม คือ ชุดของตัวเลข หรือรูปภาพที่มีความสัมพันธ์กันอย่างใดอย่างหนึ่ง 
    ในลักษณะของจำนวน รูปร่าง สี หรือขนาด ตามกฎเกณฑ์ที่กำหนด ซึ่งเมื่อทราบกฎเกณฑ์หรือความสัมพันธ์ที่กำหนดในแต่ละแบบรูป      
    เราก็จะสามารถบอก คาดเดาหรือคาดการณ์ได้ว่า สิ่งต่างๆ รูปเรขาคณิต รูปอื่นๆ หรือจำนวนที่หายไป  คืออะไร
         
           1.2 แบบรูปมีกี่ประเภท อะไรบ้าง?
                 ตามหลักแล้วเราแบ่งแบบรูปออกตามประเภทความสัมพันธ์ได้ดังนี้             
                 1.2.1. แบบรูปของจำนวน (Number Patterns) เป็นแบบรูปที่แสดงชุดของตัวเลขที่มีความสัมพันธ์กันในลักษณะหนึ่ง แบ่งออกเป็น
                        :: แบบรูปของจำนวนที่เพิ่มขึ้น      ตัวอย่าง
                                  แบบรูปที่จำนวนเพิ่มขึ้นทีละ 1: 1, 2, 3, 4, 5, ...
                                  แบบรูปที่จำนวนเพิ่มขึ้นทีละ 2: 2, 4, 6, 8, 10, ...
                                  แบบรูปที่จำนวนเพิ่มขึ้นทีละ 10: 11, 21, 31, 41, ...
                        :: แบบรูปของจำนวนที่ลดลง         ตัวอย่าง 
                                  แบบรูปที่จำนวนลดลงทีละ 1: 9, 8, 7, 6, 5, ...
                                  แบบรูปที่จำนวนลดลงทีละ 2: 19, 17, 15, 13, 11, ...
                        :: แบบรูปของจำนวนที่ซ้ำ             ตัวอย่าง                
                                  แบบรูปที่ 1: 1, 22, 2, 22, 3, 22, 4, 22, ...                         
                                  แบบรูปที่ 2: 4, 56, 6, 56, 8, ...                                                        
                                  แบบรูปที่ 3: 123, 4, 123, 5, 123, 6, ...

               1.2.2. แบบรูปเรขาคณิต (Geometric Patterns) เป็นแบบรูปที่แสดงชุดของรูปเรขาคณิตที่มีความสัมพันธ์กันในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง แบ่งออกเป็น      
                    :: แบบรูปที่มีความสัมพันธ์ในลักษณะของรูปร่าง  เช่น      


    จากการจะสังเกตเราจะเห็นว่าแบบรูปแต่ละแถวเป็นแบบรูปที่ประกอบด้วยรูปเรขาคณิตสีเดียวกันแตกต่างกันเพียงรูปทรงที่เรียงสลับตามลำดับซ้ำกันไปเรื่อยๆ


 
                 :: แบบรูปที่มีความสัมพันธ์ในลักษณะของสี   เช่น

จากการสังเกตเราจะเห็นว่าแบบรูปแต่ละแถวเป็นแบบรูปที่ประกอบด้วยรูปเรขาคณิตรูปทรงเดียวกัน แตกต่างกันเพียงสีที่เรียงสลับตามลำดับซ้ำกันไปเรื่อยๆ

                 :: แบบรูปที่มีความสัมพันธ์ในลักษณะของขนาด   เช่น

จากการสังเกตเราจะเห็นว่าแบบรูปแต่ละแถวเป็นแบบรูปที่ประกอบด้วยรูปเรขาคณิตรูปทรงเดียวกัน สีเดียวกันแตกต่างกันเพียงขนาดที่เรียงสลับตามลำดับซ้ำกันไปเรื่อยๆ

          1.2.3. แบบรูปอื่นๆ (Picture Patterns)   เป็นแบบรูปที่แสดงชุดของรูปภาพที่ไม่ใช่รูปเรขาคณิตที่มีความสัมพันธ์กันในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง เช่น แบบรูปที่มีทิศทางสัมพันธ์กัน                  

จากการสังเกตเราจะเห็นว่าแบบรูปนี้เป็นแบบรูปที่ประกอบด้วยรูปรูปภาพต่างๆเรียงสลับกันไปเรื่อยๆตามข้อกำหนดของแต่ละแบบ

            
 1.3. เราจะหาจำนวนที่อยู่ถัดไปของแบบรูปได้อย่างไร ?
          ให้นักเรียนพิจารณาเกี่ยวกับความสัมพันธ์ในชีวิตประจำวัน เช่น ราคาค่าดูตั๋วหนัง ดังต่อไปนี้ 
 

            จากตารางจะพบว่า                                                                                       

            1.  จำนวนที่อยู่ในแถวของจำนวนคนเป็นจำนวนนับคือ 1, 2, 3, 4, 5, . . .  
            2.  จำนวนที่อยู่ในแถวของราคา เป็น  90  เท่าของจำนวนคน ซึ่งอยู่ในหลักเดียวกัน เช่น จำนวนคน  2 คน จะสัมพันธ์กับ  180 ซึ่งเท่ากับ  90x2  ถ้าเรามีจำนวนคนหรือลำดับที่ ซึ่งไม่ได้ระบุจำนวนที่แน่นอน จะใช้อักษรภาษาอังกฤษ เช่น คนที่ n ซึ่งเป็น 90 เท่าของ n จะเขียนเป็น 90n ซึ่งหมายถึง 90 x n เรียก n ว่าตัวแปร                                                                
           3.  เมื่อทราบจำนวนคนที่  n  สัมพันธ์กับราคา  90n บาท เราก็สามารถหาจำนวนของจำนวนคนที่เท่าไรก็ได้ เช่น หาจำนวนของจำนวนคนที่ 100 ได้จาก 90x100 ซึ่งเท่ากับ 9,000                                                                      
           4.  ถ้าต้องการหาว่าจำนวนราคาที่  630  บาท อยู่ในลำดับของจำนวนคนที่เท่าไรก็หาได้จาก 630 หารด้วย 90 หรือหาจำนวนมาแทน  n  ใน 90n  เพื่อให้ได้ผลคูณเท่ากับ  630 ซึ่งจะได้ว่า  630 เป็นลำดับของจำนวนคนที่ 7

2. คำตอบของสมการ
          2.1. สมการคืออะไร ?
                 สมการ  คือ ประโยคที่แสดงการเท่ากันของจำนวน  โดยมีสัญลักษณ์ “ = ” บอกการเท่ากันบอกการเท่ากัน
                 เช่น                            a + b = b +a                x + 2 = 27                                       
                                                   x + 9 = -2                    y + 2 = -3
                และจะเรียกประโยคสัญลักษณ์ที่ไม่เท่ากัน โดยมีสัญลักษณ์ ≠, <, >, ≤, ≥ ฯลฯ แสดงการไม่เท่ากัน ว่า อสมการ
                เช่น                              5×5  ≠ 45                   x + 3 < 9 
                                    :: ตัวแปร    คือ ตัวอักษรหรือสัญลักษณ์ที่ใช้แทนจำนวนที่ยังไม่ทราบค่าในสมการ                                              
                                    :: ค่าคงตัว  คือ ตัวเลขใช้แทนจำนวนที่มีค่าแน่นอน
           พิจารณาสมการที่ไม่มีตัวแปรหลายๆสมการต่อไปนี้แล้ว ให้นักเรียนช่วยกันบอกว่า สมการใดเป็นสมการเป็นจริงหรือไม่เป็นจริง 
                เช่น                               5 + 7 = 12  ……………………  18 – 2 = 10  ……………………        
                                                     8 + 9 = 19  ……………………  29 – 5 = 24  ……………………                                                                            จะเห็นว่าสมการที่ไม่มีตัวแปรนั้นสามารถบอกได้ทันทีว่าเป็นสมการที่เป็นจริงหรือไม่เป็นจริง ดังนั้นสรุปว่า สมการที่เป็นจริง จึงหมายถึง สมการที่มีจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือของเครื่องหมาย  = มีค่าเท่ากันกับจำนวนที่อยู่ทางขวามือ                               
           ต่อไปพิจารณาสมการที่มีตัวแปรดังนี้ แล้วให้นักเรียนบอกว่าสมการเป็นจริงหรือไม่เป็นจริง
                                                     x – 6 = 5  ……………………  x + 4 = -7  ……………………
                                                     x + 9 = -2  ……………………  x – 9 = 2  ……………………                 
                           จะเห็นว่าสมการที่มีตัวแปรนั้น  ยังไม่สามารถบอกได้ทันทีว่า เป็น สมการที่เป็นจริงหรือไม่เป็นจริง    

        2.2. อะไรคือคำตอบของสมการ ?
               จากตารางต่อไปนี้กำหนดสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวหลายๆ สมการและให้นักเรียนบอกสมการเป็นจริงหรือไม่เป็นจริง ดังนี้
 

           จากตารางข้างต้นสามารถ สรุปได้ว่า จำนวนที่แทนตัวแปรในสมการแล้วทำให้สมการเป็นจริง เรียกว่า คำตอบของสมการ และกล่าวได้ว่าจำนวนนั้นสอดคล้องกับสมการ 
            คำตอบของสมการ นั้นมี  3  แบบ ตามลักษณะคำตอบ ดังนี้     
                  
           1.  สมการที่มีจำนวนบางจำนวนเป็นคำตอบ เช่น                                   
           ตัวอย่างที่ 1  จงหาคำตอบของสมการ x – 2 = 5 โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปร 
           วิธีทำ           เนื่องจาก  ………… – 2 = 5  เมื่อแทน x ด้วย 7 ใน x – 2 = 5  
                               แล้วจะได้สมการที่เป็นจริง 
           ดังนั้น คำตอบของสมการ x – 2 = 5 คือ 7 
           2.  สมการที่มีจำนวนทุกจำนวนเป็นคำตอบ เช่น                               
           ตัวอย่างที่ 2  จงหาคำตอบของสมการ b+3=3+b โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปร
           วิธีทำ         เนื่องจากเมื่อแทน b ด้วยจานวนใด ๆ ใน b + 3 = 3 + b                  
                            แล้วจะได้สมการที่เป็นจริงเสมอ                                   
           ดังนั้น คำตอบของสมการ b + 3 = 3 + b คือ จำนวนทุกจำนวน                  
           3.  สมการที่ไม่มีจำนวนใดเป็นคำตอบ เช่น                                             
           ตัวอย่างที่ 3  จงหาคำตอบของสมการ y + 7 = y โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปร 
           วิธีทำ         เนื่องจากไม่มีจำนวนใดเลยแทน y ใน y + 7 = y                            
                            แล้วจะได้สมการที่เป็นจริงเสมอ                               
           ดังนั้น ไม่มีจำนวนใดเป็นคำตอบของสมการ y + 7 = y 
                                                      ทั้งหมดนี้ขึ้นอยู่กับรูปแบบของสมการที่กำหนด 

3. การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
    3.1. สมบัติของการเท่ากัน
          นักเรียนได้ศึกษาวิธีการหาคำตอบของสมการโดยวิธีการลองแทนค่าตัวแปรแล้ว พบว่า บางครั้งอาจมีปัญหาในการใช้วิธีนี้ 
เมื่อสมการมีความยุ่งยาก ซับซ้อนมากขึ้น จึงจำเป็นต้องมีวิธีการหาคำตอบของสมการ ด้วยวิธีที่สะดวกและรวดเร็วกว่านี้ 
ดังนั้น นักเรียนจำเป็นต้องมีควมรู้เกี่ยวกับ สมบัติของการเท่ากัน ในการหาคำตอบ

       3.2. เราจะแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวได้อย่างไร ?
              การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  ในทีนี้จะกล่าวย่อๆ ว่า การแก้สมการ ซึ่งหมายถึง การหาคำตอบของสมการ เพื่อความสะดวกและรวดเร็วในการหาคำตอบของสมการ จะใช้สมบัติของการเท่ากันในการหาคำตอบ ได้แก่ สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด สมบัติการบวกและสมบัติการคูณซึ่งได้ศึกษาไปในหัวข้อที่แล้วเพื่อช่วยในการหาคำตอบขอให้นักเรียนสังเกตการใช้สมบัติของการเท่ากันในการหาคำตอบดังนี้       
                                                                              x + 5  =  8  
                   (1)  (x + 5) + (-5)  =  8 + (-5) เป็นการใช้สมบัติการบวก คือ นำ  -5 มาบวกกับ x + 5 และ 8  
                   (2)  x + [5 + (-5)]  =  8 + (-5) เป็นการใช้สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการบวก 
                   (3)  x + 0  =  3 เป็นการใช้สมบัติสมมาตรและสมบัติถ่ายทอด คือ     
                        จาก  x + [5 + (-5)]  =  x + 0 
                        ดังนั้น    x + 0  =  x + [5 + (-5)] 
                        และ  8 + (-5)  =  3 
                        ดังนั้น    x + 0  =  x + [5 + (-5)] 
                        และ x + [5 + (-5)] = 8 + (-5) 
                        และ 8 + (-5) = 3  
                        นั่นคือ    x + 0  =  3 
                   (4)  x = 3 
                  (5)  ตรวจสอบ   แทน  x = 3  สมการ        x + 5  =  8  ได้  3 + 5 = 8  ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง                             

ตัวอย่างที่ 4  จงแก้สมการ  4x  =  -12                                                          
            วิธีทำ                   4x  =  -12                                                                          
                   นำ  4  มาหารทั้งสองข้างของสมการ                                   
                   จะได้     4x/4  =  -12/4    หรือ   x  =  -3
                  ตรวจสอบคำตอบ 
                  แทนค่า  x  =  -3  ในสมการ  4x  =  -12                                      
                  จะได้    4 × (-3)   =  -12                                                  
                                      -12 =  -12  เป็นสมการที่เป็นจริง                                                          
ดังนั้น   –3  เป็นคำตอบของสมการ  4x  =  -12  

4. โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
      4.1. ขั้นตอนและวิธีการแก้โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว          
      การแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ จะแก้ได้โดยง่าย ถ้าเขียนความสัมพันธ์ของสิ่งที่ต้องการหา ให้อยู่ในรูปของสมการ และหาคำตอบของสมการนั้นด้วยโดยทั่วไป เราใช้ตัวแปรแทนจำนวนหรือสิ่งที่ต้องการหายกตัวอย่างตัวแปร เช่น  a, b, c, x, y เป็นต้น และนิยมใช้ตัวแปร x แทนจำนวนหรือสิ่งที่ต้องการหา  พิจารณาโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ดังนี้ 

  ก่อนมาโรงเรียนคุณแม่ให้เงินน้องปูนจำนวนหนึ่ง รวมกับที่คุณพ่อให้เงินอีก 10 บาท เป็นเงิน 25 บาท อยากทราบว่าคุณแม่ให้เงินกี่บาท 
                  

                                     ให้  x  แทนจำนวนเงินที่คุณแม่ให้                                
                                    เขียนสมการได้ดังนี้……………………………………………

ตัวอย่างที่ 1  จำนวนจำนวนหนึ่งรวมกับ 3 เท่ากับ 15 
                 ให้ x แทนจำนวนจำนวนหนึ่ง
                เขียนสมการได้ดังนี้   x + 3 = 15

ตัวอย่างที่ 2  เตยมีเงินเป็น 2 เท่าของตาล ถ้าเตยมีเงิน 400 บาท ตาลมีเงินเท่าไร
                ให้ x แทนจำนวนของตาล 
                    เขียนสมการได้ดังนี้   2X = 400 

                                                             ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 
           ตัวอย่างที่ 3  สองเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งมากกว่า 10 อยู่ 28 จงหาจำนวนนั้น                                                                    
                วิธีทำ      ให้  x  แทนจำนวนนั้น   
                              สองเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่ง คือ 2x       
                              สองเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งมากกวา 10 คือ 2x - 10           
                              สองเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งมากกว่า 10 อยู่ 28 คือ    2x - 10  =  28 
                              นำ  10  มา บวก ทั้งสองข้างของสมการ 
                                          จะได้       2x - 10 + 10  =  28 + 10 หรือ   2x = 38
                              นำ 2  มา หาร ทั้งสองข้างของสมการ       
                                          จะได้  2x/2 = 38/2  หรือ   x = 19                              
            ตรวจสอบ  แทน x ด้วย 19  ในสมการ        2x - 10  =  28                         
                             จะได้  2(19) - 10 = 28  เป็นสมการที่เป็นจริง                           
             ดังนั้น   19 เป็นคำตอบของสมการ   2x - 10  =  28                           

อ้างอิง
ครูครรชิต แซ่โฮ่. โรงเรียนจันทร์ประภัสสร์อนุสรณ์.สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว.สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 15
Emotystyle.(ออนไลน์).สมการเชิงเส้น.อ้างเมื่อ 23 กุมภาพันธ์ 2557. แหล่งที่มา :http://e-learning.kusol.org/mod/scorm/player.php