เฉลยคณ ตศาสตร เพ ม ม.4 เล ม2 3.1.4

ค�มู ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน

คมู ือครู

รายวชิ าพืน้ ฐาน คณิตศาสตร

ชัน้

มัธยมศกึ ษาปที่ ๔

ตามมาตรฐานการเรียนรูแ ละตวั ช้วี ดั กลมุ สาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร (ฉบบั ปรบั ปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาขัน้ พ้นื ฐาน พทุ ธศักราช ๒๕๕๑

จัดทาํ โดย สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คํานาํ

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) มีหนาที่ในการพัฒนา หลักสูตร วิธีการเรียนรู การประเมินผล การจัดทําหนังสือเรียน คูมือครู แบบฝกทักษะ กจิ กรรม และสื่อการเรยี นรเู พ่อื ใชป ระกอบการเรยี นรใู นกลมุ สาระการเรียนรูวิทยาศาสตรและ คณติ ศาสตรข องการศกึ ษาขั้นพ้ืนฐาน

คูมือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ ๔ นี้ จัดทําตามมาตรฐาน การเรียนรูและตัวชี้วัด กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมีเน้ือหาสาระ ขอเสนอแนะเก่ียวกับการสอน แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน การวัดผลประเมินผล ระหวางเรียน การวิเคราะหความสอดคลองของแบบฝกหัดทายบทกับจุดมุงหมายประจําบท ความรูเพ่ิมเติมสําหรับครูซ่ึงเปนความรูท่ีครูควรทราบนอกเหนือจากเนื้อหาในหนังสือเรียน ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทพรอมเฉลย รวมท้ังเฉลยแบบฝกหัด ซ่ึงสอดคลองกับหนังสือ เรยี นรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ ๔ ทตี่ องใชค วบคูก ัน

สสวท. หวังเปนอยางยิ่งวา คูมือครูเลมนี้จะเปนประโยชนตอการจัดการเรียนรู และ เปนสวนสําคญั ในการพฒั นาคุณภาพและมาตรฐานการศกึ ษากลุม สาระการเรียนรูคณิตศาสตร ขอขอบคุณผูทรงคุณวุฒิ บุคลากรทางการศึกษาและหนวยงานตาง ๆ ที่มีสวนเกี่ยวของ ในการจัดทาํ ไว ณ โอกาสนี้

(นางพรพรรณ ไวทยางกูร) ผอู าํ นวยการสถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

กระทรวงศกึ ษาธิการ

คําชแี้ จง

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) ไดจ ดั ทําตัวชี้วัดและสาระ การเรียนรูแกนกลาง กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมีจุดเนนเพ่ือตองการพัฒนา ผเู รียนใหมีความรคู วามสามารถท่ที ัดเทียมกับนานาชาติ ไดเรียนรูคณิตศาสตรที่เชื่อมโยงความรู กับกระบวนการ ใชก ระบวนการสืบเสาะหาความรูและแกป ญหาท่ีหลากหลาย มีการทาํ กิจกรรม ดวยการลงมือปฏิบัติเพ่ือใหผูเรียนไดใชทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรและทักษะแหง ศตวรรษท่ี ๒๑ สสวท. จงึ ไดจัดทําคูมือครูประกอบการใชหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ ๔ ที่เปนไปตามมาตรฐานหลักสูตร เพ่ือเปนแนวทางใหโรงเรียนนําไปจัดการเรียน การสอนในชัน้ เรยี น

คูมือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔ นี้ ประกอบดวยเนื้อหาสาระ ขอเสนอแนะเก่ียวกับการสอน แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน การวัดผลประเมินผล ระหวางเรียน การวิเคราะหความสอดคลองของแบบฝกหัดทายบทกับจุดมุงหมายประจําบท ความรูเพ่ิมเติมสําหรับครูซึ่งเปนความรูที่ครูควรทราบนอกเหนือจากเน้ือหาในหนังสือเรียน ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทพรอมเฉลย รวมท้ังเฉลยแบบฝกหัด ซึ่งครูผูสอนสามารถนําไปใช เปนแนวทางในการวางแผนการจัดการเรียนรูใหบรรลุจุดประสงคท่ีตั้งไว โดยสามารถนําไปจัด กจิ กรรมการเรยี นรไู ดตามความเหมาะสมและความพรอมของโรงเรียน ในการจัดทําคูมือครูเลมนี้ ไดรับความรวมมือเปนอยางดีย่ิงจากผูทรงคุณวุฒิ คณาจารย นักวิชาการอิสระ รวมท้ังครูผูสอน นกั วชิ าการ จากสถาบนั และสถานศึกษาทง้ั ภาครัฐและเอกชน จงึ ขอขอบคุณมา ณ ท่ีนี้

สสวท. หวังเปนอยางย่ิงวาคูมือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร เลมนี้ จะเปนประโยชน แกผูสอน และผูท่ีเก่ียวของทุกฝาย ท่ีจะชวยใหจัดการศึกษาดานคณิตศาสตรไดอยางมี ประสิทธิภาพ หากมีขอเสนอแนะใดที่จะทําใหคูมือครูเลมน้ีมีความสมบูรณย่ิงขึ้น โปรดแจง สสวท. ทราบดวย จะขอบคุณยงิ่

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธิการ

แนะนําการใชคมู อื ครู

ในหนังสือเลมน้ีแบงเปน 4 บท ตามหนังสือเรียนหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 โดยแตละบทจะมีสวนประกอบ ดังน้ี

ตัวช้วี ดั

ตัวช้ีวัดระบุสิ่งท่ีนักเรียนพึงรูและปฏิบัติได รวมท้ังคุณลักษณะของผูเรียนในแตละ ระดับช้ัน ซ่ึงสะทอนถึงมาตรฐานการเรียนรู มีความเฉพาะเจาะจงและมีความเปน รูปธรรม นําไปใชในการกําหนดเนื้อหา จัดทําหนวยการเรียนรู จัดการเรียนการสอน และเปนเกณฑส ําคญั สาํ หรบั การวดั ประเมนิ ผลเพ่ือตรวจสอบคณุ ภาพผเู รียน

จุดมุงหมาย

เปา หมายท่ีนักเรยี นควรไปถึงหลงั จากเรียนจบบทนี้

ความรกู อนหนา

ความรทู นี่ กั เรยี นจาํ เปน ตองมกี อนท่จี ะเรยี นบทนี้

ประเด็นสําคัญเกี่ยวกบั เน้ือหาและสิ่งที่ควรตระหนกั เกีย่ วกบั การสอน

ประเด็นเกี่ยวกับเน้ือหาที่ครูควรเนนยํ้ากับนักเรียน ประเด็นเก่ียวกับเนื้อหาที่ครูควร ระมัดระวัง จุดประสงคของตัวอยางท่ีนําเสนอในหนังสือเรียน เน้ือหาที่ควรทบทวน กอนสอนเนอ้ื หาใหม และประเด็นเก่ยี วกบั การสอนท่ีครูพึงระลึก

ความเขา ใจคลาดเคล่ือน

ประเดน็ ท่ีนักเรยี นมักเขา ใจผิดเกยี่ วกบั เน้ือหา

ประเดน็ สาํ คญั เก่ียวกบั แบบฝก หัด

ประเด็นที่ครูควรทราบเกี่ยวกับแบบฝกหัด เชน จุดมุงหมายของแบบฝกหัด ประเด็นท่ีครูควรใหความสําคัญในการทําแบบฝกหัดของนักเรียน เนื้อหาท่ีควร ทบทวนกอนทําแบบฝก หดั

กจิ กรรมในคูมอื ครู

กิจกรรมทค่ี ูมือครเู ลม น้ีเสนอแนะไวใ หค รูนําไปใชใ นชั้นเรียน ซึง่ มีทงั้ กจิ กรรมนําเขา บทเรียน ท่ีใชเพื่อตรวจสอบความรูกอนหนาท่ีจําเปนสําหรับเนื้อหาใหมที่ครูจะสอน และกิจกรรมท่ีใชสําหรับสรางความคิดรวบยอดในเน้ือหา โดยหลังจากทํากิจกรรม แลว ครคู วรเช่อื มโยงความคดิ รวบยอดทีต่ องการเนน กบั ผลที่ไดจากการทํากิจกรรม กจิ กรรมเหลานีค้ รูควรสง เสรมิ ใหน ักเรยี นไดล งมือปฏิบัตดิ ว ยตนเอง

กจิ กรรมในหนังสือเรียน

กิจกรรมท่ีนักเรียนสามารถศึกษาเพิ่มเติมไดดวยตนเอง เพ่ือชวยพัฒนาทักษะการ เรียนรแู ละนวตั กรรม (learning and innovation skills) ท่ีจําเปนสําหรับศตวรรษที่ 21 อันไดแก การคิดสรางสรรคและนวัตกรรม (creative and innovation) การคิด แบบมีวิจารณญาณและการแกปญหา (critical thinking and problem solving) การสื่อสาร (communication) และการรวมมอื (collaboration)

เฉลยกิจกรรมในหนังสือเรียน

เฉลยคาํ ตอบหรือตัวอยางคาํ ตอบของกจิ กรรมในหนงั สือเรียน

แนวทางการจดั กิจกรรมในหนงั สอื เรียน

ตัวอยางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน ที่มีข้ันตอนการดําเนินกิจกรรม ซึ่งเปด โอกาสใหน ักเรยี นไดใ ชแ ละพฒั นาทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร

สารบญั บทท่ี 1 – 2

บทที่ เนอื้ หา หนา

1 บทท่ี 1 เซต 1 1.1 เน้อื หาสาระ 2 เซต 1.2 ขอเสนอแนะเกย่ี วกบั การสอน 4 1.3 การวัดผลประเมินผลระหวา งเรยี น 15 d 1.4 การวิเคราะหแบบฝก หดั ทายบท 17 1.5 ความรเู พิม่ เติมสาํ หรับครู 22 2 1.6 ตวั อยา งแบบทดสอบประจาํ บทและ 23 เฉลยตวั อยา งแบบทดสอบประจําบท ตรรกศาสตรเบอื้ งตน 1.7 เฉลยแบบฝกหดั 35

บทที่ 2 ตรรกศาสตรเบอ้ื งตน 46 2.1 เนือ้ หาสาระ 47 2.2 ขอ เสนอแนะเก่ียวกบั การสอน 48 2.3 การวัดผลประเมนิ ผลระหวางเรียน 57 2.4 การวเิ คราะหแบบฝก หัดทายบท 58 2.5 ความรเู พ่มิ เตมิ สาํ หรบั ครู 62 2.6 ตัวอยา งแบบทดสอบประจําบทและ 63 เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท 2.7 เฉลยแบบฝก หัด 67

สารบัญ บทที่ 3 – 4

บทท่ี เน้ือหา หนา

3 บทที่ 3 หลักการนบั เบอ้ื งตน 72 3.1 เนอื้ หาสาระ 73 หลักการนบั เบอ้ื งตน 3.2 ขอ เสนอแนะเก่ียวกับการสอน 74 3.3 แนวทางการจดั กจิ กรรมในหนังสอื เรยี น 85 d 3.4 การวดั ผลประเมนิ ผลระหวา งเรยี น 88 3.5 การวเิ คราะหแบบฝกหัดทายบท 89 4 3.6 ความรเู พ่ิมเตมิ สําหรบั ครู 92 3.7 ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทและ 92 ความนาจะเปน เฉลยตวั อยางแบบทดสอบประจําบท 3.8 เฉลยแบบฝก หดั 97

บทที่ 2 ความนา จะเปน 101 4.1 เนื้อหาสาระ 102 4.2 ขอ เสนอแนะเกี่ยวกับการสอน 103 4.3 แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสอื เรียน 107 4.4 การวดั ผลประเมินผลระหวา งเรยี น 114 4.5 การวิเคราะหแบบฝกหัดทายบท 115 4.6 ตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บทและ 119 เฉลยตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บท 4.7 เฉลยแบบฝก หัด 126

สารบญั เนอ้ื หา หนา

บทท่ี เฉลยแบบฝก หัดและวธิ ที าํ โดยละเอียด 131 บทท่ี 1 เซต 131 แหลงเรียนรู บทที่ 2 ตรรกศาสตรเบื้องตน 167 เพ่ิมเตมิ บทท่ี 3 หลกั การนับเบ้ืองตน 178 บทท่ี 4 ความนา จะเปน 198

บรรณานกุ รม 236

คณะผจู ดั ทํา 237

239

บทท่ี 1 | เซต 1 คูมอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4

บทที่ 1 เซต

การศึกษาเรื่องเซตมีความสําคัญตอวิชาคณิตศาสตรเพราะเปนรากฐานและเคร่ืองมือที่สําคัญ ในการพัฒนาองคความรูในวิชาคณิตศาสตรสมัยใหมทุกสาขา เน้ือหาเรื่องเซตที่นําเสนอ ในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 มีจุดมุงหมายเพื่อใหนักเรียน เรียนรูเก่ียวกับสัญลักษณและภาษาทางคณิตศาสตร ซ่ึงเพียงพอท่ีจะใชในการส่ือสารและ สื่อความหมายทางคณิตศาสตรเพื่อเปนเครื่องมือในการเรียนรูเน้ือหาคณิตศาสตรในหัวขอตอไป ในบทเรียนน้ีมุง ใหนกั เรยี นบรรลุตวั ช้วี ดั และจดุ มงุ หมายดังตอไปน้ี

ตวั ชว้ี ดั

เขาใจและใชความรูเก่ียวกับเซตและตรรกศาสตรเบื้องตน ในการสื่อสารและส่ือความหมาย ทางคณิตศาสตร

จดุ มุงหมาย

1. ใชส ญั ลักษณเกยี่ วกบั เซต 2. หาผลการดาํ เนนิ การของเซต 3. ใชแผนภาพเวนนแ สดงความสัมพนั ธร ะหวางเซต 4. ใชความรเู กยี่ วกับเซตในการแกป ญหา

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 2 คูมือครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4

ความรกู อนหนา • ความรเู กย่ี วกบั จาํ นวนและสมการในระดับมธั ยมศึกษาตอนตน

1.1 เนือ้ หาสาระ

1. ในวชิ าคณติ ศาสตร ใชคาํ วา “เซต” ในการกลาวถึงกลุมของส่ิงตาง ๆ และเม่ือกลาวถึงกลุม ใด แลวสามารถทราบไดแนนอนวา ส่ิงใดอยูในกลุม และสิ่งใดไมอยูในกลุม เรียกส่ิงท่ีอยูใน เซตวา “สมาชิก” คําวา “เปนสมาชิกของ” หรือ “อยูใน” เขียนแทนดวยสัญลักษณ “∈” คําวา “ไมเปน สมาชิกของ” เขียนแทนดวยสญั ลักษณ “∉”

2. การเขยี นแสดงเซตเบอื้ งตนมสี องแบบ คือ แบบแจกแจงสมาชิก และแบบบอกเง่ือนไขของ สมาชิก

3. เซตทไ่ี มมสี มาชิก เรียกวา “เซตวา ง” เขียนแทนดวยสัญลักษณ “{ }” หรือ “∅” 4. เซตทีม่ จี าํ นวนสมาชกิ เปนจํานวนเต็มบวกใด ๆ หรือศูนย เรียกวา “เซตจํากัด” เซตที่ไมใช

เซตจาํ กัด เรียกวา “เซตอนนั ต” 5. ในการเขยี นเซตจะตองกําหนดเซตท่ีบงบอกถึงขอบเขตของสิ่งที่จะพิจารณา เรียกเซตน้ีวา

“เอกภพสัมพทั ธ” ซึง่ มกั เขยี นแทนดว ย U เอกภพสัมพัทธทีพ่ บบอย ไดแ ก  แทนเซตของจํานวนนบั  แทนเซตของจํานวนเตม็  แทนเซตของจํานวนตรรกยะ ' แทนเซตของจาํ นวนอตรรกยะ  แทนเซตของจํานวนจรงิ

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 3

คมู อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4

6. เซต A เทากับ เซต B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B และ สมาชิกทกุ ตัวของเซต B เปน สมาชิกของเซต A เขยี นแทนดว ย A = B เซต A ไมเทา กับ เซต B หมายถึง มีสมาชิกอยางนอยหนึ่งตัวของเซต A ท่ีไมใชสมาชิก ของเซต B หรือมีสมาชิกอยางนอยหนึ่งตัวของเซต B ท่ีไมใชสมาชิกของเซต A เขยี นแทนดวย A ≠ B

7. เซต A เปนสับเซตของเซต B ก็ตอเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B เขยี นแทนดวย A ⊂ B เซต A ไมเปนสับเซตของเซต B ก็ตอเม่ือ มีสมาชิกอยางนอยหน่ึงตัวของเซต A ท่ีไม เปนสมาชิกของเซต B เขียนแทนดว ย A ⊄ B

8. เรียกแผนภาพแสดงเซตวา “แผนภาพเวนน” การเขียนแผนภาพมักจะแทนเอกภพสัมพัทธ U ดวยรปู สเ่ี หลยี่ มผนื ผา หรือรปู ปดใด ๆ สวนเซตอนื่ ๆ ซึ่งเปนสบั เซตของ U นน้ั อาจเขียนแทนดว ยวงกลม วงรี หรอื รูปปดใด ๆ

9. การดําเนนิ การระหวา งเซต

1. อินเตอรเ ซกชันของเซต A และ B เขียนแทนดวย A ∩ B โดยที่ A ∩ B= { x x ∈A และ x∈ B}
2. ยเู นียนของเซต A และ B เขียนแทนดว ย A ∪ B โดยท่ี A ∪ B= { x x ∈A หรือ x∈ B}
3. คอมพลเี มนตของเซต A เม่ือเทียบกับ U หรือคอมพลีเมนตของเซต A เขียนแทน ดว ย A′ โดยท่ี A′ = { x | x ∈U และ x∉ A}
4. ผลตา งระหวา งเซต A และ B หมายถึง เซตที่มีสมาชิกอยูในเซต A แตไมอยูในเซต B เขยี นแทนดวย A− B โดยท่ี A − B= { x x ∈A และ x∉ B}

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 4 คูมอื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4

10. สมบตั ขิ องการดาํ เนนิ การของเซต ให A, B และ C เปนสับเซตของเอกภพสมั พัทธ U จะได

1. A ∪ B = B ∪ A A∩B = B∩ A

2. ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (A∩ B)∩C = A∩(B∩C)

3. A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) A∩(B∪C) = (A∩ B)∪(A∩C)

4. ( A ∪ B)′ =A′ ∩ B′ ( A ∩ B)′ =A′ ∪ B′

5. A − B = A ∩ B′
6. A=′ U − A

11. ถาเซต A, B และ C เปนเซตจํากัดใด ๆ ที่มีจํานวนสมาชิกเปน n( A), n(B) และ n(C) ตามลาํ ดบั แลว n( A ∪ B)= n( A) + n(B) − n( A ∩ B)

n( A∪ B ∪C) = n( A) + n(B) + n(C) − n( A∩ B) − n( A ∩C) − n(B ∩C) + n(A∩B∩C)

1.2 ขอ เสนอแนะเกยี่ วกับการสอน

เซต

ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจแนวคิดเก่ียวกับเซตและสมาชิกของเซต โดยใช กจิ กรรมการจดั กลมุ ดังนี้

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 5 คมู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4

กจิ กรรม : การจดั กลุม

ขั้นตอนการปฏบิ ตั ิ

1. ครูแบงกลุมนักเรียนกลุมละ 3 – 4 คน แบบคละความสามารถ จากน้ันครูเขียนคําตอไปนี้

บนกระดาน

หญิง จนั ทร A พุธ

อาทติ ย ชาย E อังคาร

ศุกร U I พฤหัสบดี

O เสาร

2. ครูใหน กั เรียนแตละกลมุ อภิปรายวาจะจัดกลมุ คาํ ท่ีเขียนบนกระดานอยางไร

3. ครูใหตัวแทนนักเรียนแตละกลุมนําเสนอการจัดกลุมคํา แลวรวมกันอภิปรายเกี่ยวกับ

กลมุ คําท่ีจัด ในประเด็นตอไปนี้

3.1 จดั กลมุ คาํ ไดกีก่ ลมุ พรอมใหเ หตผุ ลประกอบ

3.2 กลุมคําที่กลุมของตนเองจัดไดเหมือนหรือแตกตางจากกลุมคําของเพ่ือนกลุมอ่ืน

หรือไม อยา งไร

หมายเหตุ

• แนวคําตอบ เชน จัดเปน 3 กลุม ไดแก กลุมคําท่ีแสดงเพศ กลุมคําท่ีแสดงช่ือวัน

ในหนึ่งสัปดาห และกลุมคําที่แสดงสระในภาษาอังกฤษ คําตอบของนักเรียนอาจมีได

หลากหลาย ข้ึนกับเหตุผลประกอบคาํ ตอบ

• ครูอาจเปลี่ยนเปนคําอื่น ๆ หรือรูปภาพอ่ืน ๆ เพื่อใหนักเรียนสามารถจัดกลุม

ไดห ลายแบบ

• ครูอาจจดั กิจกรรมนอกหองเรยี น เชน ในสวนพฤกษศาสตร แลวใหนักเรยี นจัดกลุมพนั ธุพืช

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 6 คูมอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4

ครูสามารถเชื่อมโยงการจัดกลุมในกิจกรรมน้ีกับเน้ือหาเรื่องเซต โดยแตละกลุมคําที่นักเรียนจัด เปรียบไดกับเซต และคําที่อยูในแตละกลุมเปรียบไดกับสมาชิกของเซต เม่ือนักเรียนไดศึกษา เกยี่ วกับการเขียนแสดงเซตแบบแจกแจงสมาชิก และแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกแลว ครูอาจให นกั เรยี นเขียนกลุมของคาํ ในรปู ของเซต ทัง้ แบบแจกแจงสมาชิก และแบบบอกเง่อื นไขของสมาชกิ

ประเดน็ สําคัญเกย่ี วกบั เน้ือหาและส่งิ ที่ควรตระหนกั เกยี่ วกบั การสอน สมาชิกของเซต

ตัวอยา งที่ 1 ให A = {0, 1, 2} จงพจิ ารณาวาขอความตอ ไปน้ีเปน จริงหรือเทจ็

1. 0 ∈ A

2. {0} ∈ A
3. {1, 2} ∉ A

ตัวอยางนี้มีไวเพ่ือสรางความเขาใจเกี่ยวกับการเปนสมาชิกของเซต และการใช สญั ลกั ษณแ ทนการเปนสมาชกิ ของเซต โดยเฉพาะอยา งยิง่ ในขอ 1) และ 2) ครูควรให นักเรียนรวมกันอภิปรายทีละขอเก่ียวกับการเปนสมาชิกหรือไมเปนสมาชิกของเซต ทีก่ ําหนดให และอาจใหตวั อยา งเพิม่ เติมเพ่ือตรวจสอบความเขา ใจของนักเรียน

การเขียนแสดงเซต ในการเร่ิมตนยกตัวอยางการเขียนแสดงเซตแบบแจกแจงสมาชิกน้ัน ครูควรเร่ิมตน จากการยกตัวอยางเซตที่หาสมาชิกของเซตไดงาย เพื่อเปนการใหความสําคัญกับ

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 7 คูม อื ครูรายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

การเขียนแสดงเซตแบบแจกแจงสมาชิกมากกวาการคํานวณเพื่อหาสมาชิกของเซต เชน เซตของพยัญชนะในภาษาไทย เซตของจํานวนคู เซตของจํานวนนับท่ีนอยกวา 5 เซตของ จํานวนเต็มที่ยกกาํ ลังสองแลว ได 16

เอกภพสัมพัทธ ในการเขยี นเซตจะตอ งกําหนดเซตทบี่ ง บอกถึงขอบเขตของสิ่งทีจ่ ะพิจารณา เรียกเซตน้ีวา เอกภพสัมพัทธ โดยมีขอตกลงวา เมื่อกลาวถึงสมาชิกของเซตใด ๆ จะไมกลาวถึง ส่ิงอื่นที่นอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ ดังน้ันเอกภพสัมพัทธจึงมีความสําคัญ ในการพิจารณาสมาชิกของเซต โดยเซตที่มีเงื่อนไขเดียวกันแตมีเอกภพสัมพัทธตางกัน อาจมสี มาชกิ ตา งกนั เชน

A ={x ∈ } x2 =4} และ B ={x ∈ }x2 =4

เขียน A และ B แบบแจกแจงสมาชิกไดเ ปน A = { 2} และ B= { − 2, 2}

เซตวาง • เซตวา งเปน สับเซตของเซตใด ๆ

สบั เซต • เซตวา งเปนสบั เซตของเซตทกุ เซต • เซตทุกเซตเปน สับเซตของตัวเอง • ไมสามารถหาสบั เซตทเ่ี ปนไปไดทงั้ หมดของเซตอนนั ต

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 8 คมู อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4

ความเขาใจคลาดเคลือ่ น เซตจาํ กัด

• นกั เรียนคดิ วาเซตวา งไมใ ชเซตจํากดั ซงึ่ ครคู วรช้ีใหนักเรียนเห็นวาเซตวางเปนเซต ทไ่ี มมีสมาชกิ หรอื มีสมาชิก 0 ตัว ดังนนั้ เซตวา งจึงเปนเซตจาํ กัด

• นักเรียนเขาใจวา { x | x∈ , 0 ≤ x ≤ 1} เปนเซตจํากัด เนื่องจากเขาใจวา มีสมาชิกตัวแรกคือ 0 และสมาชิกตัวสุดทายคือ 1 ซึ่งครูควรใหนักเรียนพิจารณา เอกภพสัมพัทธข องเซตน้ี ซึง่ เปน เซตของจาํ นวนจริง จึงไดวา เซตนเี้ ปนเซตอนนั ต

เซตวาง นักเรียนสับสนเกี่ยวกับการใชสัญลักษณแทนเซตวาง เชน ใช { ∅} แทนเซตวาง ซึ่งเปนการใชสัญลักษณที่ไมถูกตอง ครูควรใหนักเรียนพิจารณาจํานวนสมาชิกของ { ∅} จะไดวาเซตน้ีมีสมาชิก 1 ตัว ดังน้ัน เซตน้ีจึงไมใชเซตวาง นอกจากนี้ครูอาจ ยกตัวอยางเปรียบเทียบเซตวางกับกลองเปลา โดยเซตวางคือเซตท่ีไมมีสมาชิกและ กลองเปลาคือกลองท่ีไมมีอะไรบรรจุอยูภายในเลย แตถานํากลองเปลาใบที่หนึ่ง ใสลงไปในกลองเปลาใบที่สองแลว จะพบวากลองใบท่ีสองไมใชกลองเปลาอีกตอไป เพราะมีกลอ งเปลา ใบแรกบรรจอุ ยภู ายใน

สับเซต นักเรียนมีความสับสนเกี่ยวกับความหมายและสัญลักษณท่ีใชแทนการเปนสมาชิก ของเซต (∈) และการเปน สับเซต (⊂)

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 9 คมู ือครูรายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4

ประเดน็ สําคญั เกย่ี วกับแบบฝกหดั

แบบฝก หดั 1.1ก 2. จงเขียนเซตตอไปนี้แบบบอกเงอื่ นไขของสมาชิก

1. {1, 3, 5, 7, 9}
2. {..., − 2, −1, 0, 1, 2, ...}
3. {1, 4, 9, 16, 25, 36, ...}
4. {10, 20, 30, ...}

แบบฝกหัดนี้มีคําตอบไดหลายแบบ เนื่องจากการเขียนแสดงเซตแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก สามารถเขียนไดหลายแบบ ควรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียนเง่ือนไขของสมาชิกของเซต ซ่ึง เงอ่ื นไขของนกั เรียนไมจ ําเปน ตอ งตรงกับทค่ี รคู ดิ ไว

การดําเนินการระหวางเซต

เม่ือนักเรียนมีความเขาใจเก่ียวกับการเขียนแผนภาพเวนนแสดงเซตแลว ครูใชกิจกรรมตอไปนี้ เพ่ือสรางความเขาใจเกี่ยวกับความหมายของอินเตอรเซกชัน ยูเนียน คอมพลีเมนต และผลตาง ระหวางเซต

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 10 คูมือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4

กิจกรรม : หาเพอื่ น ขัน้ ตอนการปฏบิ ตั ิ 1. ครใู หนกั เรียนจบั คูกนั แลวครูเขยี นแผนภาพน้ลี งบนกระดาน

2. ครใู หน ักเรยี นแตละคูอภปิ รายในประเด็นตอไปนี้ 2.1 สมาชิกตวั ใดบา งทเ่ี ปนสมาชกิ ของทัง้ เซต A และเซต B 2.2 สมาชกิ ตัวใดบา งทเ่ี ปน สมาชิกของเซต A หรือเซต B หรอื ทัง้ สองเซต 2.3 สมาชิกตวั ใดบางที่เปนสมาชกิ ของ U แตไ มเปนสมาชกิ ของเซต A 2.4 สมาชกิ ตัวใดบา งท่ีเปน สมาชกิ ของ U แตไมเ ปนสมาชกิ ของเซต B 2.5 สมาชกิ ตวั ใดบางท่ีเปนสมาชกิ ของเซต A แตไมเปนสมาชิกของเซต B 2.6 สมาชิกตัวใดบางทเ่ี ปนสมาชิกของเซต B แตไ มเปนสมาชกิ ของเซต A

3. ครูและนกั เรยี นรว มกนั อภิปรายเกีย่ วกับคําตอบท่ไี ดในขอ 2

ครูสามารถเช่ือมโยงคําตอบที่ไดในกิจกรรมนี้กับเนื้อหาเร่ืองการดําเนินการระหวางเซต ไดแก อนิ เตอรเ ซกชัน ยูเนียน คอมพลเี มนต และผลตา งระหวา งเซต

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 11 คมู อื ครูรายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4

ประเดน็ สาํ คญั เกยี่ วกับเนอ้ื หาและสง่ิ ท่คี วรตระหนกั เก่ยี วกบั การสอน

ลาํ ดบั การดําเนนิ การระหวา งเซต การเขียนวงเล็บมีความสําคัญกับลําดับการดําเนินการระหวางเซตในกรณีท่ีมีการ ดําเนินการตางชนิดกัน เชน ( A∪ B) ∩ C มีลําดับการดําเนินการแตกตางกับ A∪ (B ∩ C) เพื่อไมใหเกิดการสับสนเก่ียวกับลําดับในการดําเนินการ จึงจําเปนตองใส วงเลบ็ เพ่ือบอกลําดบั การดาํ เนินการระหวา งเซตเสมอ

ประเด็นสาํ คญั เก่ียวกบั แบบฝกหัด

แบบฝก หดั 1.2

3.

จงแรเงาแผนภาพที่กาํ หนดใหเพ่อื แสดงเซตตอไปนี้

1. A′ 2) B′
2. A′ ∩ B′
3. ( A ∪ B)′

5. A′ ∪ B′ 6) ( A ∩ B)′
6. A − B
7. A ∩ B′

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 12 คมู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4

แบบฝกหัดนี้มีไวเพ่ือเปนตัวอยางของการแสดงสมบัติของการดําเนินการระหวางเซต จากการแรเงาแผนภาพนักเรียนจะสังเกตเห็นวา แผนภาพท่ีแรเงาไดในบางขอเปน แผนภาพเดยี วกันซึ่งสอดคลอ งกับสมบัตขิ องการดําเนนิ การระหวา งเซต

4.

จงแรเงาแผนภาพทีก่ ําหนดใหเพื่อแสดงเซตตอไปนี้

1. ( A ∪ B) ∪ C 2) A ∪ ( B ∪ C )
2. ( A ∩ B) ∩ C 4) A ∩ ( B ∩ C )
3. ( A ∪ B) ∩ C 6) ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C )

แบบฝกหัดนี้มีไวเพ่ือเปนตัวอยางของการแสดงสมบัติของการดําเนินการของเซต จากการ แรเงาแผนภาพนักเรียนจะสังเกตเห็นวา แผนภาพที่แรเงาไดในบางขอเปนแผนภาพ เดยี วกนั ซ่งึ สอดคลอ งกับสมบัติของการดําเนินการของเซต

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 13 คมู อื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4

การแกป ญ หาโดยใชเ ซต

เม่ือนักเรียนมีความเขาใจเกี่ยวกับการเขียนแผนภาพเวนนแสดงเซตและการดําเนินการแลว ครูอาจใชกิจกรรมตอไปน้ีเพ่ือสรางความเขาใจเก่ียวกับความหมายของอินเตอรเซกชัน ยูเนียน คอมพลเี มนต และผลตางระหวางเซต

กจิ กรรม : แรเงา

ขน้ั ตอนการปฏิบัติ 1. ครูใหน ักเรียนจับคูกัน แลวครูเขียนแผนภาพนีล้ งบนกระดาน

2. ครูถามนักเรียนวาจํานวนสมาชิกของเซต A เปนเทาใด เม่ือนักเรียนตอบไดแลว ใหค รแู นะนาํ วา จาํ นวนสมาชกิ ของเซต A เขียนแทนดว ย n( A)

3. ครใู หน ักเรยี นแตล ะคูหา

3.1 n( B) 3.2 n( A ∪ B) 3.3 n( A ∩ B)

4. ครูใหนักเรียนแตละคูพิจารณาวา n( A ∪ B) มีความสัมพันธกับ n( A), n(B) และ n( A ∩ B) อยา งไร โดยครูอาจใหนกั เรยี นพิจารณาจากแผนภาพ

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 14 คูมอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

5. จากแผนภาพตอไปนี้

ครูใหนักเรียนแรเงาเซต A จากน้ันแรเงาเซต B โดยใชอีกสีหนึ่ง และใหนักเรียน พจิ ารณาวา 5.1 สว นท่ีแรเงาท้ังหมดแทนเซตใด 5.2 สว นทแี่ รเงา 2 ครงั้ แทนเซตใด 5.3 จากการแรเงา n( A ∪ B) มีความสัมพันธกับ n( A), n(B) และ n( A ∩ B)

อยา งไร

ครูสามารถเชอ่ื มโยงคําตอบทไี่ ดในกจิ กรรมนี้กับเน้ือหาเรื่องการแกปญหาโดยใชเซต ในการหา จํานวนสมาชิกของเซต A∪ B และครูยังสามารถทํากิจกรรมในทํานองเดียวกันนี้ในการหา จํานวนสมาชิกของเซต A ∪ B ∪ C

ประเดน็ สาํ คัญเก่ียวกบั เนอื้ หาและส่ิงท่ีควรตระหนกั เกย่ี วกับการสอน • ในการแกปญหาโดยใชเซตน้ัน ครูอาจเสนอแนะใหนักเรียนใชวิธีเขียนแผนภาพแสดง

เซตเพอ่ื ชวยในการหาคาํ ตอบ

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 15 คูมอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4

• ตัวเลขท่ีแสดงในแผนภาพแสดงเซตอาจหมายถึง สมาชิกของเซต หรือจํานวนสมาชิกของเซต ดังนนั้ ครคู วรเนนใหน ักเรียนมคี วามเขาใจท่ชี ดั เจน

ประเด็นสําคญั เกย่ี วกบั แบบฝก หดั

แบบฝก หัดทา ยบท 2. จงเขียนเซตตอไปน้ีแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก

1. {1, 4, 7, 10, 13}
2. {−20, −19, −18,  , −10}
3. {5, 9, 13, 17, 21, 25, }
4. {1, 8, 27, 64, 125, 216, }

แบบฝกหัดน้ีมีคําตอบไดหลายแบบ เน่ืองจากการเขียนแสดงเซตแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก สามารถเขียนไดหลายแบบ ควรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียนเงื่อนไขของสมาชิกของเซต ซึ่ง เง่อื นไขของนักเรียนไมจ าํ เปน ตอ งตรงกับที่ครคู ดิ ไว

1.3 การวัดผลประเมนิ ผลระหวา งเรียน

การวัดผลระหวางเรียนเปนการวัดผลการเรียนรูเพ่ือปรับปรุงและพัฒนาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเร่ืองท่ีครูสอนมากนอยเพียงใด การให นักเรียนทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหนึ่งท่ีครูอาจใชเพื่อประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ นกั เรยี น ซึง่ หนังสือเรยี นรายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 ไดนาํ เสนอแบบฝกหัด ที่ครอบคลุมเนื้อหาที่สําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทท่ี 1 เซต ครูอาจใชแบบฝกหัดเพื่อ วดั ผลประเมนิ ผลความรใู นแตละเน้ือหาไดดงั น้ี

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 16 คูม ือครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4

เน้อื หา แบบฝกหัด 1.1ก ขอ 3, 4, 5 ความหมายของเซต สมาชิกของเซต จํานวนสมาชิกของเซต เซตวา ง เอกภพสัมพทั ธ 1.1ก ขอ 1, 2

การเขยี นแสดงเซตแบบแจกแจงสมาชิกและแบบบอกเงื่อนไข 1.1ก ขอ 6 ของสมาชกิ 1.1ก ขอ 7, 8 1.1ข ขอ 1 – 4 เซตจาํ กดั และเซตอนันต 1.1ค ขอ 1, 2, 3 เซตทเ่ี ทากัน 1.2ก ขอ 1 – 6 สบั เซต การเขียนแผนภาพเวนนแสดงเซต 1.3ก ขอ 1 – 9 การดาํ เนินการระหวางเซต (อนิ เตอรเซกชัน ยเู นยี น คอมพลีเมนต ผลตา งระหวางเซต) การแกปญหาโดยใชเ ซต

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 17 คมู ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4

1.4 การวเิ คราะหแบบฝก หดั ทายบท

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 มีจุดมุงหมายวาเมื่อนักเรียน ไดเ รียนจบบทที่ 1 เซต แลว นักเรียนสามารถ

1. ใชส ัญลักษณเก่ียวกบั เซต 2. หาผลการดาํ เนินการของเซต 3. ใชแผนภาพเวนนแ สดงความสัมพันธระหวางเซต 4. ใชค วามรูเ ก่ียวกับเซตในการแกปญหา ซ่ึงหนังสอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 ไดนําเสนอแบบฝกหัดทายบท ท่ปี ระกอบดวยโจทยเพ่ือตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมีวัตถุประสงคเพ่ือวัดความรูความเขาใจ ของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ซึ่งประกอบดวยโจทยฝกทักษะท่ีมีความนาสนใจและโจทยทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมายของบทเพ่ือ ตรวจสอบวานักเรียนมคี วามสามารถตามจดุ มงุ หมายเมือ่ เรียนจบบทเรียนหรอื ไม

ทั้งนี้ แบบฝกหัดทายบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 บทท่ี 1 เซต สอดคลองกบั จุดมุงหมายของบทเรยี น ดงั นี้

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 18 คมู ือครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4

จุดมงุ หมาย

ขอ ขอ ใชส ญั ลักษณ หาผลการ ใชแ ผนภาพ ใชค วามรู ยอ ย เกย่ี วกับเซต ดาํ เนนิ การ เวนนแสดง เกีย่ วกบั เซต ของเซต ความสมั พันธ ในการแกป ญ หา ระหวา งเซต

1. 1) 

2. 
3. 
4. 
5.   2. 1) 
6. 
7. 
8.   3. 1) 
9. 
10. 
11. 
12. 

4. 1) 2)

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 19 คูมือครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4

จดุ มุงหมาย

ขอ ขอ ใชสัญลกั ษณ หาผลการ ใชแผนภาพ ใชค วามรู ยอย เกี่ยวกับเซต ดาํ เนินการ เวนนแ สดง เก่ียวกบั เซต ของเซต ความสมั พันธ ในการแกป ญ หา ระหวางเซต

3. 
4. 
5. 
6.  5. 1)
7. 
8. 
9. 
10. 
11.  6. 1) 
12. 
13.  7. 1) 
15.   

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 20 คูม ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4

จดุ มุงหมาย

ขอ ขอ ใชสัญลักษณ หาผลการ ใชแ ผนภาพ ใชค วามรู ยอ ย เกย่ี วกับเซต ดําเนนิ การ เวนนแ สดง เกีย่ วกบั เซต ของเซต ความสมั พนั ธ ในการแกปญหา ระหวา งเซต

8. 1) 

2. 
3. 
4. 
6. 
7.   9. 1) 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 21 คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4

จดุ มุงหมาย

ขอ ขอ ใชส ัญลกั ษณ หาผลการ ใชแ ผนภาพ ใชความรู ยอ ย เกย่ี วกับเซต ดาํ เนนิ การ เวนนแสดง เกยี่ วกับเซต ของเซต ความสัมพันธ ในการแกป ญหา ระหวา งเซต  10. 1)  

2.  
3.     11. 1)  
4.  
5.  
6.  5)

17. 18. 1)

2)

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 22 คูมอื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4

จดุ มงุ หมาย

ขอ ขอ ใชส ัญลักษณ หาผลการ ใชแผนภาพ ใชความรู ยอย เกีย่ วกับเซต ดําเนนิ การ เวนนแ สดง เก่ียวกับเซต ของเซต ความสัมพนั ธ ในการแกปญหา ระหวา งเซต 

3. 
   19. 20. แบบฝกหัดทาทาย

1.5 ความรูเพม่ิ เตมิ สาํ หรบั ครู

• เซตอนันต จาํ แนกไดเปน 2 แบบ คอื แบบที่ 1 เปนเซตอนันตนบั ได (countable infinite) เชน เซตของจํานวนนับ

เซตของจาํ นวนเต็ม เซตของจํานวนตรรกยะ { x ∈ − x ≤ 1}

{x∈  x ≠ 0} แบบท่ี 2 เปนเซตอนันตนับไมได (uncountable infinite) เชน เซตของจาํ นวนจริง

{ x ∈  1 < x < 2} ซ่ึงเซตเหลานี้ไมสามารถเขยี นแจกแจงสมาชิกท้ังหมดได • สมบตั ขิ องการดาํ เนินการของเซต

สมบัติของการดําเนินการของเซตเทียบเคียงไดกับสมบัติบางขอในสัจพจนเชิงพีชคณิต ของระบบจํานวนจริง ดงั น้ี

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 23 คมู ือครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

ให A, B และ C เปนสับเซตของเอกภพสมั พัทธ U จะได

1. สมบัติการสลับที่

A∪B = B∪ A

A∩B = B∩ A

2. สมบตั ิการเปลีย่ นหมู

(A∪ B)∪C = A∪(B∪C) (A∩ B)∩C = A∩(B∩C)

3. สมบัติการแจกแจง

A∪(B∩C) = (A∪ B)∩(A∪C) A∩(B∪C) = (A∩ B)∪(A∩C)

1.6 ตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บทและเฉลยตัวอยา งแบบทดสอบประจําบท

ในสวนนี้จะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 1 เซต สําหรับรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 ซ่ึงครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรูที่ตองการ วัดผลประเมินผล

ตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท

1. จงเขียนเซตตอไปน้ีแบบแจกแจงสมาชิก

1. เซตของจํานวนเฉพาะท่ีอยูร ะหวาง 0 และ 20

{ }2) x ∈  2x2 − x − 3 =0

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 24 คมู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4

2. จงเขยี นเซตตอไปนี้แบบบอกเงื่อนไขของสมาชกิ

1.  1, 1, 1, 1, 2, 4  8 4 2 

2. { 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, }

3. ให A = { a, b, c, {d}} จงพิจารณาวา ขอความตอไปนเี้ ปนจริงหรือเท็จ

1. a ∈ A 2) {d}∉ A
2. { a, b } ∈ A
3. {{d}} ⊂ A 4. จงหาจํานวนสมาชกิ ของเซตตอไปนี้

1. {{1, 2, 3, …}}

{ }2) x ∈ x2 < 150

5. กาํ หนดให A, B เปนเซตอนนั ต และ A ≠ B จงพิจารณาวาขอความตอไปน้เี ปน จรงิ หรอื เท็จ ถาเปนเท็จจงยกตัวอยา งคาน

1. A ∩ B เปนเซตอนนั ต
2. A ∩ B เปนเซตจํากัด
3. A − B เปนเซตอนนั ต
4. A − B เปนเซตจาํ กดั

6. กาํ หนดให A = {a, b, c, d, e}

1. จงหาจํานวนสบั เซตของ A ท่ีมี a เปน สมาชิก
2. จงหาจํานวนสับเซตของ A ที่ไมมี a เปนสมาชกิ
3. จงหาจาํ นวนสับเซตของ A ทม่ี ี a หรือ b เปน สมาชกิ

7. ให A, B และ C เปนเซตใด ๆ ที่ไมใ ชเซตวา ง จงเขยี นแผนภาพแสดงเซตตอ ไปนี้

1. ( A ∪ C ) ∪ ( B − A)

2. (( A − B) − ( A − C )) ∪ ( B − ( A ∪ C )) 8. จงพิจารณาวา ( A − B) ∪ (B − A) และ ( A ∪ B) − ( A ∩ B) เทากันหรือไม

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 25 คูม ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4

9. ถา A มีจํานวนสมาชิกมากกวา B อยู 1 ตัว และ n( A ∪ B) + n( A ∩ B) =75 จงหาจํานวนสมาชิกของ A

10. กําหนดให U = {1, 2, , 100} จงหาจํานวนสมาชิกของ U ที่เปนจํานวนคูแตหารดวย 3 ไมลงตวั

11. กําหนดให U = {1, 2, , 60} จงหาจํานวนสมาชิกของ U ที่หารดวย 3 ลงตัว หรือหาร ดว ย 4 ลงตวั หรือหารดวย 5 ลงตัว

12. ในหอ งเรยี นหนึ่งมนี กั เรียนที่เล้ียงสุนัข 32 คน มีนักเรียนที่เล้ียงแมว 25 คน และมีนักเรียนที่ เล้ียงสนุ ขั หรอื แมวเพยี งชนิดเดียว 47 คน จงหาจาํ นวนของนักเรยี นท่ีเลี้ยงท้งั สุนัขและแมว

13. ในการสํารวจงานอดิเรกของคน 140 คน พบวา 72 คน ชอบดูภาพยนตร 65 คน ชอบออกกําลงั กาย 58 คน ชอบอา นหนงั สือ 23 คน ชอบดูภาพยนตรและออกกําลงั กาย 18 คน ชอบดูภาพยนตรและอา นหนังสอื 40 คน ชอบออกกาํ ลงั กายและอา นหนงั สอื 10 คน ไมสนใจงานอดิเรกขา งตน

จงหาจาํ นวนคนที่ชอบท้งั ดภู าพยนตร ออกกาํ ลงั กาย และอา นหนังสอื 14. ในงานเล้ียงแหงหนงึ่ มผี ูเขารวมงาน 200 คน โดยท่ีทุกคนชอบรับประทานกุง ปลา หรือปู

จากการสํารวจปรากฏวามีคนท่ีชอบรับประทานกุง ปลา และปู 63% , 42% และ 55% ตามลําดับ มีคนท่ีชอบรับประทานกุงและปลา 24% ชอบรับประทานปลาและปู 17% และชอบรบั ประทานทัง้ สามอยา ง 9% จงหาจํานวนของคนทช่ี อบรบั ประทานท้ังกุงและปู 15. ในการสํารวจขอมูลเก่ียวกับการทองเท่ียวของนักทองเที่ยวชาวตางชาติจํานวน 500 คน พบวานักทองเท่ียวทุกคนเคยไปเชียงใหม กระบี่ หรือชลบุรี โดยมีนักทองเที่ยวที่เคยไป

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 26 คมู อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4

ท้ังเชียงใหม กระบี่ และชลบุรี จํานวน 39 คน เคยไปเชียงใหมและกระบี่เทานั้น 78 คน เคยไปเชียงใหมและชลบุรีเทาน้ัน 96 คน เคยไปกระบ่ีและชลบุรีเทานั้น 111 คน และมี คนทไ่ี มเคยไปกระบ่ี 208 คน จงหาจาํ นวนคนท่เี คยไปกระบีเ่ พยี งจังหวดั เดยี ว

เฉลยตวั อยางแบบทดสอบประจําบท

1. 1) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

2. จาก 2x2 − x − 3 = 0

(2x − 3)( x +1) = 0

นน่ั คือ x=3 หรอื x= −1 2

เน่ืองจาก 3 ไมเปน จํานวนเต็ม จึงได −1 เปน คาํ ตอบของสมการ 2

ดงั นัน้ เขยี น {x∈ 2x2 − x − 3 =0} แบบแจกแจงสมาชิกไดเปน {−1}

{2. 1) x x = 2n−4 เมือ่ n ∈  และ n ≤ 6}

2. {x x = n เมื่อ n ∈ }} 2) เทจ็

10

3. 1) จรงิ

3. จริง 4) เทจ็

4. 1) เนือ่ งจาก {{1, 2, 3, …}} มีสมาชิก คือ {1, 2, 3, …}

ดังน้นั {{1, 2, 3, …}} มจี ํานวนสมาชิก 1 ตัว

{ }2) เนอ่ื งจาก x ∈ x2 < 150 ={−12, −11, … , 0, 1, … , 12}

นัน่ คือ {x ∈ x2 < 150} มีสมาชิก คือ −12, −11, … , 0, 1, … , 12

ดังนนั้ {−12, −11, … , 0, 1, … , 12} มจี ํานวนสมาชิก 25 ตัว

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 27 คมู ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4

5. 1) เปนเท็จ เชน เมอื่ A เปน เซตของจาํ นวนคู และ B เปน เซตของจํานวนคี่ จะได A ∩ B =∅ ซง่ึ ∅ เปน เซตจํากดั ดงั นั้น A ∩ B ไมเ ปนเซตอนนั ต

2. เปนเทจ็ เชน เมอื่ A =  และ B =  จะได A ∩ B = ซง่ึ  เปน เซตอนนั ต ดงั นน้ั A ∩ B ไมเปน เซตจาํ กดั

3. เปนเทจ็ เชน เม่ือ A=  ∪{0} และ B =  จะได A − B ={0} ซึง่ {0} เปนเซตจํากัด ดังนัน้ A − B ไมเ ปนเซตอนนั ต

4. เปน เท็จ เชน เมอ่ื A =  และ B เปน เซตของจาํ นวนคี่ จะได A − B คือเซตของจาํ นวนคู ซ่งึ เซตของจํานวนคูเ ปนเซตอนันต ดังน้นั A − B ไมเ ปนเซตจาํ กดั

6. จาก A = {a, b, c, d, e} จะได สับเซตของ A ท่ีมสี มาชิก 0 ตัว ไดแก ∅ สบั เซตของ A ท่ีมสี มาชกิ 1 ตัว ไดแ ก {a}, {b}, {c}, {d}, {e} สบั เซตของ A ที่มีสมาชกิ 2 ตวั ไดแก {a,b}, {a,c}, {a,d}, {a,e}, {b,c}, {b,d}, {b,e}, {c,d}, {c,e} และ {d,e} สับเซตของ A ทีม่ ีสมาชกิ 3 ตัว ไดแก {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d},

{a,c,e},{a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e},

{b,d,e} และ {c,d,e} สบั เซตของ A ทม่ี สี มาชกิ 4 ตวั ไดแ ก {a,b,c,d}, {a,b,c,e}, {a,b,d,e},

{a,c, d,e} และ {b,c,d,e} สับเซตของ A ทีม่ สี มาชิก 5 ตัว ไดแก {a,b,c,d,e}

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 28 คมู อื ครูรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4

1. สบั เซตของ A ที่มี a เปนสมาชิก มอี ยู 16 สับเซต
2. สับเซตของ A ทไ่ี มมี a เปนสมาชกิ มีอยู 32 −16 =16 สบั เซต
3. ให S เปน เซตของสบั เซตของ A ที่มี a เปนสมาชิก

T เปน เซตของสบั เซตของ A ทม่ี ี b เปนสมาชิก จะไ=ด n(S ) 1=6, n(T ) 16 และ n(S ∩T ) =8 จาก n(S ∪T ) = n(S ) + n(T ) − n(S ∩T )

\= 16 +16 − 8 \= 24

ดงั นน้ั สับเซตของ A ที่มี a หรือ b เปน สมาชิก มีอยู 24 สบั เซต 7. 1) เขียนแผนภาพแสดง ( A − B) ∪ (B − A) ไดดังนี้

2. เขยี นแผนภาพแสดง (( A − B) − ( A − C )) ∪ (B − ( A ∪ C ))

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 29 คูม ือครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

8. เขียนแผนภาพแสดง ( A − B) ∪ (B − A) และ ( A ∪ B) − ( A ∩ B) ไดดงั นี้

( A − B) ∪ (B − A) (A∪ B)−(A∩ B)

จากแผนภาพ จะไดว า ( A − B) ∪ (B − A) = ( A ∪ B) − ( A ∩ B)

ดังนน้ั ( A − B) ∪ (B − A) และ ( A ∪ B) − ( A ∩ B) เทา กนั

9. จาก n( A∪ B) = n( A) + n(B) − n( A∩ B)

จะได n( A ∪ B) + n( A ∩ B) = n( A) + n(B)

เนือ่ งจาก n( A ∪ B) + n( A ∩ B) =75 และ n=(B) n( A) −1

นนั่ คือ 75 = n( A) + n( A) −1

2 n( A) = 76

จะได n( A) = 38

ดังนน้ั จํานวนสมาชกิ ของ A คือ 38

10. ให A แทนเซตของจํานวนทเ่ี ปน สมาชกิ ของ U ซึง่ เปน จาํ นวนคู จะได n( A) = 50

B แทนเซตของจาํ นวนท่ีเปนสมาชกิ ของ U ซ่ึงหารดวย 3 ลงตวั จะได n(B) = 33

A ∩ B แทนเซตของจํานวนท่เี ปน สมาชกิ ของ U ซึ่งเปนจาํ นวนคแู ละหารดว ย 3 ลงตวั

เน่ืองจาก จํานวนคูที่หารดว ย 3 ลงตัว คือ จํานวนทห่ี ารดว ย 6 ลงตวั

จะได n( A ∩ B) =16

ดังน้ัน จาํ นวนสมาชกิ ของ U ซง่ึ เปน จํานวนคูทห่ี ารดว ย 3 ไมลงตัว มีอยู

n( A) − n( A ∩ B) = 50 −16 = 34 ตัว

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 30 คูม ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4

11. ให A แทนเซตของจํานวนท่ีเปน สมาชกิ ของ U ซึง่ หารดว ย 3 ลงตัว

B แทนเซตของจํานวนที่เปนสมาชิกของ U ซง่ึ หารดวย 4 ลงตัว

C แทนเซตของจาํ นวนท่ีเปน สมาชิกของ U ซงึ่ หารดวย 5 ลงตัว

จะได A = { 3, 6,  , 60} น่ันคือ n( A) = 20

B = { 4, 8,  , 60} นนั่ คือ n(B) =15

C = { 5, 10,  , 60} นนั่ คอื n(C ) =12

ให A ∩ B แทนเซตของจํานวนที่เปนสมาชกิ ของ U ซึง่ หารดวย 3 และ 4 ลงตัว

A ∩ C แทนเซตของจาํ นวนทีเ่ ปน สมาชกิ ของ U ซึ่งหารดวย 3 และ 5 ลงตวั

B ∩ C แทนเซตของจํานวนท่เี ปน สมาชกิ ของ U ซึ่งหารดว ย 4 และ 5 ลงตวั

A ∩ B ∩ C แทนเซตของจํานวนทีเ่ ปนสมาชิกของ U ซึง่ หารดวย 3 และ 4 และ 5 ลงตวั

จะได A ∩ B ={12, 24, 36, 48, 60} นัน่ คอื n( A ∩ B) =5

A ∩ C ={15, 30, 45, 60} น่นั คอื n( A ∩ C ) =4

B ∩ C ={ 20, 40, 60 } นน่ั คอื n(B ∩ C) =3

A ∩ B ∩ C ={ 60 } นน่ั คอื n( A ∩ B ∩ C) =1

วิธที ี่ 1 เขียนแผนภาพแสดงจาํ นวนสมาชกิ ของ A, B และ C ไดดังนี้

จากแผนภาพ จะได n( A ∪ B ∪ C ) = 12 + 8 + 6 + 4 + 3 + 2 +1 = 36

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 31 คมู อื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4

ดงั นน้ั จํานวนสมาชิกของ U ทีห่ ารดวย 3 ลงตวั หรือหารดว ย 4 ลงตวั หรือหาร ดว ย 5 ลงตัว มอี ยู 36 ตัว วธิ ีที่ 2 จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C )

−n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C)

จะได n( A ∪ B ∪ C ) = 20 +15 +12 − 5 − 4 − 3 +1

\= 36

ดังน้ัน จํานวนสมาชิกของ U ที่หารดวย 3 ลงตัว หรือหารดวย 4 ลงตัว หรือหาร ดว ย 5 ลงตัว มีอยู 36 ตัว 12. ให A แทนเซตของนักเรยี นท่ีเลี้ยงสุนัข จะได n( A) = 32 B แทนเซตของนักเรยี นท่ีเลย้ี งแมว จะได n(B) = 25 x แทนจํานวนนักเรยี นท่ีเลยี้ งทัง้ สนุ ขั และแมว เขยี นแผนภาพแสดงจาํ นวนสมาชิกของ A และ B ไดด ังนี้

เนอื่ งจาก มีนกั เรียนทเ่ี ลยี้ งสนุ ัขหรอื แมวเพยี งชนดิ เดียว 47 คน จะได (32 − x) + (25 − x) = 47

57 − 2x = 47 2x = 10 x =5

ดังนนั้ จาํ นวนของนกั เรียนท่เี ลยี้ งทง้ั สนุ ัขและแมว เทากบั 5 คน

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 32 คูมอื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4

13. ให A แทนเซตของคนทีช่ อบดูภาพยนตร จะได n( A) = 72 B แทนเซตของคนท่ชี อบออกกําลังกาย จะได n(B) = 65 C แทนเซตของคนทช่ี อบอานหนังสือ จะได n(C) = 58 A ∩ B แทนเซตของคนที่ชอบดภู าพยนตรและออกกําลังกาย จะได n( A ∩ B) =23 A ∩ C แทนเซตของคนทชี่ อบดูภาพยนตรและอา นหนังสอื จะได n( A ∩ C) =18 B ∩ C แทนเซตของคนทชี่ อบออกกําลังกายและอา นหนงั สือ จะได n(B ∩ C) =40 ( A ∪ B ∪ C)′ แทนเซตของคนที่ไมช อบงานอดิเรกขา งตน เลย จะได n( A ∪ B ∪ C )′ =10 นนั่ คอื n( A ∪ B ∪ C )= 140 −10= 130

วธิ ที ี่ 1 ให x แทนจํานวนคนท่ชี อบท้ังดภู าพยนตร ออกกําลงั กาย และอา นหนังสือ เขียนแผนภาพแสดงจาํ นวนสมาชกิ ของ A, B และ C ไดด ังนี้

จากแผนภาพ จะได

(31+ x) + (23 − x) + (2 + x) + (18 − x) + x + (40 − x) + x = 130

x +114 = 130 x = 16

ดงั นน้ั มคี นที่ชอบท้ังดูภาพยนตร ออกกาํ ลังกาย และอานหนังสอื 16 คน

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 33 คูม ือครูรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4

วธิ ที ี่ 2 จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C )

−n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C)

จะได 130 = 72 + 65 + 58 − 23 −18 − 40 + n( A ∩ B ∩ C ) นนั่ คอื n( A ∩ B ∩ C ) = 16 ดงั นนั้ มีคนท่ชี อบทง้ั ดูภาพยนตร ออกกําลังกาย และอา นหนังสือ 16 คน 14. ให A แทนเซตของคนทช่ี อบรับประทานกงุ B แทนเซตของคนที่ชอบรบั ประทานปลา C แทนเซตของคนที่ชอบรบั ประทานปู A ∩ B แทนเซตของคนที่ชอบรับประทานกงุ และปลา B ∩ C แทนเซตของคนท่ีชอบรับประทานปลาและปู A ∩ B ∩ C แทนเซตของคนท่ีชอบรบั ประทานทั้งสามอยาง

จะได n( A) = 63 × 200 = 126

100

n( B) = 42 × 200 = 84

100

n(C ) = 55 × 200 = 110

100

n( A ∩ B) = 24 × 200 = 48

100

n( B ∩ C ) = 17 × 200 = 34

100

n( A ∩ B ∩ C )= 9 × 200= 18

100

A ∪ B ∪ C แทนเซตของคนท่ีชอบรบั ประทานกุง ปลา หรอื ปู เนอ่ื งจาก มีคนมารวมงานทั้งหมด 200 คน โดยแตละคนชอบรบั ประทานกุง ปลา หรือปู จะได n( A ∪ B ∪ C ) =200 จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n( B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C )

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 34 คมู อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4

−n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C)

จะได 200 = 126 + 84 +110 − 48 − n( A ∩ C ) − 34 +18 นัน่ คอื n( A ∩ C) = 56 ดงั นั้น มีคนทช่ี อบรบั ประทานทัง้ กุงและปู 56 คน 15. ให A แทนเซตของนักทองเที่ยวท่เี คยไปเชียงใหม

B แทนเซตของนักทองเที่ยวท่ีเคยไปกระบี่ C แทนเซตของนักทองเที่ยวทเ่ี คยไปชลบรุ ี ให a แทนจาํ นวนนกั ทองเทยี่ วท่เี คยไปเชยี งใหมเพยี งจังหวัดเดยี ว b แทนจํานวนนักทองเทย่ี วท่เี คยไปกระบี่เพียงจังหวดั เดยี ว c แทนจํานวนนกั ทองเทย่ี วที่เคยไปชลบรุ ีเพยี งจงั หวัดเดยี ว เขยี นแผนภาพแสดงไดดงั นี้

เน่อื งจากมนี ักทองเทีย่ วทีไ่ มเ คยไปกระบ่ี 208 คน จากแผนภาพ จะไดว า a + c + 96 =208 นัน่ คอื a + c =112 จะได b = 500 − (112 + 78 + 96 +111+ 39) = 64 ดงั นัน้ จาํ นวนคนท่เี คยไปกระบ่ีเพยี งจังหวดั เดยี วมี 64 คน

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 35 คมู อื ครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4

1.7 เฉลยแบบฝก หดั

คูมือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 แบงการเฉลยแบบฝกหัดเปน 2 สวน คือ สวนที่ 1 เฉลยคําตอบ และสวนที่ 2 เฉลยคําตอบพรอมวิธีทําอยางละเอียด ซึ่งเฉลย แบบฝก หัดทีอ่ ยูในสวนนี้เปนการเฉลยคําตอบของแบบฝกหัด โดยไมไดนําเสนอวิธีทํา อยางไรก็ตาม ครูสามารถศกึ ษาวธิ ีทาํ โดยละเอยี ดของแบบฝก หัดไดใ นสว นทายของคูม ือครเู ลม น้ี

แบบฝก หัด 1.1ก

1. 1) { a, e, i, o, u } 2) { 2, 4, 6, 8}

3. {10, 11, 12,  , 99 } 4) {101, 102, 103,  }

5. { − 99, − 98, − 97,  , −1} 6) { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

7. ∅ 8) ∅

9. { −14, 14 }

10. {ชลบรุ ,ี ชัยนาท, ชัยภมู ิ, ชมุ พร, เชยี งราย, เชียงใหม}

2. 1) ตัวอยา งคาํ ตอบ {x | x เปนจํานวนค่บี วกทีน่ อยกวา 10}

หรอื {x∈ | x เปน จาํ นวนคต่ี ้ังแต 1 ถงึ 9}

2. ตวั อยา งคําตอบ {x | x เปน จาํ นวนเตม็ }

3. ตัวอยา งคาํ ตอบ {x∈ | x มรี ากที่สองเปน จาํ นวนเต็ม}

หรือ {x | x = n2 และ n เปน จํานวนนับ}

4. ตัวอยา งคําตอบ {x∈ | x หารดว ยสบิ ลงตัว}

หรอื {x | x = 10n และ n เปนจาํ นวนนบั }

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 2) 5 ตวั 36 คมู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 4) 9 ตัว

3. 1) 1 ตวั 2) เปน จรงิ

3. 7 ตวั
4. 0 ตัว 2) ไมเปนเซตวา ง
5. เปนเซตวา ง 4. 1) เปน เท็จ
6. เปน เท็จ 2) เซตจาํ กดั
7. เซตจํากดั 5. 1) เปน เซตวาง 6) เซตอนนั ต
8. ไมเปน เซตวา ง
9. ไมเปนเซตวาง 2) A ≠ B
10. A = B 6. 1) เซตอนนั ต
11. เซตอนนั ต
12. เซตอนันต

7. 1) A ≠ B จ

3. A = B จ
4. A ≠ B จ

8. A = D จ

แบบฝก หดั 1.1ข 2) ผดิ

4. ถูก 1. 1) ถกู 6) ผิด
5. ผดิ
6. ถูก

2. A ⊂ B, C ⊂ A, C ⊂ B จ

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 37 คูมือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4

3. 1) เปนจรงิ 2) เปนจรงิ

3. เปนจรงิ

4. 1) ∅ และ {1}

2. ∅, {1}, { 2} และ {1, 2}

3. ∅, { −1}, { 0 }, {1}, {−1, 0 }, {−1, 1}, { 0, 1} และ {−1, 0, 1}

4. ∅, { x }, { y } และ { x, y }

5. ∅, { a }, { b }, { c }, { a, b }, { a, c }, { b, c } และ { a, b, c }

6. ∅

แบบฝกหดั 1.1ค

1.

2. 1) 2)

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 38 คมู อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4

3)

3. 1) 1 ตัว (คอื a )

2. 2 ตวั (คอื d และ e )
3. 3 ตวั (คอื x, y และ z )

แบบฝกหัด 1.2 2) A ∩ B ={ 0, 2 }

4. B − A ={ 4, 7, 9 } 1. 1) A ∪ B ={ 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 } ก 6) B′ = {1, 3, 5, 6, 8}
5. A − B ={1, 8} ก 8) A′∩ B ={ 4, 7, 9 }
6. A′ = { 3, 4, 5, 6, 7, 9 } ก 2) B ∪ C ={1, 3, 4, 5, 6, 7 }
7. A ∪ B′ ={ 0, 1, 2, 3, 5, 6, 8} ก 4) A ∩ C ={ 4, 6 }
8. C′∩ A ={ 0, 2, 8} 2. 1) A ∩ B =∅ ก 8) ( A ∩ B) ∪ B ={1, 3, 5, 7 }

3. B ∩ C ={ 3, 5}
4. C′ = { 0, 1, 2, 7, 8}
5. C′∩ B ={1, 7 }

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี