เฉลยคณ ตศาสตร เล ม 2 ม.4-6 แบบฝ กห ด 2.3.1

คํานํา แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 1 เล่มนี้จัดทํา ขึ้นเพื่อประกอบการจัดการเรียนการสอน เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวในสาระที่ 4 พีชคณิต กลุ่ม สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 1 เพื่อแกปัญหาให้ก ้ บนักเรียนที่ขาดทักษะทาง ั คณิตศาสตร์ นักเรียนที่มีผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนตํ่า ใช้สอนซ่อมเสริม และใช้เป็ นสื่อประกอบ การจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 1 โดยจัดทําขึ้น 4 ชุด ชุดละ 1 เล่ม นักเรียน จะได้ฝึ กฝนเพิ่ มเติมเพื่อให้เกิดทักษะและเป็ นการกระตุ้นให้นักเรียนเกิดทัศนคติที่ดีต่อการเรียน คณิตศาสตร์ ขอขอบคุณผู้มีส่วนเก ี่ยวข้องทุกท่านที่ได้ให้ข้อมูลอันเป็ นประโยชน์ในการจัดทําแบบฝึ ก ทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ผู้จัดทําหวังเป็ นอยางยิ ่งว่ า จะเป็ ่ นประโยชน์ต่อนักเรียนหรือผู้ที่ให้ความ สนใจศึกษาหาความรู้ และเป็ นประโยชน์ต่อการจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ให้มีประสิทธิภาพดี ยิงขึ ่ ้นต่อไป ปิ ยะมาศ แก้วเกษการณ์

คําชี้แจง แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 1 เล่มนี้จัดทํา ขึ้นเพื่อให้ผู้เรียนสามารถเรียนรู้ได้ด้วยตนเอง เน้นกระบวนการคิดวิเคราะห์ การสรุปความคิดรวบ ยอด โดยชุดแบบฝึ กทักษะประกอบด้วย สาระสําคัญ จุดประสงค์การเรียนรู้ เนื้อหา ซึ่งมีตัวอยาง่ อธิบายประกอบ ชุดกิจกรรม และแบบฝึ กหัด ในตอนท้ายเล่มมีความสัมพันธ์กนจากชุดที่ ั1-4 เนื้อหา ประกอบด้วย แบบรูปและความสัมพันธ์ คําตอบของสมการ การแกสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ้ โจทย์ปัญหาเกี่ ยวกบสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เพื่อให้ผู้เรียนได้เรียนรู้ตามศักยภาพ และความ ั แตกต่างระหวาง่ บุคคลในแบบฝึ กทักษะยังได้สอดแทรกเนื้อหาที่เกี่ยวข้องกบชีวิตประจําวัน ผู้เรียน ั ควรศึกษาและทําแบบกิจกรรม แบบฝึ กหัดให้ครบทุกข้อ เพื่อจะได้เป็ นพื้ นฐานในการเรียนวิชา คณิตศาสตร์ใสชั้นที่สูงขึ้นต่อไป

คําแนะนําการใช้แบบฝึ กทักษะสําหรับครู การใช้แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 1 ครูผู้สอนเป็ นผู้ที่มีบทบาทสําคัญส่วนหนึ่งในการที่จะช่วยให้ดําเนินการเรียนรู้ของนักเรียนให้บรรลุ วัตถุประสงค์ ครูผู้สอนควรศึกษารายละเอียดเกี่ ยวกบการปฏิบัติตนก ั ่อนที่จะใช้แบบฝึ กทักษะ ดังนี้ 1. ครูต้องศึกษาแบบฝึกทักษะ และอ่านเนื้อเรื่องอยางระเอียด รอบคอ ่บ พร้อมทั้ งทําความ เข้าใจกบเนื ั้อหาทุกแบบฝึ กก่อนการใช้งาน 2. ครูต้องเตรียมวัสดุอุปกรณ์ สื่อการสอนต่างๆสําหรับให้นักเรียนปฏิบัติกิจกรรมให้ ครบถ้วนและเพียงพอกบจํานวนนักเรียน ั 3. ครูควรชี้แจ้งให้นักเรียนทราบถึงลําดับขั้ นตอนและวิธีการสอนโดยใช้แบบฝึ กทักษะอยาง่ ชัดเจน และประโยชน์ที่ได้รับจากการสอนได้โดยใช้แบบฝึ กทักษะ 4. ครูต้องชี้แจงให้นักเรียนทราบเกี่ ยวกบบทบาทของนักเรียนในการเรียนโดยใช้แบบฝึ ก ั ทักษะให้เข้าใจและเน้นยํ้ าเรื่องความซื่อสัตย์โดยไม่คัดลอกเพื่อนหรือให้เพื่อนทําให้ 5. ในขณะที่นักเรียนกาลังศึกษาเนื ํ้อหาหรือประกอบกิจกรรมครูควรสังเกตการณ์ทํางานของ นักเรียนอยางใกล้ชิด หากนักเรียนคนใดมีปัญหาครูจะต้องช ่ ่วยเหลือได้ทันที 6. เวลาที่ใช้ในการจัดกิจกรรมการเรียนจากแบบฝึ กทักษะของนักเรียนแต่ละคนอาจจะไม่ เท่ากน ครูผู้สอนควรยืดหยุ ั น ได้ตามความเหมาะสมก ่บสถั านการณ์ 7. ในกรณีที่นักเรียนคนใดขาดเรียน ให้นักเรียนศึกษาเป็ นรายบุคคล จากแบบฝึ กทักษะที่ครู เตรียมไว้ 8. สําหรับแบบฝึ กทักษะนั้นสามารถเรียนได้ทั้ งในห้องเรียนและนอกห้องเรียนตามความ เหมาะสมกบสถานการณ์ ั

คําแนะนําการศึกษาแบบฝึ กทักษะสําหรับนักเรียน ในการศึกษาแบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 1 นักเรียนปฏิบัติตามคําแนะนําดังนี้ 1. นักเรียนต้องอ่านสาระสําคัญและจุดประสงค์การเรียนรู้โดยละเอียด เพื่อจะได้ทราบแนว ความรู้ในแต่ละเล่ม 2. ในการศึกษาแบบฝึ กทักษะแต่ละชุด ให้อ่านคําชี้แจ้ง คําสั่ งให้เข้าใจและปฏิบัติตาม ขั้ นตอนถ้ามีคําถามให้ตอบคําถามก่อนทุกครั้ง 3. เมื่อศึกษาเนื้อหาเสร็จแล้วให้ทําแบบฝึ กหัดให้ครบโดยปฏิบัติด้วยความตั้ งใจ 4. ถ้าทําแบบฝึ กหัดท้ายแบบฝึ กไม่ผานให้กลับไปศึกษาเนื ่้อหาในแบบฝึ กทักษะซํ้ าอีกครั้ง และทําแบบฝึ กหัดใหม่จนกวาจะผ่ านแล้วค ่ ่อยศึกษาแบบฝึ กทักษะในชุดต่อไป 5. ทําแบบฝึ กทักษะเรียงลําดับตั้ งแต่ชุดที่ 1- 4 ตามลําดับไม่ข้ามขั้ นตอน

คําสั่งจงเลือกคําตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคําตอบเดียว 1. รูปถัดไปอีกสองรูปของแบบรูปนี้คือข้อใด ก. ข. ค. ง. 2. รูปถัดไปอีกสองรูปของแบบรูปนี้คือข้อใด ก. ข. ค. ง. แบบทดสอบกอนเรียน เรื่อง รูปแบบและความสัมพันธ

3. แบบรูปในข้อใดต่างจากพวก ก. 24, 26 , 28 , 30 ข. 1 , 3 , 5 , 7 ค. 15 , 13 , 11 , 9 ง. 2 , 4 , 6 , 8 4. 52 , 56 , 60 , , 68 , , 76 จํานวนที่หายไปคือจํานวนใด ก. 62 , 66 ข. 64 , 70 ค. 62 ,72 ง. 64 , 72 5. แบบรูปต่อไปนี้มีความสัมพันธ์แบบใด 6 8 10 12 … ก. นับเพิ่ มทีละ 2 ข. นับเพิ่ มทีละ 3 ค. นับเพิ่ มทีละ 4 ง. นับเพิ่ มทีละ 5 6. แบบรูปต่อไปนี้มีความสัมพันธ์แบบใด 22 19 16 13 … ก. นับลดทีละ 2 ข. นับลดทีละ 3 ค. นับลดทีละ 4 ง. นับลดทีละ 5 7. จํานวนสองจํานวนถัดไปของแบบรูปนี้คือข้อใด 483 , 573 , 663 ก. 553 , 463 ข. 533 , 483 ค. 753 , 843 ง. 753 , 463 8. จํานวนในวงเล็บ [5] เป็ นคําตอบของสมการในข้อใด ก. m + 5 = 11 ข. 2x – 2 = 8 ค. 4y -1 = 16 ง. 20 –2n = 11

9. จํานวนในวงเล็บ [ ] ข้อใดที่ทําให้สมการเป็ นจริง ก. 14 5 m = [60] ข. 3m = -52 [7] ค. 12 – x = 6 [5] ง. x -9= 0 [9] ลําดับที่ 1 2 3 4 ... m จํานวน 6 9 12 15 … … 10.จากตาราง ลําดับที่ m คือจํานวนใด ก. 3m + 5 ข. 3m + 3 ค. 5m -2 ง. 2m + 4

วิเคราะหและเขียนความสัมพันธจากแบบรูปที่กําหนดใหโดยใชตัวแปรได แบบรูปเปนการแสดงความสัมพันธของสิ่งตางๆที่มีลักษณะสําคัญ บางอยางรวมกันอยางมีเงื่อนไขซึ่งสามารถอธิบายความสัมพันธเหลานั้นไดโดย การสังเกต วิเคราะหหาเหตุผลสนับสนุนจนไดบทสรุปอันเปนที่ยอมรับได ดานความรู (K) 1. นักเรียนสามารถวิเคราะหแบบรูปที่กําหนดใหได 2. นักเรียนสามารถเขียนความสัมพันธจากแบบรูปที่กําหนดใหโดยใชตัว แปรได ดานทักษะ/กระบวนการ (P) 1. นักเรียนใหเหตุผลในการวิเคราะหความสัมพันธของแบบรูปได 2. นักเรียนแกปญหาจากโจทยหรือสถานการณในชุดแบบฝกทักษะได ดานคุณลักษณะอันพึงประสงค (A) 1. นักเรียนมีวินัย 2. นักเรียนใฝเรียนรู 3. นักเรียนมุงมั่นในการทํางาน

แบบรูปเป็ นการแสดงความสัมพันธ์ของสิ่งต่างๆ ที่มีลักษณะสําคัญบางอยาง่ ร่วมกนอยั างมีเงื่อนไขซึ่งสามารถอธิบายความสัมพันธ์เหล ่ ่านั้นได้โดยการสังเกต วิเคราะห์หาเหตุผลสนับสนุนจนได้บทสรุปอันเป็ นที่ยอมรับได้ ความสัมพันธ์เกิดจากสิ่งสองสิ่งใดๆ ที่มีความเกี่ยวข้องกนภายใต้กฎเกณฑ์หรือ ั เงื่อนไขอยางใดอย ่ างหนึ่ง ่ ลองศึกษาจากตัวอยางดูนะจะ เด็กๆ

ในชั้นประถมศึกษาเราเคยเรียนแบบรูปและความสัมพันธ มาบางแลว ดังนี้ 1. แบบรูปของรูปที่มีสีสัมพันธกัน เชน 2. แบบรูปที่มีขนาดหรือสีสัมพันธกัน เชน 3. แบบรูปที่มีลําดับตัวเลขสัมพันธกัน เชน 5,10,15,20,25,… แตในระดับชั้นมัธยมศึกษาเราจะเรียน แบบรูปและความสัมพันธในลักษณะที่ ซับซอนมากขึ้น

ตัวอยางที่ 1 ใหนักเรียนพิจารณาแบบรูปตอไปนี้ รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปตอไปจะเปนรูปใด วิเคราะห รูปที่ 1 จะเห็นไดวารูปจะเรียงลําดับดังนี้ ดาว หัวใจ ใบหนา รูปที่ 2 จะเห็นไดวารูปจะมีการเปลี่ยนตําแหนง ดังนี้ ใบหนา ดาว หัวใจ และตําแหนง มีการหมุนภาพตามเข็มนาฬิกา รูปที่ 3 จะเห็นไดวารูปจะมีการเปลี่ยนตําแหนง ดังนี้ หัวใจ ใบหนา ดาว และ ตําแหนงมีการหมุนภาพตามเข็มนาฬิกา ดังนั้นรูปตอไป จะเรียงลําดับดังนี้ ดาว หัวใจ ใบหนา และมีการหมุนภาพตามเข็ม นาฬิกา ตอบ

ตัวอยางที่ 2 รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปตอไปจะเปนรูปใด วิเคราะห รูปที่ 1 จะเปนรูปวงกลมที่แบงเปน 4 สวน โดยมีเลข 1-4 เรียงกัน โดยเริ่มจาก ทางซายบน และเลข 2,3,4 เรียงตามเข็มนาฬิกา รูปที่ 2 จะเปนรูปวงกลมที่แบงเปน 4 สวน โดยมีเลข 1-4 เรียงกัน โดยเริ่มจาก ทางขวาบน และเลข 2,3,4 เรียงตามเข็มนาฬิกา รูปที่ 3 จะเปนรูปวงกลมที่แบงเปน 4 สวน โดยมีเลข 1-4 เรียงกัน โดยเริ่มจาก ทางขวาลาง และเลข 2,3,4 เรียงตามเข็มนาฬิกา จะเห็นไดวาเลข 1-4 จะเปลี่ยนตําแหนงตามเข็มนาฬิกา ดังนั้นรูปตอไป จะเปนรูปวงกลมที่แบงเปน 4 สวน โดยมีเลข 1-4 เรียงกัน โดย เริ่มจากทางซายลาง และเลข 2,3,4 เรียงตามเข็มนาฬิกา ตอบ 1 2 4 3 4 1 3 2 3 4 2 1 4 1 3 2 1 2 4 3 3 4 2 1 2 3 1 4

1. รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปตอไปจะเปนรูปใด วิเคราะห .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ตอบ ....................................................................................................................................

2. รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปตอไปจะเปนรูปใด วิเคราะห .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ตอบ ....................................................................................................................................

3. รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปตอไปจะเปนรูปใด วิเคราะห .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ตอบ ....................................................................................................................................

4. รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปตอไปจะเปนรูปใด วิเคราะห .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ตอบ ....................................................................................................................................

5. รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปตอไปจะเปนรูปใด วิเคราะห .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ตอบ ....................................................................................................................................

ตัวอยางที่ 1 1,000,000 100,00 10,000 ตัวเลขตัวตอไปคือเลขอะไร วิเคราะห ลําดับที่ 1 = 1,000,000 มีเลข 0 ทั้งหมด 6 ตัว ลําดับที่ 2 = 100,000 มีเลข 0 ทั้งหมด 5 ตัว ลําดับที่ 3 = 10,000 มีเลข 0 ทั้งหมด 4 ตัว จะเห็นไดวา เลข 0 จะมีจํานวนลดลงที่ละ 1 ตัว ดังนั้นลําดับที่ 4 จะเลข 0 เหลือเพียง 3 ตัว ตอบ ลําดับที่ 4 = 1,000 ไมยากเลยใชมั้ยคะนักเรียน

ตัวอยางที่ 2 รูปตอไปจะเปนรูปใด วิเคราะห จะเห็นไดวารูปที่ 1-3 ตรงกลางของทุกรูปจะเปนเลขจํานวนเฉพาะที่เรียงตอกันมา แลวมีการ เรียงลําดับเลขตอไปตามเข็มนาฬิกา ดังนั้นตรงกลางของรูปที่ 4 จะเปนเลข 7 อยูตรงกลางมา แลวมีการเรียงลําดับเลขตอไปตามเข็ม นาฬิกา ตอบ รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3

ตัวอยางที่ 3 9, 18, 27, 36 ลําดับ 2 ลําดับถัดไปคือเลขอะไร วิเคราะห 9, 18, 27, 36 +9 +9 +9 จะเห็นไดวาในแตละลําดับมีการบวกเพิ่มขึ้นที่ละ 9 ตอบ 9, 18, 27, 36 ,45,54 ตัวอยางที่ 4 0 , -2 ,-4 ,-6 ลําดับ 2 ลําดับถัดไปคือเลขอะไร วิเคราะห 0 , -2 , -4 ,-6 -2 -2 -2 จะเห็นไดวาในแตละลําดับจะลดลงที่ละ 2 ตอบ 0 , -2 ,-4 ,-6 ,-8,-10

1.จงเติมความสัมพันธของจํานวนตอไปนี้ 1.1) 2 , 4 , 6 , 8 ,………………………………………………………………….. 1.2) 1 , 3 , 5 , 7,…………………………………………………………………… 1.3) -11 , -10 , -9 , -8 ,………………………………………………………… 1.4) 7 , 14 , 21 , 28 ,…………………………………………………………… 1.5) -5 , 0 , 5 , 10 ,……………………………………………………………… 2. จงเติมจํานวนอีก 3 จํานวน ตามรูปแบบของจํานวนที่กําหนดให 2.1) 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 ,…………………………………………………….. 2.2) 1 , 2 , 2 , 4 , 3 ,…………………………………………………………. 2.3) 1 , 4 , 9 , 16 ,…………………………………………………………….. 2.4) 7 , 21 , 35 , 49 ,………………………………………………………… 2.5) 111 , 123 , 135 , 147,……………………………………………….. 2.6) 101 , 203 , 305 ,……………………………………………………….. 2.7) 863 , 763 , 663 ,……………………………………………………….. 2.8) 589 , 579 , 569 ,……………………………………………………….. 2.9) 566 , 554 , 542 ,……………………………………………………….. 2.10) 224 , 236 , 248 ,…………………………………………………….

ตัวอยางที่ 1 ใหนักเรียนหาจํานวนที่ n ของจํานวนซึ่งเรียงกันตามลําดับดังนี้ 5, 9, 13, 17, 21 ,........ วิเคราะห 5, 9, 13, 17, 21 ,........ เพิ่มขึ้นทีละ +4 +4 +4 +4 แตเนื่องจากโจทยตองการหาคําตอบลําดับที่ n ซึ่งเปนการหาคําตอบที่ไมทราบลําดับที่ แนนอน เราจะใชตารางเขาชวยหาคําตอบ ดังนี้ สรางตารางเพื่อหาความสัมพันธ ลําดับที่ 1 2 3 4 5 ... n จํานวน 5 9 13 17 21 ... … จะเห็นไดวาในแตละลําดับจํานวนมีคาเพิ่มขึ้นที่ละ 4 ดังนี้ ลําดับที่ 1 = 5 ลําดับที่ 2 = 5+4=9 ลําดับที่ 3 = 5+4+4=13 ลําดับที่ 4 = 5+4+4+4=17 ลําดับที่ 5 = 5+4+4+4+4=21

จะไดวา ความสัมพันธระหวางลําดับที่กับจํานวนมีความสัมพันธกันเปนดังนี้ ลําดับที่ 1 = 5 ลําดับที่ 2 = 5+4 = 5+(4 × 1) = 5+(4 × (2-1)) =9 ลําดับที่ 3 = 5+4+4 = 5+(4 × 2) = 5+(4 × (3-1)) = 13 ลําดับที่ 4 = 5+4+4+4 = 5+(4 × 3) = 5+(4 × (4-1)) = 17 ลําดับที่ 5 = 5+4+4+4+4 = 5+(4 × 4) = 5+(4 × (5-1)) = 21 ดังนั้นจะไดลําดับที่ n ดังนี้ ลําดับที่ n = 5+(4 × (n-1)) = 5+(4n-4) = 5+ 4n-4 = 4n+1 จะเห็นไดวาจํานวนตัวเลขที่นํามาคูณจะมีคา นอยกวาลําดับที่อยู 1 เสมอ

ตัวอยางที่ 2 ใหนักเรียนพิจารณาความสัมพันธระหวางรูปกับจํานวนรูปวงกลมที่กําหนดให แลวหารูปที่ n รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปที่ 4 สรางตารางเพื่อหาความสัมพันธ ลําดับที่ 1 2 3 4 ... n จํานวน 3 5 7 9 ... … พิจารณา รูปที่ 1 มีรูปวงกลมจํานวน 3 รูป รูปที่ 2 มีรูปวงกลมจํานวน 3+2 = 3+(2×1) = 5 รูป รูปที่ 3 มีรูปวงกลมจํานวน 3+2+2 = 3+(2×2) = 7 รูป รูปที่ 4 มีรูปวงกลมจํานวน 3+(2+2+2) = 3+(2×3) = 9 รูป ดังนั้นจะไดรูปที่ n ดังนี้ รูปที่ n = 3+(2 × (n-1)) = 3+(2n-2) = 3+ 2n-2 = 2n + 1

1.ใหนักเรียนหาจํานวนที่ n ของจํานวนซึ่งเรียงกันตามลําดับดังนี้ 6, 11, 16, 21, 26 ,........ วิเคราะห 6, 11, 16, 21, 26 ,........ เพิ่มขึ้นทีละ ………………………………………………… แตเนื่องจากโจทยตองการหาคําตอบลําดับที่ n ซึ่งเปนการหาคําตอบที่ไมทราบลําดับที่แนนอน เรา จะใชตารางเขาชวยหาคําตอบ ดังนี้ สรางตารางเพื่อหาความสัมพันธ ลําดับที่ 1 2 3 4 5 ... n จํานวน …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………

2.ใหนักเรียนหาจํานวนที่ n ของจํานวนซึ่งเรียงกันตามลําดับดังนี้ 25, 22, 19, 16, 13 ,........ วิเคราะห 25, 22, 19, 16, 13 ,........ ลดลงทีละ ………………………………………………… แตเนื่องจากโจทยตองการหาคําตอบลําดับที่ n ซึ่งเปนการหาคําตอบที่ไมทราบลําดับที่แนนอน เรา จะใชตารางเขาชวยหาคําตอบ ดังนี้ สรางตารางเพื่อหาความสัมพันธ ลําดับที่ 1 2 3 4 5 ... n จํานวน …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………

3.ใหนักเรียนพิจารณาความสัมพันธระหวางรูปกับจํานวนรูปหัวใจที่กําหนดให แลวตอบคําถามตอไปนี้ รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปที่ 4 สรางตารางเพื่อหาคําตอบ ลําดับที่ 1 2 3 4 ... n จํานวน 4 7 10 13 ... … พิจารณา รูปที่ 1 มีรูปหัวใจจํานวน 4 รูป รูปที่ 2 มีรูปหัวใจจํานวน 4+3 = 4+(3×1) = 7 รูป รูปที่ 3 มีรูปหัวใจจํานวน 4+3+3 = 4+(3×2) = 10 รูป รูปที่ 4 มีรูปหัวใจจํานวน 4+(3+3+3) = 4+(3×3) = 13 รูป รูปที่ 5 มีรูปหัวใจจํานวน 4+...................................................รูป รูปที่ n มีรูปหัวใจจํานวน .......................................................รูป รูปที่ 50 มีรูปหัวใจจํานวน 4+...................................................รูป รูปที่ 100 มีรูปหัวใจจํานวน 4+...................................................รูป ดังนั้นถามีรูปหัวใจจํานวน 451 รูป จะไดรูปที่..........................................

ตัวอยางที่ 1 จากรูปอยากทราบวาถามีการวางดาวทั้งหมด 10 แถวจะมีดาวทั้งหมดกี่ดวง วิเคราะห ดาวมีทั้งหมด 5 แถว นับจากดานบนลงลาง ไดดังนี้ แถวที่ 1 มีดาว 1 ดวง เมื่อนับรวมกับแถวที่ 2 จะมีดาว 1+2 = 3 ดวง เมื่อนับรวมกับแถวที่ 3 จะมีดาว 1+2+3 = 6 ดวง เมื่อนับรวมกับแถวที่ 4 จะมีดาว 1+2+3+4= 10 ดวง เมื่อนับรวมกับแถวที่ 5 จะมีดาว 1+2+3+4+5 =15 ดวง ตอบ แถวที่ 10 จะมีดาว 10 ดวง เพราะฉะนั้นเมือนับดาวรวมถึงแถวที่ 10 จะได 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 ดวง

ตัวอยางที่ 2 8, 11, 14, 17,......,23 ใหนักเรียนหาจํานวนมาเติมในชองวาง วิเคราะห 8, 11, 14, 17,......,23 +3 +3 +3 จะเห็นไดวา ลําดับที่ 1 จะได 8= 8+ (3×(1-1)) ลําดับที่ 2 จะได 8+3=8+ (3×(2-1)) ลําดับที่ 3 จะได 8+3+3=8+ (3×(3-1)) ลําดับที่ 4 จะได 8+3+3+3=8+ (3×(4-1)) จะไดแบบรูปเปน 8+ (3×(n-1)) เมื่อ n คือลําดับที่ ดังนั้น ลําดับที่ 5 = 8+ (3×4) = 20 ตอบ 8, 11, 14, 17, 20, 23

1. พิจารณาจํานวน 20 , 40 , 60 , 80 และตอบคําถามตอไปนี้ 1.1 ความสัมพันธคือ............................................................ 1.2 ลําดับที่ n คือ……………………………………………………….. 1.3 จํานวนลําดับที่ 15 คือ.................................................. 1.4 จํานวนลําดับที่ 25 คือ................................................. 1.5 1800 คือ จํานวนลําดับที่............................................ 1.6 3420 คือ จํานวนลําดับที่............................................ 2. พิจารณาจํานวน -15, -13 , -11 , -9 และตอบคําถามตอไปนี้ 2.1 ความสัมพันธคือ............................................................ 2.2 ลําดับที่ n คือ……………………………………………………….. 2.3 จํานวนลําดับที่ 10 คือ.................................................. 2.4 จํานวนลําดับที่ 20 คือ................................................. 2.5 27 คือ จํานวนลําดับที่................................................ 2.6 49 คือ จํานวนลําดับที่................................................ 3. พิจารณาจํานวน 7 1, 7 2, 7 3, 7 4 และตอบคําถามตอไปนี้ 3.1 ความสัมพันธคือ............................................................ 3.2 ลําดับที่ n คือ……………………………………………………….. 3.3 จํานวนลําดับที่ 10 คือ.................................................. 3.4 จํานวนลําดับที่ 63 คือ................................................. 3.5 213 คือ จํานวนลําดับที่.............................................. 3.6 770 คือ จํานวนลําดับที่..............................................

คําสั่งจงเลือกคําตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคําตอบเดียว 1. รูปถัดไปอีกสองรูปของแบบรูปนี้คือข้อใด ก. ข. ค. ง. 2. รูปถัดไปอีกสองรูปของแบบรูปนี้คือข้อใด ก. ข. ค. ง. แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง รูปแบบและความสัมพันธ

3. แบบรูปในข้อใดต่างจากพวก ก. 24,26 ,28 ,30 ข. 1 ,3 ,5 ,7 ค. 15 , 13 , 11 , 9 ง. 2 ,4, 6,8 4. 52 , 56 , 60 , , 68 , , 76 จํานวนที่หายไปคือจํานวนใด ก. 62 , 66 ข. 64 , 70 ค. 62 ,72 ง. 64 , 72 5. แบบรูปต่อไปนี้มีความสัมพันธ์แบบใด 6 8 10 12 … ก. นับเพิ่ มทีละ 2 ข. นับเพิ่ มทีละ 3 ค. นับเพิ่ มทีละ 4 ง. นับเพิ่ มทีละ 5 6. แบบรูปต่อไปนี้มีความสัมพันธ์แบบใด 22 19 16 13 … ก. นับลดทีละ 2 ข. นับลดทีละ 3 ค. นับลดทีละ 4 ง. นับลดทีละ 5 7. จํานวนสองจํานวนถัดไปของแบบรูปนี้คือข้อใด 483 , 573 , 663 ก. 553 , 463 ข. 533 , 483 ค. 753 , 843 ง. 753 ,463 8.จํานวนในวงเล็บ [5] เป็ นคําตอบของสมการในข้อใด ก. m + 5= 11 ข. 2x – 2 = 8 ค. 4y -1= 16 ง. 20 –2n = 11

9. จํานวนในวงเล็บ [ ] ข้อใดที่ทําให้สมการเป็ นจริง ก. 14 5 m = [60] ข. 3m = -52 [7] ค. 12 – x = 6 [5] ง. x -9= 0 [9] ลําดับที่ 1 2 3 4 ... m จํานวน 6 9 12 15 … … 10.จากตาราง ลําดับที่ m คือจํานวนใด ก. 3m + 5 ข. 3m + 3 ค. 5m -2 ง. 2m + 4

1. รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปตอไปจะเปนรูปใด วิเคราะห รูปที่ 1 จะเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา รูปที่ 2 มีรูปสี่เหลี่ยมเล็กมาซอนในสี่เหลี่ยมรูปที่ 1 โดยที่มุมของสี่เหลี่ยมเล็กจะแบงครึ่งดาน สี่เหลี่ยมใหญ รูปที่ 3 มีรูปสี่เหลี่ยมเล็กมาซอนในสี่เหลี่ยมรูปที่ 2 โดยที่มุมของสี่เหลี่ยมเล็กจะแบงครึ่งดาน สี่เหลี่ยมใหญ ตอบ เฉลย

2. รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปตอไปจะเปนรูปใด วิเคราะหจากรูปทั้ง 3 รูปจะเห็นไดวาเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา ที่แบงเปน 4 แถว ดังนี้ รูปที่ 1 แถวที่ 1 มีเสนสีสม 6 เสน แถวที่ 2 มีวงกลมสีแดง 2 วง แถวที่ 3 มีเสนสีเขียว 2 เสน แถวที่ 4 เปนรูป สามเลี่ยม 4 รูป รูปที่ 2 แถวที่ 1 มีสามเลี่ยม 3 รูปแถวที่ 2 มีเสนสีสม 5 เสน ที่ 3 มีวงกลมสีแดง 3 วง แถว ที่ 4 เปนเสนสีเขียว 3 เสน จะเห็นวา จากรูปที่ 1 มารูปที่ 2 จะมีการเลื่อนแถวลงมา โดยที่รูป สามเหลี่ยมสีเขียวและเสนสีสมจะมีจํานวนลดลง 1 รูป ในขณะที่ วงกลมสีแดงและเสนสีเขียวจะมี จํานวนเพิ่มขึ้น 1 รูป รูปที่ 3 แถวที่ 1 มีเสนสีเขียว 4 เสน แถวที่ 2 มีสามเลี่ยม 2 รูปที่ 3 มีเสนสีสม 4 เสน แถวที่ 4 เปนวงกลมสีแดง 4 วง จะเห็นวา จากรูปที่ 2 มารูปที่ 3 จะมีการเลื่อนแถวลงมา โดยที่รูป สามเหลี่ยมสีเขียวและเสนสีสมจะมีจํานวนลดลง 1 รูป ในขณะที่ วงกลมสีแดงและเสนสีเขียวจะมี จํานวนเพิ่มขึ้น 1 รูป ตอบ

3. รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปตอไปจะเปนรูปใด วิเคราะห รูปที่ 1 มีเสนตรง 1 เสน รูปหกเหลี่ยม 4 รูป รูปที่ 2 มีเสนตรง 2 เสน รูปหาเหลี่ยม 3 รูป รูปที่ 3 มีเสนตรง 3 เสน รูปสี่เหลี่ยม 2 รูป จะเห็นไดวาเสนตรงมีปริมาณเพิ่มขึ้นตามลําดับของรูป สวนรูปดานบนจะลดจํานวนเหลียมและ จํานวนรูปลงเรื่อย ๆ ตามลําดับ ตอบ

4. รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปตอไปจะเปนรูปใด วิเคราะห รูปที่ 1 รูปสามเหลี่ยมอยูมุมบนซายมือ รูปที่ 2 รูปเหลี่ยมปรับจํานวนเหลี่ยมเพิ่มขึ้น (เปนรูปสี่เหลี่ยม) และเปลี่ยนตําแหนง ทวนเข็มนาฬิกา รูปที่ 3 รูปเหลี่ยมปรับจํานวนเหลี่ยมเพิ่มขึ้น (เปนรูปหาเหลี่ยม) และเปลี่ยนตําแหนง ทวนเข็มนาฬิกา จะเห็นไดวา จากรูปที่ 1 ไปจนถึงรูปที่ 3 มีการวนรูปทวนเข็มนาฬิกา โดยที่รูปเหลี่ยมจะมี จํานวนเหลี่ยมเพิ่มขึ้น ตอบ

5. รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปตอไปจะเปนรูปใด วิเคราะห สังเกตดูจากทั้ง 3 รูป จะมีสามเหลี่ยมซอนกัน 2 รูปและจะมีการแบงออกเปน 6 สวน และทั้งสามรูปจะประกอบไปดวย รูปหัวใจ 3 รูป สีชมพู สีมวง สีฟา และวงกลม 3 รูป สีสม สี เขียว และสีแดง โดยที่สามเหลี่ยมดานในรูปหัวใจทั้ง 3 รูปจะมีการหมุนทวนเข็มนาฬิกา สวน รูปวงกลมที่อยูดานนอกจะหมุนตามเข็มนาฬิกา ตอบ

1. จงเติมความสัมพันธของจํานวนตอไปนี้ 1.1 ) 2 , 4 , 6 , 8 ,………………10…………………………………………….. 1.2 ) 1 , 3 , 5 , 7,……………….11……………………………………………… 1.3 ) -11 , -10 , -9 , -8 ,………-7…………………………………………….. 1.4 ) 7 , 14 , 21 , 28 ,…………35…………………………………………… 1.5 ) -5 , 0 , 5 , 10 ,……………15…………………………………………… 2. จงเติมจํานวนอีก 3 จํานวน ตามรูปแบบของจํานวนที่กําหนดให 2.1) 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 ,……………1 , 4 , 1…………………………. 2.2) 1 , 2 , 2 , 4 , 3 ,…………………6 , 4 , 8…………………………. 2.3) 1 , 4 , 9 , 16 ,……………………25 , 36 , 49…………………… 2.4) 7 , 21 , 35 , 49 ,…………………63 , 77 , 91…………………… 2.5) 111 , 123 , 135 , 147,…………159 , 1611 , 1713 ……….. 2.6) 101 , 203 , 305 ,…………………407 , 509 , 6011………….. 2.7) 863 , 763 , 663 ,…………………563 , 463 , 363……………. 2.8) 589 , 579 , 569 ,…………………559 , 549 , 539…………….. 2.9) 566 , 554 , 542 ,…………………530 , 518 , 502…………….. 2.10) 224 , 236 , 248 ,……………….260 , 272 , 284 ……… เฉลย

1.ใหนักเรียนหาจํานวนที่ n ของจํานวนซึ่งเรียงกันตามลําดับดังนี้ 6, 11, 16, 21, 26 ,........ วิเคราะห 6, 11, 16, 21, 26 ,........ เพิ่มขึ้นทีละ +5 +5 +5 +5 แตเนื่องจากโจทยตองการหาคําตอบลําดับที่ n ซึ่งเปนการหาคําตอบที่ไมทราบลําดับที่แนนอน เรา จะใชตารางเขาชวยหาคําตอบ ดังนี้ สรางตารางเพื่อหาความสัมพันธ ลําดับที่ 1 2 3 4 5 ... n จํานวน 6 11 16 21 26 ... ... จะเห็นไดวาในแตละลําดับจํานวนมีคาเพิ่มขึ้นที่ละ 5 ดังนี้ ลําดับที่ 1 = 6 ลําดับที่ 2 = 6+5=11 ลําดับที่ 3 = 6+5+5=16 ลําดับที่ 4 = 6+5+5+5=21 ลําดับที่ 5 = 6+5+5+5+5=26 เฉลย

จะไดวา ความสัมพันธระหวางลําดับที่กับจํานวนมีความสัมพันธกันเปนดังนี้ ลําดับที่ 1 = 6 ลําดับที่ 2 = 6+5 = 6+(5 × 1) = 6+(5 × (2-1)) =11 ลําดับที่ 3 = 6+5+5 = 6+(5 × 2) = 6+(5 × (3-1)) = 16 ลําดับที่ 4 = 6+5+5+5 = 6+(5 × 3) = 6+(5 × (4-1)) = 21 ลําดับที่ 5 = 6+5+5+5+5 = 6+(5 × 4) = 6+(5 × (5-1)) = 26 ดังนั้นจะไดลําดับที่ n ดังนี้ ลําดับที่ n = 6+(5 × (n-1)) = 6+(5n-5) = 6+ 5n-5 = 5n+1

2.ใหนักเรียนหาจํานวนที่ n ของจํานวนซึ่งเรียงกันตามลําดับดังนี้ 25, 22, 19, 16, 13 ,........ วิเคราะห 25, 22, 19, 16, 13 ,........ ลดลงทีละ -3 -3 -3 -3 แตเนื่องจากโจทยตองการหาคําตอบลําดับที่ n ซึ่งเปนการหาคําตอบที่ไมทราบลําดับที่แนนอน เรา จะใชตารางเขาชวยหาคําตอบ ดังนี้ สรางตารางเพื่อหาความสัมพันธ ลําดับที่ 1 2 3 4 5 ... n จํานวน 25 22 19 16 13 ... ... จะเห็นไดวาในแตละลําดับจํานวนมีคาลดลงทีละ 3 ดังนี้ ลําดับที่ 1 = 25 ลําดับที่ 2 = 25-3=22 ลําดับที่ 3 = 25-3-3=19 ลําดับที่ 4 =25-3-3-3=16 ลําดับที่ 5 = 25-3-3-3-3=13

จะไดวา ความสัมพันธระหวางลําดับที่กับจํานวนมีความสัมพันธกันเปนดังนี้ ลําดับที่ 1 = 25 ลําดับที่ 2 = 25-3 = 25-(3 × 1) = 25-(3 × (2-1)) =22 ลําดับที่ 3 = 25-3-3 = 25-(3 × 2) = 25-(3 × (3-1)) = 19 ลําดับที่ 4 =25-3-3-3 = 25-(3 × 3) = 25-(3 × (4-1)) = 16 ลําดับที่ 5 =25-3-3-3-3 = 25-(3 × 4) = 25-(3 × (5-1)) = 13 ดังนั้นจะไดลําดับที่ n ดังนี้ ลําดับที่ n = 25-(3 × (n-1)) = 25-(3n-3) = 25- 3n+3 = -3n+28

ใหนักเรียนพิจารณาความสัมพันธระหวางรูปกับจํานวนรูปหัวใจที่กําหนดให แลวตอบคําถามตอไปนี้ รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปที่ 4 สรางตารางเพื่อหาคําตอบ ลําดับที่ 1 2 3 4 ... n จํานวน 4 7 10 13 ... … พิจารณา รูปที่ 1 มีรูปหัวใจจํานวน 4 รูป รูปที่ 2 มีรูปหัวใจจํานวน 4+3 = 4+(3×1) = 7 รูป รูปที่ 3 มีรูปหัวใจจํานวน 4+3+3 = 4+(3×2) = 10 รูป รูปที่ 4 มีรูปหัวใจจํานวน 4+(3+3+3) = 4+(3×3) = 13 รูป รูปที่ 5 มีรูปหัวใจจํานวน 4+(3+3+3+3) = 4+(3×4) = 16 รูป รูปที่n มีรูปหัวใจจํานวน 4+(3×(n-1)) =4+(3n-3)= 3n+1 รูป รูปที่ 50 มีรูปหัวใจจํานวน 4+(3×(50-1)) =4+(3*49) =151 รูป รูปที่ 100 มีรูปหัวใจจํานวน 4+(3×(100-1)) =4+(3*99) =301รูป ดังนั้นถามีรูปหัวใจจํานวน 451 รูป จะไดรูปที่...................150................. เฉลย

1. พิจารณาจํานวน 20 , 40 , 60 , 80 และตอบคําถามตอไปนี้ 1.1 ความสัมพันธคือ................เพิ่มขึ้นทีละ 20..................... 1.2 ลําดับที่ n คือ…………………20+(20×(n-1))……………….. 1.3 จํานวนลําดับที่ 15 คือ............300................................. 1.4 จํานวนลําดับที่ 25 คือ...........500................................ 1.5 1800 คือ จํานวนลําดับที่.........90............................... 1.6 3420 คือ จํานวนลําดับที่..........171.............................. 2. พิจารณาจํานวน 15, 13 , 11 , 9 และตอบคําถามตอไปนี้ 2.1ความสัมพันธคือ....................ลดลงทีละ 2..................... 2.2 ลําดับที่ n คือ…………………...-2n+17…………………….... 2.3 จํานวนลําดับที่ 10 คือ...............-3................................ 2.4 จํานวนลําดับที่ 40 คือ.................-63............................ 2.5 -27 คือ จํานวนลําดับที่...............22............................ 2.6 -81 คือ จํานวนลําดับที่................49........................... 3. พิจารณาจํานวน 7 1, 7 2, 7 3, 7 4 และตอบคําถามตอไปนี้ 3.1ความสัมพันธคือ.......................เพิ่มขึ้นทีละ 7 1................. 3.2 ลําดับที่ n คือ………………………………… n 7 1 …………………… 3.3 จํานวนลําดับที่ 10 คือ........................ 7 10.......................... 3.4 จํานวนลําดับที่ 63 คือ........................9............................ 3.5 31 คือ จํานวนลําดับที่.......................217........................ 3.6 110 คือ จํานวนลําดับที่.......................770...................... เฉลย

คําสั่งจงเลือกคําตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคําตอบเดียว 1. รูปถัดไปอีกสองรูปของแบบรูปนี้คือข้อใด ก ข ค. ง. 2. รูปถัดไปอีกสองรูปของแบบรูปนี้คือข้อใด ก. ข. ค. ง. เฉลยแบบทดสอบกอน-หลังเรียน เรื่อง แบบรูปและความสัมพันธ

3. แบบรูปในข้อใดต่างจากพวก ก. 24, 26 , 28 , 30 ข. 1 , 3 , 5 , 7 ค. 15 , 13 , 11 , 9 ง. 2 , 4 , 6 , 8 4. 52 ,56 , 60 , , 68 , , 76 จํานวนที่หายไปคือจํานวนใด ก. 62 , 66 ข. 64 , 70 ค. 62 ,72 ง. 64 , 72 5. แบบรูปต่อไปนี้มีความสัมพันธ์แบบใด 6 8 10 12 … ก. นับเพิ่ มทีละ 2 ข. นับเพิ่ มทีละ 3 ค. นับเพิ่ มทีละ 4 ง. นับเพิ่ มทีละ 5 6. แบบรูปต่อไปนี้มีความสัมพันธ์แบบใด 22 19 16 13 … ก. นับลดทีละ 2 ข. นับลดทีละ 3 ค. นับลดทีละ 4 ง. นับลดทีละ 5 7. จํานวนสองจํานวนถัดไปของแบบรูปนี้คือข้อใด 483 , 573 , 663 ก. 553 , 463 ข. 533 , 483 ค. 753 , 843 ง. 753 , 463 8. จํานวนในวงเล็บ [5] เป็ นคําตอบของสมการในข้อใด ก. m + 5 = 11 ข. 2x – 2 = 8 ค. 4y -1 = 16 ง. 20 –2n = 11

9. จํานวนในวงเล็บ [ ] ข้อใดที่ทําให้สมการเป็ นจริง ก. 14 5 m = [60] ข. 3m = -52 [7] ค. 12 – x= 6 [5] ง. x -9= 0 [9] ลําดับที่ 1 2 3 4 ... m จํานวน 6 9 12 15 … … 10.จากตาราง ลําดับที่ m คือจํานวนใด ก. 3m + 5 ข. 3m + 3 ค. 5m -2 ง. 2m + 4

กมล เอกไทยเจริญ.(มปป).คูมือเตรียมสอบ คณิตศาสตรม.1 เลมรวม ค 101 – ค 102 .กรุงเทพมหานคร : ไฮเอ็ด พับลิชชิ่ง. ธิดารัตน วัชระไพศาล.(2555).แบบทดสอบรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ป.6 เลม 2. กรุงเทพมหานคร : เดอะบุคส. วาสนา ทองการุณ.(2553).คณิตศาสตร ม.1 รายวิชาพื้นฐาน เลม 2.กรุงเทพมหานคร : เดอะบุคส. ศุภกฤษ เจนชัยจิตรวนิช.(2554).หนังสือคูมือเสริมรายวิชาคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.1 เลม 2. กรุงเทพมหานคร : พีบีซี. สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี,สถาบัน.(2552).หนังสือเรียนรายวิชา พื้นฐานคณิตศาสตร เลมที่ 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 1.กรุงเทพมหานคร : โรง พิมพคุรุสภาลาดพราว. สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี,สถาบัน.(2545).คูมือครูวิชาคณิตศาสตร รายวิชา ค011 ชั้นมัธยมศึกษาตอนตน หลักสูตรมัธยมศึกษาตอนตน พุทธศักราช 2521 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2533).พิมพครั้งที่ 5. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว. ศึกษาธิการ,กระทรวง.(2525).หนังสือประกอบการสอนวิชาคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษา ปที่หนึ่ง.กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว.