การแสดงอย อย างพอเพ ยง ม.2 1 กล ม2 เซต b

1. 2554) หลักสูตรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 สํานักงานสงเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอัธยาศัย สํานักงานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ กระทรวงศึกษาธิการ
2. พ.ศ. 2554 ลิขสิทธิ์เปนของ สํานักงาน กศน. สํานักงานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ เอกสารทางวิชาการลําดับที่ 8/2555
3.
4. 5 โครงสรางวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย 6 บทที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ 7 บทที่ 2 เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ 21 บทที่ 3 เซต 35 บทที่ 4 การใหเหตุผล 59 บทที่ 5 อัตราสวนตรีโกณมิติและการนําไปใช 71 บทที่6 การใชเครื่องมือและการออกแบบผลิตภัณฑ 95 บทที่ 7 สถิติเบื้องตน 120 บทที่ 8 ความนาจะเปน 151 บทที่ 9 การใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในงานอาชีพ 170
5. (พค 31001) ระดับมัธยมศึกษา ตอนปลาย เปนหนังสือเรียนที่จัดทําขึ้น สําหรับผูเรียนที่เปนนักศึกษานอกระบบ ในการศึกษาหนังสือเรียนสาระความรูพื้นฐาน รายวิชา คณิตศาสตร ผูเรียนควร ปฏิบัติดังนี้ 1. ศึกษาโครงสรางรายวิชาใหเขาใจในหัวขอสาระสําคัญ ผลการเรียนรูที่คาดหวังและ ขอบขายเนื้อหา 2. ศึกษารายละเอียดเนื้อหาของแตละบทอยางละเอียด และทํากิจกรรมตามที่กําหนด แลวตรวจสอบกับแนวตอบกิจกรรมที่กําหนด ถาผูเรียนตอบผิดควรกลับไปศึกษา และทําความเขาใจในเนื้อหานั้นใหมใหเขาใจกอนที่จะศึกษาเรื่องตอไป 3. ปฏิบัติกิจกรรมทายเรื่องของแตละเรื่อง เพื่อเปนการสรุปความรูความเขาใจของ เนื้อหาในเรื่องนั้นๆอีกครั้ง และการปฏิบัติกิจกรรมของแตละเนื้อหาในแตละเรื่อง ผูเรียนสามารถนําไปตรวจสอบกับครูและเพื่อนๆที่รวมเรียนในรายวิชาและระดับ เดียวกันได แบบเรียนเลมนี้มี 9 บท คือ บทที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ บทที่ 2 เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ บทที่ 3 เซต บทที่ 4 การใหเหตุผล บทที่ 5 อัตราสวนตรีโกนมิติและการนําไปใช บทที่6 การใชเครื่องมือและการออกแบบผลิตภัณฑ บทที่ 7 สถิติเบื้องตน บทที่ 8 ความนาจะเปน บทที่ 9 การใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในงานอาชีพ
6. เรขาคณิต สถิติ และความนาจะเปนเบื้องตน ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. ระบุหรือยกตัวอยางเกี่ยวกับจํานวนและตัวเลข เศษสวน ทศนิยมและรอยละ การวัด เรขาคณิต สถิติ และความนาจะเปนเบื้องตนได 2. สามารถคิดคํานวณและแกโจทยปญหาเกี่ยวกับจํานวนนับเศษสวน ทศนิยม รอยละ การวัด เรขาคณิตได ขอบขายเนื้อหา บทที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ บทที่ 2 เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ บทที่ 3 เซต บทที่ 4 การใหเหตุผล บทที่ 5 อัตราสวนตรีโกนมิติและการนําไปใช บทที่6 การใชเครื่องมือและการออกแบบผลิตภัณฑ บทที่ 7 สถิติเบื้องตน บทที่ 8 ความนาจะเปน บทที่ 9 การใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในงานอาชีพ สื่อการเรียนรู 1. ใบงาน 2. หนังสือเรียน
7. จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ และ จํานวนเต็ม 2. สมบัติของจํานวนจริงที่เกี่ยวกับการบวกและการคูณ ประกอบไปดวยสมบัติปด สมบัติการเปลี่ยนกลุม สมบัติการสลับที่ การมีอินเวอรส การมีเอกลักษณและสมบัติ การแจกแจง 3. สมบัติการเทากันจะใชเครื่องหมาย “=” แทนการมีคาเทากัน 4. สมบัติการไมเทากันจะใชเครื่องหมาย “ ≠ , < , >, ≤ , ≥” 5. คาสัมบูรณใชสัญลักษณ “ | |” แทนคาสัมบูรณซึ่ง x ถา x >0 =x 0 ถา x = 0 - x ถา x < 0 ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. แสดงความสัมพันธของจํานวนตาง ๆ ในระบบจํานวนจริงได 2. อธิบายความหมายและหาผลลัพธที่เกิดจากการบวก การลบ การคูณ การหารจํานวน จริงได 3. อธิบายสมบัติของจํานวนจริงที่เกี่ยวกับการบวก การคูณ การเทากัน การไมเทากัน และนําไปใชได 4. อธิบายเกี่ยวกับคาสัมบูรณของจํานวนจริงและหาคาสมบูรณของจํานวนจริงได ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 ความสัมพันธของระบบจํานวนจริง เรื่องที่ 2 สมบัติของการบวก การลบ การคูณ และการหารจํานวนจริง เรื่องที่ 3 สมบัติการไมเทากัน เรื่องที่ 4 คาสัมบูรณ
8. โครงสรางของจํานวนจริง จํานวนจริง ( Real number ) ประกอบดวยจํานวนตรรกยะและจํานวนอตรรกยะ 1. จํานวนตรรกยะ ( Rational number ) ประกอบดวย จํานวนเต็ม ทศนิยมซ้ํา และเศษสวน 1. จํานวนเต็ม ซึ่งแบงเปน 3 ชนิด คือ 1.1 จํานวนเต็มบวก (I+ ) หรือจํานวนนับ (N) ∴ I+ = N = {1, 2, 3, …} 1.2 จํานวนเต็มศูนย มีจํานวนเดียว คือ {0} 1.3 จํานวนเต็มลบ (I- ) ∴ I- = {-1, -2, -3, …} 2. เศษสวน เชน 4 3 , 4 3 3 , - 7 5 เปนตน 3. ทศนิยมซ้ํา เชน 6.0  , 21.0  , 235.0  2. จํานวนอตรรกยะ ( irrational number ) คือจํานวนที่ไมใชจํานวนตรรกยะ เขียนไดในรูป ทศนิยมไมซ้ํา เชน 2 มีคาเทากับ 1.414213… 3 มีคาเทากับ 1.7320508… π มีคาเทากับ 3.14159265… 0.1010010001… มีคาประมาณ 1.101 จํานวนจริง จํานวนตรรกยะจํานวนอตรรกยะ จํานวนที่เขียนใน รูปของกรณฑ หรือเรียกวา รากหรือรูต ทศนิยม ไมรูจบไมซ้ํา จํานวนเต็ม ทศนิยมซ้ํา เศษสวน จํานวนนับหรือ จํานวนเต็มบวก ศูนย จํานวน เต็มลบ
9. จํานวนตรรกยะ หรือ จํานวนอตรรกยะ ขอ จํานวนจริง จํานวนนับ จํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ 1) 1,0,2, 3 2 5, 2 7 ,9 −− 2) 4 5 ,12,3, 3 7 7,5 − 3) 2.01,0.666...,-13 , 4) 2.3030030003..., 5) 5.7, 2 2 , 3 6 , 3 1 , −−−π 6) π 2 1 ,12,3,9, 5 12 ,17,25 −− 2. จงพิจารณาวาขอความตอไปนี้เปนจริงหรือเท็จ 1) 0.001001001001…เปนจํานวนตรรกยะ 2) 0.110110110110… เปนจํานวนตรรกยะ 3) 0.767667666766667… เปนจํานวนตรรกยะ 4) 0.59999…. เปนจํานวนตรรกยะ 5) 0 เปนจํานวนจริง 6) จํานวนที่เขียนไดในรูปทศนิยมซ้ําไมเปนจํานวนตรรกยะ
10. การคูณ และการหารจํานวนจริง สมบัติของจํานวนจริง คือ การนําจํานวนจริงใด ๆ มากระทําตอกันในลักษณะ เชน การบวก การลบ การคูณ การหาร หรือกระทําดวยลักษณะพิเศษที่กําหนดขึ้น แลวมีผลลัพธที่ เกิดขึ้นในลักษณะหรือทํานองเดียวกัน สมบัติที่ใชในการบวก การลบ การคูณ และการหาร มีดังนี้ 2.1 สมบัติการเทากันของจํานวนจริง กําหนด a, b, c เปนจํานวนจริงใดๆ สมบัติการสะทอน a = a สมบัติการสมมาตร ถา a = b แลว b = a สมบัติการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากันทั้งสองขาง ถา a = b แลว a + c = b + c สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากันทั้งสองขาง ถา a = b แลว bcac = 2.2 สมบัติการบวกและการคูณในระบบจํานวนจริง เมื่อกําหนดให a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ 2.2.1 สมบัติการบวก สมบัติปด ถาa ∈R และ b ∈R แลว ba + ∈ R สมบัติการสลับที่ ba + = ab + สมบัติการเปลี่ยนกลุม )( cba = cba )( สมบัติการมีเอกลักษณการบวก คือ 0 aaa =+=+ 00 สมบัติการมีอินเวอรสการบวก a มีอินเวอรสการบวก คือ a− และ a− มีอินเวอรสการบวก คือ a จะได 0)()( =+−=−+ aaaa นั่นคือจํานวนจริงa จะมี a− เปน อินเวอรสของการบวก 2.2.2 สมบัติการคูณ สมบัติปด ถาa ∈R และ b ∈R แลว ab ∈ R สมบัติการสลับที่ ab = ba สมบัติการเปลี่ยนกลุม )(bca = cab)( สมบัติการมีเอกลักษณการบวก คือ 1 1. a = a .1 = a สมบัติการมีอินเวอรสการคูณ (ยกเวน 0 เพราะ 0 1 ไมมีความหมาย) a มีอินเวอรสการคูณ คือ a 1 และ a 1 มีอินเวอรสการคูณ คือ a
11. 0≠a นั่นคือ จํานวนจริงa จะมี a 1 เปน อินเวอรสการคูณ สมบัติการแจกแจง acabcba +=+ )( cabaacb +=+ )( จากสมบัติของจํานวนจริงสามารถใชพิสูจนทฤษฎีบทตอไปนี้ได ทฤษฎีบทที่ 1 กฎการตัดออกสําหรับการบวก เมื่อ a, b, c เปนจํานวนจริงใดๆ ถา a + c = b + c แลว a = b ถา a + b = a + c แลว b = c ทฤษฎีบทที่ 2 กฎการตัดออกสําหรับการคูณ เมื่อ a, b, c เปนจํานวนจริงใดๆ ถา ac = bc และ c ≠ 0 แลว a = b ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อ a เปนจํานวนจริงใดๆ a · 0 = 0 0 · a = 0 ทฤษฎีบทที่ 4 เมื่อ a เปนจํานวนจริงใดๆ (-1)a = -a a(-1) = -a ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a, b เปนจํานวนจริงใดๆ ถา ab = 0 แลว a = 0 หรือ b = 0 ทฤษฎีบทที่ 6 เมื่อ a เปนจํานวนจริงใดๆ a(-b) = -ab (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab
12. b เปนจํานวนจริงใดๆ การลบจํานวนจริง a - b = a + (-b) นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอรสการบวกของ b บทนิยาม เมื่อ a, b เปนจํานวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0 • การหารจํานวนจริง b a = a( 1− b ) นั่นคือ b a คือ ผลคูณของ a กับอินเวอรสการคูณของ b
13. ถา a = b แลว a +5 = ………………………………………………………..…………… 2. ถา a = b แลว -3a = …………………………………………………………………..… 3. ถา a + 4 = b + 4 แลว a =……………………………………………………….………… 4. ถา a +1 = b +2 และ b +2 = c -5 แลว a +1………………………………….…..……… 5. ถา ( )22 112 +=++ xxx แลว ( ) =+ 2 1x .…………………………………………… 6. ถา yx 2 3 = แลว 2x = ………………………………………………………….………… 7. ถา xx 212 =+ แลว ( )2 1−x = ……………………………………………….….……… 8. ถา baab += แลว ( )ab 2 1 = ……………………………………………….…………. 2. กําหนดให a , b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ จงบอกวาขอความในแตละขอตอไปนี้เปนจริงตาม สมบัติใด 1) 3 + 5 = 5 + 3 2) (1+2)+3 = 1+(2+3) 3) (-9)+5 = 5 +(-9) 4) (8 X 9) เปนจํานวนจริง 5) 5 X 3 = 15 = 3 X 5 6) 2(a+b) = 2a +2b 7) (a + b) + c = a+( b + c) 8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a 9) 4 X (5 + 6) = (4 X 5) + (4 X 6) 10) c(a +b) = ac +bc 3 . เซตที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้ มีหรือไมมีสมบัติปดของการบวกหรือสมบัติปดของการคูณ 1) { 1 , 3 , 5 } 2) { 0 } 3) เซตของจํานวนจริง 4) เซตของจํานวนตรรกยะ 5) เซตของจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว
14. 8 2) อินเวอรสการบวกของ - 5 3) อินเวอรสการบวกของ - 0.567 4) อินเวอรสการคูณของ 23 − 5) อินเวอรสการคูณของ 35 1 −
15. > , < , ≥ , ≤ , ≠ แทนการไมเทากัน เรียกการไมเทากัน วา “อสมการ” (Inequalities) บทนิยาม a < b หมายถึง a นอยกวา b a > b หมายถึง a มากกวา b กําหนดให a, b, c เปนจํานวนจริงใดๆ 1. สมบัติการถายทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากัน ถา a > b แลว a + c > b+ c 3. จํานวนจริงบวกและจํานวนจริงลบ a เปนจํานวนจริงบวก ก็ตอเมื่อ a > 0 a เปนจํานวนจริงลบ ก็ตอเมื่อ a < 0 4. สมบัติการคูณดวยจํานวนเทากันที่ไมเทากับศูนย กรณีที่ 1 ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc กรณีที่ 2 ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 5. สมบัติการตัดออกสําหรับการบวก ถา a + c > b + c แลว a > b 6. สมบัติการตัดออกสําหรับการคูณ กรณีที่ 1 ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b กรณีที่ 2 ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b บทนิยาม a ≤ b หมายถึง a นอยกวาหรือเทากับ b a ≥ b หมายถึง a มากกวาหรือเทากับ b a < b < c หมายถึง a < b และ b < c a ≤ b ≤ c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c
16. เซตของจํานวนจริงที่เปนสวนใดสวนหนึ่งของเสนจํานวน 3.1 ชวงของจํานวนจริง กําหนดให a, b เปนจํานวนจริง และ a < b 1. ชวงเปด (a, b) (a, b) = { x | a < x < b } 2. ชวงปด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } 3. ชวงครึ่งเปด (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b } 4. ชวงครึ่งเปด [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b} 5. ชวง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a} 6. ชวง [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a} 7. ชวง (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a} 8. ชวง (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a}
17. (เมื่อตัวแปรเปนจํานวนจริงใดๆ) 1. ถา x < 3 แลว 2x <6 ……………………………………………………………….. 2. ถา y>7 แลว -2y < 14 ……………………………………………………………….. 3. ถา x+1 > 6 แลว x+2 > 7 ………………………………………………………….. 4. ถา y+3 < 5 แลว y< 2 ……………………………………………………………… 5. ถา x< 7 และ 7< y แลว x<y ………………………………………………………. 6. ถา a > 0 แลว a+1 > 0 +1 …………………………………………………………. 7. ถา b< 0 แลว b + (-2) < 0+(-2) …………………………………………………… 8. ถา c> -2 แลว (-1)c < (-1)(-2) ……………………………………………………. 2. จงใชเสนจํานวนแสดงลักษณะของชวงของจํานวนจริงตอไปนี้ 1) (2,7) 2) [3,6] 3) [-1,5) 4) (-1,4]
18. (0,8) 8) [-5,4)
19. ระยะหางจากจุดศูนยบนเสนจํานวน พิจารณาคา สัมบูรณของ 4 และ -4 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 4 อยูหางจาก 0 4 หนวย คาสัมบูรณของ 4 คือ 4 - 4 อยูหางจาก 0 4 หนวย คาสัมบูรณของ -4 คือ 4 นั่นคือ คาสัมบูรณของจํานวนจริงใดๆ ตองมีคามากกวาหรือเทากับศูนยเสมอ สัญลักษณแทนคาสัมบูรณคือ | | เชน คาสัมบูรณของ 4 คือ |4| คาสัมบูรณของ – 4 คือ |-4| บทนิยาม กําหนดให a เปนจํานวนจริง 4.1 สมบัติของคาสัมบูรณ 1. | x | = | -x | 2. | xy | = | x||y | 3. y x = y x 4. | x - y | = | y - x | 5. | x |2 = x2 6. | x + y | ≤ | x | +| y | 6.1 ถา xy > 0 แลว | x + y | = | x | + | y | 6.2 ถา xy < 0 แลว | x + y | < | x | + | y | 7. เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวก | x | < a หมายถึง -a < x < a | x | ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a 8. เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวก | x | > a หมายถึง x < -a หรือ x > a | x | ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a
20. x | ≥ 2 เซตคําตอบของอสมการ คือ ........................................................................................................... -3 < X < 3 เซตคําตอบของอสมการ คือ.............................................................................................................. เซตคําตอบของอสมการ คือ............................................................................................................. -x ≤ -3 -2 หรือ -x ≥ -3 -2 -x ≤-5 หรือ –x ≥ 1 -x ≥ 5 หรือ x ≤ -1 เซตคําตอบของอสมการ คือ.............................................................................................................
21. a ยกกําลัง n โดยมี a เปนฐาน และ n เปนเลขชี้กําลัง 2. อานวา กรณฑที่ n ของ a หรืออานวา รากที่ n ของ a 3. จํานวนจริงที่อยูในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะจะมีความสัมพันธกับ จํานวนจริงที่อยูในรูปของกรณฑหรือ ราก ( root ) ตามความสัมพันธดังตอไปนี้ และ 4. การบวก ลบ คูณ หาร จํานวนที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะโดยใชบทนิยามการบวก ลบ คูณ หาร เลขยกกําลังของจํานวนเต็ม ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. อธิบายความหมายและบอกความแตกตางของจํานวนตรรกยะและอตรรกยะได 2. อธิบายเกี่ยวกับจํานวนจริงที่อยูในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ และ จํานวนจริงในรูปกรณฑได 3. อธิบายความหมายและหาผลลัพธที่เกิดจากการบวก การลบ การคูณ การหาร จํานวนจริงที่ อยูในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ และจํานวนจริงในรูปกรณฑได ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 จํานวนตรรกยะและอตรรกยะ เรื่องที่ 2 จํานวนจริงในรูปกรณฑ เรื่องที่ 3 การบวก การลบ การคูณ การหาร จํานวนที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะและ จํานวนจริงในรูปกรณฑ
22. และจํานวนอตรรกยะ 1.1 จํานวนตรรกยะ หมายถึง จํานวนที่เขียนแทนในรูปเศษสวน b a เมื่อ a และ b เปนจํานวนเต็ม และ 0≠b ตัวอยาง จํานวนที่เปนจํานวนตรรกยะ เชน จํานวนเต็ม , เศษสวน , ทศนิยมซ้ํา เปนตน 1.2 จํานวนอตรรกยะ หมายถึง จํานวนที่ไมสามารถเขียนใหอยูในรูปของเศษสวน b a เมื่อ a และ b เปนจํานวนเต็มและ b≠ 0 จํานวนอตรรกยะประกอบดวยจํานวนตอไปนี้ เปนทศนิยมแบบไมซ้ํา เชน 1.235478936... 5.223322233322223333... ความแตกตางระหวางจํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะ จํานวน ความแตกตาง จํานวนเต็ม เศษสวน ทศนิยม คาทางพีชคณิต ตรรกยะ มี มี - ทศนิยมรูจบ - ทศนิยมรูจบแบบซ้ํา - คาทางพีชคณิตที่หาคาได ลงตัว หรือไดคําตอบเปน เศษสวน อตรรกยะ ไมมี ไมมี - ทศนิยมไมรูจบ - คาทางพีชคณิตที่มีคา เฉพาะ เชน e,,5,3,2 π เปนตน 1.3 เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม นิยามเลขยกกําลัง ×an หมายถึง a x a × a ×a…………….. × a n ตัว เมื่อ a เปนจํานวนใด ๆ และ n เปนจํานวนเต็มบวก เรียก an วาเลขยกกําลัง ที่มี a เปน ฐาน และ n เปนเลขชี้กําลัง เชน 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 ถา ba, เปนจํานวนจริงใด m และ n เปนจํานวนเต็มบวก จะไดกฎของการยกกําลัง ดังนี้ กฎขอที่ 1 nm ba ⋅ = nm a + กฎขอที่ 2 n ab)( = nn ba กฎขอที่ 3 ( )nm a = mn a
23. 0≠x n m b a = 1 ถา nm = = nm a − ถา nm > = mn a − 1 ถา mn > กฎขอที่ 5 เมื่อ 0≠y n y x       = n n y x นิยาม 1=a เมื่อ a เปนจํานวนจริงใด ๆ ที่ไมเทากับศูนย นิยาม n n a a 1 =− เมื่อ a เปนจํานวนจริงใด ๆ ที่ไมเทากับศูนยและ n เปนจํานวนเต็มบวก
24. ฐานคือ.....................................เลขชี้กําลังคือ................................. 2) ( ) 52.1 − ฐานคือ.................................เลขชี้กําลังคือ................................. 3) ( )05− ฐานคือ.................................เลขชี้กําลังคือ................................... 4) 3 2 1       ฐานคือ.....................................เลขชี้กําลังคือ................................. 2. จงหาคาของเลขยกกําลังตอไปนี้ 1) ( )5 4− = ………………………. 2) 4 5 1       = ………………………..…. 3) ( )3 2.1 = …………………………. 4) ( )6 3 = …………………………. 3. จงทําใหอยูในรูปอยางงายและเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม 1) ( )42 a = …………………………. 2) ( ) 43 5      = …………………………. 3) 54 3 2               = …………………………. 4) ( )( )35 1.1 = …………………………. 5) ( ) 52 −− x = ………………………….
25. รากที่ n ของจํานวนจริง a ( ซึ่งเขียนแทนดวยสัญลักษณ a ) และมีบทนิยามดังนี้ ตัวอยาง n ba = ก็ตอเมื่อ ban = 3 82 = ก็ตอเมื่อ 823 = 5 2433 −=− ก็ตอเมื่อ ( ) 2433 5 −=− ลองทําดู 9 = 3 3× 3 เปนรากที่ 2 ของ 9 3 8 = ………….……………………….. 4 81 = …………………………………… 5 32− = ……………………………………. สมบัติของรากที่ n ของจํานวนจริง เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 1 1. ( ) nn aa 1 = 2.) n n a = | | a a a      3) n ab = nn ba • 4). n b a = n n b a , 0≠b นิยาม ให n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 1 a และ b เปนจํานวนจริง a เปนรากที่ n ของ b ก็ตอเมื่อ ban = เมื่อ 0≥a เมื่อ 0<a และ n เปนจํานวนคี่ เมื่อ 0<a และ n เปนจํานวนคู
26. 16 และ (-2)4 = 16 2 เปนรากที่ 4 ของ 16 เพราะ 24 = 16 -2 เปนรากที่ 4 ของ 16 เพราะ (-2)4 = 16 ∴รากที่ 4 ของ 16 คือ 2 และ -2 ตัวอยาง 2 23 = 8 2 เปนรากที่ 3 ของ 8 เพราะ 23 = 8 แต -2 ไมใชเปนรากที่ 3 ของ 8 เพราะ (-2)3 = -8 ∴รากที่ 3 ของ 8 คือ 2 หมายเหตุ 1. เครื่องหมาย “ ” เรียกวา เครื่องหมาย กรณฑ เขียน “n” วาเปนอันดับที่ 2. เมื่อ a เปนจํานวนจริงใด ๆ จํานวนจริงที่เขียนในรูป n a เรียก กรณฑ เชน 33 64,25,5 − นิยาม ให a เปนจํานวนจริง และ n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 1 จะเรียก n a วา รากที่ n ของ a หรือ กรณฑอันดับที่ n ของ a โดยที่ 1. ถา n เปนจํานวนคูแลว a ตอง 0≥ 2. ถา n เปนจํานวนคี่แลว a เปนจํานวนจริง
27. n ของจํานวนจริงตอไปนี้ 1) 25 = ………………………. 2) 64 = ………………………. 3) 5 243− = ………………………. 4) 3 125− = ………………………. 5) 3 8 27 = ………………………. 6) 4 16 = ………………………. 7) 3 125 = ………………………. 8) 64− = ………………………. 9) 3 8− = ………………………. 10) 4 16− = ………………………. 2. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปอยางงาย โดยใชสมบัติของ รากที่ n 1) 2 5 = ……………………..………… 2) 3 3 2 = ………………….……….. 3) 33 ( 2)− = ……………………………. 4) 55 ( 2)− =……………….……….. 5) 2 ( 3)− = ………………..…………… 5) 44 ( 2)− =……………………….. 6) 200 = …………………………… 7) 75 = …………………..………. 8) 3 240 = …………………………… 9) 45 = …………………..………. 10) 5 15 = …………….……………. 11) 3 3 81 32⋅ = ……………………. 12) 9 4 = 9 4 = ……………………. 13) 3 8 5 = …………………………..
28. การลบ การคูณ การหาร จํานวนที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะและ จํานวนจริงในรูปกรณฑ 3.1 การบวก และการลบจํานวนที่อยูในรูปกรณฑ สมบัติของการบวกจํานวนจริง ขอหนึ่งที่สําคัญและมีการใชมาก คือ สมบัติการแจกแจงในการ บวก พจนคลาย ดังตัวอยาง 1) ( ) xxxx 85353 =+=+ สมบัติของการแจกแจง 2) ( ) aaaa 53838 =−=− ดวยวิธีการเชนนี้เราสามารถนํามาใชในเรื่องการบวก การลบ ของจํานวนที่อยูในรูปกรณฑที่ เรียกวา “พจนคลาย” ซึ่งเปนกรณฑอันดับเดียวกัน จํานวนที่อยูภายในเครื่องหมายกรณฑเปนจํานวน เดียวกัน เราทราบวา 2323 ×= และ 2525 ×= ดังนั้น ( ) ( )25232523 ×+×=+ ( ) 253 += (สมบัติการแจกแจง) 28= ตัวอยางที่ 1 จงหาคาของ 32712 −+ วิธีทํา 32712 −+ = 33934 −×+× = 33332 −+ = ( ) 3132 −+ = 34 ตัวอยางที่ 2 จงหาคาของ 1254520 −+ วิธีทํา 1254520 −+ = 5255954 −+ = 555352 −+ = ( ) 5532 −+ = 0 5 = 0 ตัวอยางที่ 3 จงหาคาของ 845182203 +−+ วิธีทํา 845182203 +−+ = ( )( ) ( )( ) 2253232523 +−+ = 22532656 +−+ = 22265356 ++− = 2853 +
29. 3 ของรากที่ n ที่กลาววา การคูณ nnn baab •= เมื่อ n a และ n b เปนจํานวนจริง ∴ ตัวอยางที่ 2 )25()83( = 2583 ⋅⋅⋅
30. n ที่กลาววา การหาร n n n b a b a = เมื่อ b ≠ 0 หรือใชสมบัติขอ 3 ของรากที่ n ที่กลาววา = 2 หรือใชสมบัติที่วาดวยการคูณตัวเศษและตัวสวนดวยจํานวนเดียวกัน = 5 520⋅ = 5 100 = 5 10 = 2
31. 4 256 3) 3 6 8y 4) 5 32− 5) 32283 +− 6) ( )521053 + 7) 33 2 42 aa ⋅ 8) 33 454 ⋅
32. 33 1 99 = 882 1 = 33 1 77 = บทนิยาม เมื่อ a เปนจํานวนจริง n เปน จํานวนเต็มที่มากกวา 1 และ a มีรากที่ n จะไดวา nn aa = 1 บทนิยาม ใหa เปนจํานวนเต็มที่ n > 0 และ n m เปนเศษสวนอยางต่ําจะไดวา
33. 2 8x …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 2) 3 27 3 − …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 3) 2 ( 2 8 18 32)+ + + …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. 4) 65 33 2 32 2 27 (64) − + …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………
34.
35. โดยทั่วไปหมายถึง กลุม คน สัตว สิ่งของ ที่รวมกันเปนกลุม โดยมีสมบัติบางอยาง รวมกัน และบรรดาสิ่งทั้งหลายที่อยูในเซตเราเรียกวา “ สมาชิก” ในการศึกษาเรื่องเซตจะ ประกอบไปดวย เซต เอกภพสัมพัทธ สับเซตและเพาเวอรเซต 2. การดําเนินการบนเซต คือ การนําเซตตาง ๆ มากระทํารวมกันเพื่อใหเกิดเปนเซตใหม ซึ่ง ทําได 4 วิธีคือ การยูเนี่ยน การอินเตอรเซคชั่น ผลตางระหวางเซต และการคอมพลีเมนต 3. แผนภาพเวนน – ออยเลอร จะชวยใหการพิจารณาเกี่ยวกับเซตไดงายขึ้นโดยใชหลักการคือ 3.1 ใชรูปสี่เหลี่ยมผืนผาแทนเอกภพสัมพัทธ “U” 3.2 ใชวงกลมหรือวงรีแทนเซตตาง ๆ ที่เปนสมาชิกของ “U” และเขียนภายในสี่เหลี่ยมผืนผา ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. อธิบายความหมายเกี่ยวกับเซตได 2. สามารถหายูเนี่ยน อินเตอรเซกชั่น คอมพลีเมนต และผลตางของเซตได 3. เขียนแผนภาพแทนเซตและนําไปใชแกปญหาที่เกี่ยวกับการหาสมาชิกของเซตได ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 เซต เรื่องที่ 2 การดําเนินการของเซต เรื่องที่ 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรและการแกปญหา
36. (Sets) 1.1 ความหมายของเซต เซต หมายถึง กลุมสิ่งของตางๆ ไมวาจะเปน คน สัตว สิ่งของหรือนิพจนทางคณิตศาสตร ซึ่งระบุสมาชิกในกลุมได ยกตัวอยาง เซต เชน 1) เซตของวิทยาลัยเทคนิคในประเทศไทย 2) เซตของพยัญชนะในคําวา “คุณธรรม” 3) เซตของจํานวนเต็ม 4) เซตของโรงเรียนระดับมัธยมศึกษาในจังหวัดสกลนคร เรียกสิ่งตาง ๆที่อยูในเซตวา “สมาชิก” ( Element ) ของเซตนั้น เชน 1) วิทยาลัยเทคนิคดอนเมืองเปนสมาชิกเซตวิทยาลัยเทคนิคในประเทศไทย 2) “ร” เปนสมาชิกเซตพยัญชนะในคําวา “คุณธรรม” 3) 5 เปนสมาชิกของจํานวนเต็ม 4) โรงเรียนดงมะไฟวิทยาเปนสมาชิกเซตโรงเรียนระดับมัธยมศึกษาในจังหวัด สกลนคร 1.2 วิธีการเขียนเซต การเขียนเซตเขียนได 2 แบบ 1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต โดยเขียนสมาชิกทุกตัวของเซตลงในเครื่องหมายวงเล็บ ปกกาและใชเครื่องหมายจุลภาค (,) คั่นระหวางสมาชิกแตละตัวนั้น ตัวอยางเชน A = {1, 2, 3, 4, 5} B = { a, e, i, o, u} C = {...,-2,-1,0,1,2,...} 2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต โดยใชตัวแปรแทนสมาชิกของเซต และบอก สมบัติของสมาชิกในรูปของตัวแป ตัวอยางเชน A = { x | x เปนจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยกวาหรือเทากับ 5} B = { x | x เปนสระในภาษาอังกฤษ} C = {x | x เปนจํานวนเต็ม} สัญลักษณเซต โดยทั่ว ๆ ไป การเขียนเซต หรือการเรียกชื่อของเซต จะใชอักษรภาษาอังกฤษ ตัวพิมพใหญไดแก A , B , C , . . . , Y , Z เปนตน ทั้งนี้เพื่อความสะดวกในการอางอิงเมื่อเขียนหรือ กลาวถึงเซตนั้น ๆ ตอไป สําหรับสมาชิกในเซตจะเขียนโดยใชอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพเล็ก
37. ∈ ( Epsilon) แทนความหมายวา อยูใน หรือ เปนสมาชิก เชน กําหนดให เซต A มีสมาชิกคือ 2 , 3 , 4 , 8 , 10 ดังนั้น 2 เปนสมาชิกของ A หรืออยูใน A เขียนแทนดวย 2 ∈ A 10 เปนสมาชิกของ A หรืออยูใน A เขียนแทนดวย 10 ∈ A ใชสัญลักษณ ∉ แทนความหมาย “ไมอยู หรือไมเปนสมาชิกของเซต เชน 5 ไมเปนสมาชิกของเซต A เขียนแทนดวย 5 ∉ A 7 ไมเปนสมาชิกของเซต A เขียนแทนดวย 7 ∉ A 1.3 ชนิดของเซต 1.3.1 เซตวาง ( Empty Set or Null Set ) ตัวอยาง เชน A = { x | x เปนชื่อทะเลทรายในประเทศไทย } ดังนั้น A เปนเซตวาง เนื่องจากประเทศไทยไมมีทะเลทราย B = { x | x ∈ I+ และ x + 2 = x } ดังนั้น B เปนเซตวาง เนื่องจากไมมีจํานวนเต็มบวกที่นํามาบวกกับ 2 แลวได ตัวมันเอง เซต B จึงไมมีสมาชิก ขอสังเกต 1. การเรียงลําดับของแตละสมาชิกไมถือเปนสิ่งสําคัญ เชน A = { a , b , c } B = { b , c , a } ถือวาเซต A และเซต B เปนเซตเดียวกัน 2. การนับจํานวนสมาชิกของเซต จํานวนสมาชิกที่เหมือนกันจะนับเพียงครั้งเดียว ถึงแมจะเขียนซ้ํา ๆ กัน หลาย ๆ ครั้ง เชน A = { 0 , 1 , 2 , 1 , 3 } มีจํานวนสมาชิก 4 ตัว คือ 0 , 1 , 2 , 3 เปนตน บทนิยาม เซตวาง คือ เซตที่ไมมีสมาชิก ใชสัญลักษณ Ø หรือ { } แทนเซตวาง (φ เปนอักษรกรีก อานวา phi) ขอสังเกต 1. เซตวางมีจํานวนสมาชิก เทากับศูนย ( ไมมีสมาชิกเลย ) 2. 0 ≠ Ø 3. { 0 } ไมเปนเซตวาง เพราะมีจํานวนสมาชิก 1 ตัว
38. Finite Set ) บทนิยาม เซตจํากัด คือ เซตที่สามารถระบุจํานวนสมาชิกในเซตได ตัวอยางเชน A = { 1 , 2 , {3} } มีจํานวนสมาชิก 3 ตัว หรือ n(A) = 3 B = { x | x เปนจํานวนเต็มและ 1 ≤ x ≤ 100 } มีจํานวนสมาชิก 100 ตัว หรือ n(B) = 100 C = { x | x เปนจํานวนเต็มที่อยูระหวาง 0 กับ 1 } ดังนั้น C เปนเซตวาง มีจํานวนสมาชิก 0 ตัว หรือ n(C) = 0 D = { 1 , 2 , 3 , . . . , 99 } มีจํานวนสมาชิก 99 ตัว หรือ n(D) = 99 E = { x | x เปนวันในหนึ่งสัปดาห } มีจํานวนสมาชิก 7 ตัว หรือ n(E) = 7 หมายเหตุ จํานวนสมาชิกของเซต A เขียนแทนดวย n(A) 1.3.3 เซตอนันต ( Infinite Set ) ตัวอยางเชน A = { -1 , -2 , -3 , … } B = { x | x = 2n เมื่อ n เปนจํานวนนับ } C = { x | x เปนจํานวนจริง } T = { x | x เปนจํานวนนับ } ตัวอยาง จงพิจารณาเซตตอไปนี้ เซตใดเปนเซตวาง เซตจํากัดหรือเซตอนันต เซต เซตวาง เซตจํากัด เซตอนันต 1. เซตของผูที่เรียนการศึกษานอกโรงเรียน ปการศึกษา 2552 / 2. เซตของจํานวนเต็มบวกคี่ / 3. เซตของสระในภาษาไทย / 4. เซตของจํานวนเต็มที่หารดวย 10 ลงตัว / 5. เซตของทะเลทรายในประเทศไทย / / บทนิยาม เซตอนันต คือ เซตที่ไมใชเซตจํากัด ( หรือเซตที่มีจํานวนสมาชิกไมจํากัด นั่นคือ ไมสามารถนับจํานวนสมาชิกไดแนนอน )
39. Equal Set ) เซตสองเซตจะเทากันก็ตอเมื่อทั้งสองเซตมีสมาชิกอยางเดียวกัน และจํานวนเทากัน บทนิยาม เซต A เทากับเซต B เขียนแทนดวย A = B หมายความวา สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกทุกตัวของเซต B และสมาชิกของเซต B เปนสมาชิกทุกตัวของเซต A ถาสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต A ไมเปนสมาชิกของเซต B หรือสมาชิกบางตัวของเซต B ไมเปนสมาชิกของเซต A เซต A ไมเทากับเซต B เขียนแทนดวย A ≠ B ตัวอยางเชน A = { 0 , { 1,2 } } B = { { 2 ,1 } , 0 } ดังนั้น A = B ตัวอยาง กําหนดให A = { 2 , 4 , 6 , 8 } B = { x | x เปนจํานวนเต็มบวกเลขคูที่นอยกวา 10 } วิธีทํา A = { 2 , 4 , 6 , 8 } พิจารณา B เปนจํานวนเต็มบวกคูที่นอยกวา 10 จะได B = { 2 , 4 , 6 , 8 } ดังนั้น A = B ตัวอยาง กําหนดให A = { 2 , 3 , 5 } , B = { 5 , 2 , 3 , 5 } และ C = { x | x2 – 8x + 15 = 0 } วิธีทํา พิจารณา x2 - 8x + 15 = 0 ( x – 3 ) (x – 5 ) = 0 X = 3 , 5 C = { 3 , 5 } ดังนั้น A = B แต A ≠ C เพราะ 2 ∈ A แต 2 ∉ C B ≠ C เพราะ 2 ∈ B แต 2 ∉ C
40. Equivalent Set ) เซตที่เทียบเทากัน เซตสองเซตจะเทียบเทากันก็ตอเมื่อทั้งสองเซตมีจํานวนสมาชิก เทากัน บทนิยาม เซต A เทียบเทากับเซต B เขียนแทนดวย A ~ B หรือ A ↔ B หมายความวา สมาชิกของ A และสมาชิกของ B สามารถจับคูหนึ่งตอหนึ่งไดพอดี ตัวอยางเชน A = { 1 , 2 , 3 } B = { 4 , 5 , 6 } จะเห็นวา จํานวนสมาชิกของเซต A เทากับจํานวนสมาชิกของ B ดังนั้น A ↔ B C = { xy , ab } D = { 0 , 1 } ดังนั้น C ~ D เพราะจํานวนสมาชิกเทากัน ตัวอยาง จงพิจารณาเซตแตละคูตอไปนี้วาเซตคูใดเทากัน หรือเซตคูใดเทียบเทากัน 1) A = { x / x เปนจํานวนเต็ม x2 – 10x + 9 = 0 } B = { 1 , 9 } 2) C = { a , { b, c } , d } D = { 1 , 2 , { 3 } } 3) E = { 1 , 4 , 7 } F = { 4 , 1 , 7 } วิธีทํา 1) A = B และ A ∼ B เพราะมีจํานวนสมาชิกเทากัน และสมาชิกเหมือนกันทุกตัว 2) C ∼ D แต C ≠ D เพราะมีจํานวนสมาชิกเทากัน แตสมาชิกแตละคูไมเหมือนกันทุกตัว 3) E = F และ E ∼ F เพราะมีจํานวนสมาชิกเทากัน และสมาชิกเหมือนกันทุกตัว 1.3.6 เอกภพสัมพัทธ ขอสังเกต 1. ถา A = B แลว A ∼ B 2. ถา A ∼ B แลว A ไมจําเปนตองเทากับ B
41. สิ่งอื่นใด นอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตที่กําหนด ใชสัญลักษณ U แทน เอกภพสัมพัทธ ตัวอยางเชน กําหนดให U เปนเซตของจํานวนนับ และ A = {x | 42 =x } จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก ตอบ A = {2} กําหนดให U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} และ A เปนจํานวนคู ตอบ A = {2,4,6,8,10} ขอสังเกต ถาไมมีการกําหนดเอกภพสัมพัทธ ใหถือวาเอกภพสัมพัทธนั้นเปนเซตของจํานวนจริง
42. เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่มีชื่อขึ้นตนดวยพยัญชนะ “ส” 2) เซตของสระในภาษาอังกฤษ 3) เซตของจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลัก 4) เซตของจํานวนคูบวกที่มีคานอยกวา 20 5) เซตของจํานวนเต็มลบที่มีคานอยกวา – 120 6) { x|x เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 5 และนอยกวา 15 } 7) { x|x เปนจํานวนเต็มที่อยูระหวาง 0 กับ 0 } 2. จงบอกจํานวนสมาชิกของเซตตอไปนี้ 1) A = {3456} 2) B = {a,b,c,de,fg,hij,} 3) C = { x|x เปนจํานวนเต็มบวกที่อยูระหวาง 10 ถึง 35 } 4) D = { x|x เปนจํานวนเต็มบวกที่นอยกวา 9 } 3. จงเขียนเซตตอไปนี้แบบบอกเงื่อนไข 1) K = { 2,4,6,8} 2) P = { 1,2,3,...} 3) H = { 1,4,9,16,25,...} 4. จงพิจารณาเซตตอไปนี้ เปนเซตวางหรือเซตจํากัดหรือเซตอนันต 1) เซตของสระในภาษาไทย 2) เซตของจํานวนเต็มที่อยูระหวาง 21 และ 300 3) A = { x | x เปนจํานวนเต็มและ x < 0 } 4) B = { x | x เปนจํานวนเต็มคูที่นอยกวา 2 } 5) C = { x | x = 9 และ x – 3 = 5 } 6) A = { x | x เปนจํานวนนับที่นอยกวา 1 } 7) E = { x | x เปนจํานวนเฉพาะ 1 < x < 3 } 8) F = { x | x เปนจํานวนเต็ม 4 < x < 5 } 9) B = { x | x เปนจํานวนนับ x2 + 3x + 2 = 0 } 10) D = { x | x เปนจํานวนเต็มที่หารดวย 5 ลงตัว }
43. = { 2,4,6,8,10 } B = {x| x เปนจํานวนคูบวก 2 ถึง 10 } 2) D = { 7,14,21,28,......343} E = {x|x = 7r และ r เปนจํานวนนับที่มีคานอยกวา 50 } 3) F = { x|x =3n และ n และ n } G = { 3,6,9} 4) Q = {4} H = { x|x เปนจํานวนเต็มและ 162 =x }
44. 4 ชนิด ไดแก 1. การยูเนียนของเซต 2. การอินเตอรเซคชั่นของเซต 3. คอมพลีเมนทของเซต 4. ผลตางของเซต 2.1 การยูเนียนของเซต ใชสัญลักษณ “∪ ” บทนิยาม A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B } เรียกวา ผลบวก หรือผลรวม (union) ของ A และ B ตัวอยาง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได A ∪ B = {0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7} ตัวอยาง 2. ถา M = {x | x เปนจํานวนเต็มบวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได M ∪ L = M ตัวอยาง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได W ∪ Z = {a , s , d , f , p , k , b} ตัวอยาง 4 A ={1,2,3} , B= {3,4,5} จะได A ∪ B = {1,2,3,4,5} 2.2 การอินเตอรเซคชัน ใชสัญลักษณ “∩ ” บทนิยาม A ∩ B = { x|x∈ A ∧ x∈B } เรียกวา ผลตัด หรือผลที่เหมือนกัน (intersection) ของ A และ B ตัวอยาง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได A ∩ B = {1 , 3} ตัวอยาง 2. ถา M = {x | x เปนจํานวนเต็มบวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได M ∩ L = L
45. W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได = { } 2.3 คอมพลีเมนตของเซต ใชสัญลักษณ “ / ” บทนิยาม ถา U เปนเอกภพสัมพัทธ คอมพลีเมนตของ A คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิก ที่อยูใน ∪ แตไมอยูใน A เขียน A′ แทนคอมพลีเมนทของ A ดังนั้น A′ = { x | x ∉ A } ตัวอยาง 1. ถา U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0 ,2} จะได = {1, 3,4, 5} ตัวอยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปนจํานวนคู} จะได = { x |x U และ x เปนจํานวนคี่ } 2.4 ผลตางของเซต ใชสัญลักษณ “ – ” บทนิยาม ผลตางระหวางเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกของเซต A ซึ่ง ไมเปนสมาชิกของเซต B ผลตางระหวางเซต A และ B เขียนแทนดวย A – B ซึ่ง A - B = { x | x ∈ A ∧ x ∉ B } ตัวอยาง 1. ถา A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7} จะได A - B = {0, 1, 2} และ B - A = {5 , 6 , 7}
46. U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปนจํานวนคูบวก} จะได U – C = {x|x เปนจํานวนคี่บวก} สมบัติของเซตที่ควรทราบ ให A,B และ C เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U สมบัติตอไปนี้เปนจริง 1) กฎการสลับที่ ABBA ∪=∪ ABBA ∩=∩ 2) กฎการเปลี่ยนกลุม ( ) ( ) CBACBA ∪∪=∪∪ ( ) ( ) CBACBA ∩∩=∩∩ 3) กฎการแจงแจง ( ) ( ) ( )CABACBA ∪∩∪=∩∪ ( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩=∪∩ 4) กฎเอกลักษณ AAA =∪=∪ φφ AUAAU =∩=∩ 5) UAA =′∪ 6) U=′φ และ φ=′U 7) ( ) AA = ′′ 8) AAA =∪ และ AAA =∩ 9) BABA ′∩=− 10) φφ =∩A และ AA =∪φ
47. A = { 0,1,2,3,4,5}, และ B { 1,2,3,4 } จงหา 1) A ∪ B ……………………………. 2). B ∪ A …………………………..…… 3). A ∩ B ............................................. 4). B ∩ A ……………………………..… 5). A – B……………………..…………. 6). B – A……………………………….…. 2). กําหนดให U = { 1,2,3, ... ,10 } A = { 2,4,6,8,10 } B = { 1,3,5,7,9} C = { 3,4,5,6,7 } จงหา 1. A ∩ B ……………………………………………………………………………………… 2. B ∪ C ……………………………………………………………………………………… 3. B ∩ C …………………………………………………………………………………….… 4. A ∩ C ..………………………………………………………………………………..…… 5. C′..………………………………………………………………………………..…………. 6. AC ∩′ ………………………………………………………………………………..…….. 7. BC ∩′ ..………………………………………………………………………………..…… 8. (A ……………………………………………….…………………………………
48. - ออยเลอรและการแกปญหา 3.1 แผนภาพเวนน - ออยเลอร การเขียนแผนภาพแทนเซตชวยใหเขาใจเกี่ยวกับความสัมพันธระหวางเซตชัดเจนยิ่งขึ้น เรียก แผนภาพแทนเซตวา แผนภาพของเวนน-ออยเลอร เพื่อเปนเกียรติแกนักคณิตศาสตรชาวอังกฤษ จอหน เวนน (John Venn พ.ศ.2377-2466) และนักคณิตศาสตรชาวสวิส เลโอนารด ออยเลอร (Leonard Euler พ.ศ. 2250-2326) ซึ่งเปนผูคิดแผนภาพเพื่อแสดงความสัมพันธระหวางเซต การเขียนแผนภาพของเวนน-ออยเลอร (Venn-Euler) เพื่อแสดงความสัมพันธระหวางเซตนิยม เขียนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ (U) และใชรูปวงกลม วงรี หรือรูปปดใด ๆ แทนเซต ตางๆ ซึ่งเปนสับเซตของ U ลักษณะตาง ๆ ของการเขียนแผนภาพ มีดังนี้ ซึ่งแผนภาพเวนน-ออยเลอร เมื่อนํามาใชกับการดําเนินการบนเซตแลวนั้นจะทําใหผูเรียนเขาใจ ในเรื่องการดําเนินการบนเซตมากขึ้น ดังตัวอยางตอไปนี้ ยูเนียน (Union) สามารถใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอร แสดงใหเห็นกรณีตาง ๆ ของเซตใหมที่เกิด จาก ไดจากสวนที่แรเงา ดังนี้ (ระบายพื้นที่ของทั้งสองเซตไมวาจะมีพื้นที่ซ้ํากันหรือไมซ้ํากัน)
49. ๆ ของเซตใหมที่เกิดจาก ไดจากสวนที่แรเงา ดังนี้ คอมพลีเมนต (Complement) กําหนดให เซต A เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U คอมพลีเมนตของ A คือ เซตที่ประกอบดวย สมาชิกของเอกภพสัมพัทธ (U) แตไมเปนสมาชิกของ A เขียนแทนดวย (อานวา เอไพรม) และ เพื่อใหมองภาพไดชัดขึ้นอาจใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอรแสดงการคอมพลีเมนตของเซต A ได ดังนี้ A′ คือ สวนที่แรเงา ผลตาง (Relative Complement or Difference) สามารถใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอร แสดงใหเห็นกรณีตาง ๆ ของเซตใหมที่เกิดจาก A - B ไดจากสวนที่แรเงา ดังนี้ (ระบายสีเฉพาะพื้นที่ของเซต A ที่ไมใชพื้นที่ของเซต B)
50. A และ B ไมมีสมาชิกรวมกันจะได • ถาเซต A และ B มีสมาชิกบางตัวรวมกันจะได พิจารณาจากรูป ตัวเลขในภาพแสดงจํานวนสมาชิกเซต จะได 1) n (A) = 16 2) n (B) = 18 2) n (A ∩ B) = 6 4) n (A ∪ B) = 28 5) n ( A/ ) = 12 6) n ( B / ) = 10 7) n (A ∩ B)/ = 22 8) n ( A/ ∪ B/ ) = 22 ตัวอยางที่ 3 กําหนดให A มีสมาชิก 15 ตัว B มีสมาชิก 12 ตัว A ∩ B มีสมาชิก 7 ตัว จงหาจํานวนสมาชิกของ A ∪ B วิธีทํา n (A) = 15 , n (B) = 12 , n (A ∩ B ) = 7 จากสูตร n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A ∩ B) = 15 + 12 – 7 = 20 ดังนั้น จํานวนสมาชิกของ A ∪ B เทากับ 20 ตัว n (A ∪ B) = n (A) + n (B) n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)
51. A และ B เปนสับเซตของ U โดยที่ U = ( 1 , 2 , 3 , . . . , 10 } ถา n (A/ ∪ B/ ) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6 แลว จงหา n ( A ∪ B) / วิธีทํา จาก n ( U ) = 10 , n (A/ ∪ B/ ) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6 n (A ∪ B′ ) = n (A ∪ B/ ) ∴ n ( A ∩ B) = 10 – 5 = 5 n (A) = 10 – 3 = 7 n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A ∩ B) n ( A ∪ B ) = 7 + 6 – 5 = 8 ∴ n ( A ∪ B) / = 10 - 8 = 2 • ถาเซต A เซต B และเซต C มีสมาชิกบางตัวรวมกัน ตัวอยางที่ 5 พิจารณาจากรูป ตัวเลขในภาพแสดงจํานวนสมาชิกของเซต จะได 1) n (U) = 60 2) n (A) = 26 3) n (B ∩ C) = 7 4) n (A ∩ C) = 8 5) n (A ∩ B ∩ C ) = 3 n (A ∪ B ∪ C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C) - n (A ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)
52. การเขียนแผน ภาพเวนน - ออยเลอร และนําความรูเรื่องสมาชิกของเซตจํากัด ดังที่จะศึกษารายละเอียดตอไปนี้ ตัวอยางที่ 1 บริษัทแหงหนึ่งมีพนักงาน 80 คน พบวา พนักงาน 18 คนมีรถยนต พนักงาน 23 คน มีบานเปนของตัวเอง และพนักงาน 9 คน มีบานของตัวเองและรถยนต จงหา 1) จํานวนพนักงานทั้งหมดที่มีรถยนตหรือมีบานเปนของตัวเอง 2) จํานวนพนักงานที่ไมมีรถยนตหรือบานของตัวเอง วิธีทํา ให A แทนเซตของพนักงานที่มีรถยนต B แทนเซตของพนักงานที่มีบานเปนของตัวเอง เขียนจํานวนพนักงานที่สอดคลองกับขอมูลลงในแผนภาพไดดังนี้ 1) n (A) = 18 , n (B) = 23 , n (A ∩ B) = 9 พิจารณา n (A ∪ B) = n(A) + n(B) - n (A ∩ B) = 18 + 23 – 9 = 32 ดังนั้น จําวนพนักงานที่มีรถยนตหรือมีบานของตัวเองเปน 32 คน 2) เนื่องจากพนักงานทั้งหมด 80 คน นั่นคือ พนักงานที่ไมมีรถยนตหรือบานของตัวเอง = 80 - 32 = 48 คน ดังนั้น พนักงานที่ไมมีรถยนตหรือบานของตัวเองเปน 48 คน
53. 100 คน พบวานักศึกษาที่ชอบเรียน คณิตศาสตร 52 คน นักศึกษาที่ชอบเรียนภาษาไทย 60 คน นักศึกษาที่ไมชอบเรียน คณิตศาสตรและไมชอบเรียนภาษาไทยมี 14 คน จงหานักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตร และภาษาไทย วิธีทํา แนวคิดที่ 1 ให A แทนเซตของนักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตร B แทนเซตของนักศึกษาที่ชอบเรียนภาษาไทย จาก n (A) = 52 , n(B) = 60 n ( A/ ∩ B/ ) = 14 = n ( A ∪ B )/ [∴A/ ∩ B/ = ( A ∪ B ) / ] ∴ n ( A ∪ B ) = 100 n ( A ∪ B ) = n(A) + n(B) - n (A ∩ B) 100 – 14 = 52 + 60 - n (A ∩ B) 86 = 52 + 60 - n (A ∩ B) n (A ∩ B) = 112 - 86 = 26 ดังนั้น จํานวนนักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตรและภาษาไทย มี 26 คน แนวคิดที่ 2 ให x แทนจํานวนนักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตรและภาษาไทย จากแผนภาพเขียนสมการไดดังนี้ ( 52 - x ) + x + ( 60 - x ) = 100 - 14 112 - x = 86 x = 112 - 86 = 26 ดังนั้น จํานวนนักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตรและภาษาไทย มี 26 คน
54. 1,000 คน มีนักศึกษาเรียนภาษาอังกฤษ 800 คน เรียน คอมพิวเตอร 400 คน และเลือกเรียนทั้งสองวิชา 280 คน อยากทราบวา 1) มีนักศึกษากี่คนที่เรียนภาษาอังกฤษเพียงวิชาเดียว 2) มีนักศึกษากี่คนที่เรียนคอมพิวเตอรเพียงวิชาเดียว 3) มีนักศึกษากี่คนที่ไมไดเรียนวิชาใดวิชาหนึ่งเลย 4) มีนักศึกษากี่คนที่ไมไดเรียนทั้งสองวิชาพรอมกัน วิธีทํา ให U แทนเซตของนักศึกษาทั้งหมด A แทน เซตของนักศึกษาที่เรียนวิชาภาษาอังกฤษ B แทน เซตของนักศึกษาที่เรียนวิชาคอมพิวเตอร A ∩ B แทน เซตของนักศึกษาที่เรียนทั้งสองวิชา n ( U ) = 1,000 , n ( A ) = 800 , n ( B ) = 400 , n (A ∩ B) = 280 เขียนแผนภาพไดดังนี้ 1) นักศึกษาที่เรียนภาษาอังกฤษเพียงวิชาเดียวมีจํานวน 800 - 280 = 520 คน 2) นักศึกษาที่เรียนคอมพิวเตอรเพียงวิชาเดียวมีจํานวน 400 - 280 = 120 คน 3) นักศึกษาที่ไมไดเรียนวิชาใดวิชาหนึ่งเลย คือสวนที่แรเงาในแผนภาพซึ่งมีจํานวน เทากับ 1,000 - 520 - 280 - 120 = 80 คน
55. นักศึกษาที่เรียนวิชาใดวิชาหนึ่งเพียงวิชา เดียว รวมกับนักศึกษาที่ไมเรียนวิชาใดเลย คือ สวนที่แรเงาในแผนภาพ ซึ่งมีจํานวน เทากับ 1,000 - 280 = 720 หรือ 520 + 120 + 80 = 720 คน ตัวอยางที่ 4 ในการสํารวจผูใชสบู 3 ชนิด คือ ก , ข , ค พบวามีผูใชชนิด ก. 113 คน, ชนิด ข. 180 คน, ชนิด ค. 190 คน, ใชชนิด ก . และ ข. 45 คน, ชนิด ก. และ ค. 25 คน, ชนิด ข. และ ค. 20 คน, ทั้ง 3 ชนิด 15 คน, ไมใชทั้ง 3 ชนิด 72 คน จงหาจํานวนของผูเขารับการสํารวจทั้งหมด วิธีทํา แนวคิดที่ 1 ให A แทนผูใชสบูชนิด ก. B แทนผูใชสบูชนิด ข. C แทนผูใชสบูชนิด ค. จาก n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C) - n ( A ∩ C ) + n (A ∩ B ∩ C) โดยที่ n (A) = 113 n (B) = 180 n (C) = 190 n (A ∩ B) = 45 n (A ∩ C) = 25 n (B ∩ C) = 20 n (A ∩ B ∩ C) = 15 n (A ∪ B ∪ C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C) - n (A ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C) ∴ n (A ∪ B ∪ C) = 113 + 180 + 190 - 45 – 20 – 25 + 15 = 408
56. ข. หรือ ค. = 408 คน จํานวนผูที่ไมใชทั้ง 3 ชนิด = 72 คน ดังนั้น จํานวนของผูเขารับการสํารวจทั้งหมด 408 + 72 = 480 คน แนวคิดที่ 2 ให A แทนผูใชสบูชนิด ก. B แทนผูใชสบูชนิด ข. C แทนผูใชสบูชนิด ค. จํานวนผูที่ใชสบู ก. หรือ ข. หรือ ค. = 58 + 30 + 10 + 15 + 160 + 5 + 130 = 408 คน จํานวนผูที่ไมใชทั้ง 3 ชนิด = 72 คน ดังนั้น จํานวนของผูเขารับการสํารวจทั้งหมด 408 + 72 = 480 คน
57. B′ 2) BA ′∩ 3) A′ 4) BA ∪′ 5) BA ′∪′ 2. จากแผนภาพที่กําหนดให จงหาคา 1) A′ 2) ( )′ ∩ BA 3) UA′ B 4) BA ∩′
58. , A, B และ A∩B เปนเซตที่มีจํานวนสมาชิก 100 ,40,25, และ 6 ตามลําดับ จง เติมจํานวนสมาชิกของเซตตาง ๆ ลงในตารางตอไปนี้ เซต A - B B - A A ∩ B A′ B′ ( A ∪ B จํานวนสมาชิก 4. จากการสอบถามผูเรียนชอบเลนกีฬา 75 คน พบวา ชอบเลนปงปอง 27 คน ชอบเลนแบตมินตัน 34 คน ชอบเลนฟุตบอล 42 คน ชอบทั้งฟุตบอลและปงปอง 14 คน ชอบทั้งฟุตบอลและ แบตมินตัน 12 คน ชอบทั้งปงปองและแบดมินตัน 10 คน ชอบทั้งสามประเภท 7 คน จงหาวานักศึกษาที่ชอบเลนกีฬาประเภทเดียวมีกี่คน
59. ๆ ครั้งจากทุก ๆ กรณียอยแลวนําบทสรุปมาเปนความรูแบบทั่วไปเรา เรียกขอสรุปแบบนี้วา “ ขอความคาดการณ” 2. การใหเหตุผลแบบนิรนัยไมไดคํานึงถึงความจริงหรือความเท็จแตจะคํานึงเฉพาะขอสรุปที่ ตองสรุปออกมาไดเทานั้น ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. อธิบายและใชการใหเหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัยได 2. บอกไดวาการอางเหตุผลสมเหตุสมผลหรือไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอรได ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 การใหเหตุผล เรื่องที่ 2 การอางเหตุผลโดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร
60. เพราะการดําเนินชีวิตของคนเราตองขึ้นอยูกับเหตุผลไมวาจะเปน ความเชื่อ การโตแยง และการตัดสินใจ เราจําเปนตองใชเหตุผลประกอบทั้งสิ้น อีกทั้งยังเปนพื้นฐานที่ สําคัญในการหาความรูของศาสตรตาง ๆ อีกดวย การใหเหตุผล แบงเปน 2 ประเภท ไดแก การให เหตุผลแบบอุปนัย และการใหเหตุผลแบบนิรนัย 1.1 การใหเหตุผลแบบอุปนัย ( Inductive Reasoning ) การใหเหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง การสรุปผลภายหลังจากการคนพบความจริงที่ไดจาก การใชสังเกต หรือการทดลองมาแลวหลายๆครั้ง จากทุกๆกรณียอยๆ แลวนําบทสรุปมาเปนความรู แบบทั่วไป หรืออีกนัยหนึ่ง การใหเหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง การใหเหตุผลโดยยึดความจริง สวนยอยที่พบเห็นไปสูความจริงสวนใหญ 1. มนุษยสังเกตพบวา : ทุก ๆวันดวงอาทิตยขึ้นทางทิศตะวันออก และตกทางทิศตะวันตก ตัวอยางการใหเหตุผลแบบอุปนัย จึงสรุปวา : ดวงอาทิตยขึ้นทางทิศตะวันออก และตกทางทิศตะวันตกเสมอ 2. สุนทรี พบวา ทุกครั้งที่คุณแมไปซื้อกวยเตี๋ยวผัดไทยจะมีตนกุยชายมาดวยทุกครั้ง จึงสรุปวา กวยเตี๋ยวผัดไทยตองมีตนกุยชาย 3. ชาวสวนมะมวงสังเกตมาหลายปพบวา ถาปใดมีหมอกมาก ปนั้นจะไดผลผลิตนอย เขาจึงสรุปวาหมอกเปนสาเหตุที่ทําใหผลผลิตนอย ตอมามีชาวสวนหลายคนทดลอง ฉีดน้ําลางชอมะมวง เมื่อมีหมอกมากๆ พบวาจะไดผลผลิตมากขึ้น จึงสรุปวา การลางชอมะมวงตอนมีหมอกมากๆ จะทําใหไดผลผลิตมากขึ้น

สมการเชิงอนุพันธ์ pdf สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ไม่เอกพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์แบบแม่นตรง สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูง

การแสดงอย อย างพอเพ ยง ม.2 1 กล ม2 เซต b

กระทู้ที่เกี่ยวข้อง

การโฆษณา

ข่าวล่าสุด

ผู้มีส่วนร่วม

การโฆษณา

ผู้มีอำนาจ

การโฆษณา

เกี่ยวกับ

ถูกกฎหมาย

ช่วย

ทางสังคม