ใบงาน การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น ม.6 พร้อม เฉลย

Download now

Jump to Page

Search inside document

You're Reading a Free Preview
Page 2 is not shown in this preview.

Buy the Full Version

Reward Your Curiosity

Everything you want to read.

Anytime. Anywhere. Any device.

No Commitment. Cancel anytime.

Share this document

Share or Embed Document

Sharing Options

• Share on Facebook, opens a new window
• Share on Twitter, opens a new window
• Share on LinkedIn, opens a new window
• Share with Email, opens mail client
• Copy Link

Quick navigation

• Home

• Books

• Audiobooks

• Documents

  , active

พิสัย = ขอบเขตบนของอันตรภาคช้ันทมี่ ีข้อมลู ที่มคี า่ สงู สุด – ขอบเขตล่างของอันตรภาคชนั้ ทีม่ ขี ้อมูลที่มีคา่ ต่าสุด

การวัดการกระจายสัมบรู ณ์ หนา้ ท่ี 6

ตัวอย่าง จงหาพิสัยของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรข์ องนักเรียน 2 กลุ่ม ดงั ต่อไปนี้ 18
กล่มุ ที่ 1 10 11 11 13 13 14 14 14 16 26
กลมุ่ ที่ 2 4 5 7 10 10 15 15 19 23

วิธีทา หาพิสัยของคะแนนสอบของนกั เรียนกลุ่มที่ 1

Rangegroup1 = xmax – xmin a

= 18 – 10 a

=8

หาพิสัยของคะแนนสอบของนกั เรียนกลุ่มที่ 2

Rangegroup2 = xmax – xmin a
= 26 – 4 a

= 22

ดังนนั้ พิสัยของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มที่ 1 เท่ากับ 8 คะแนน

และ พิสยั ของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มที่ 2 เท่ากับ 22 คะแนน

จะเห็นว่า คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มที่ 2
มีการกระจายมากกว่าคะแนนสอบของนักเรียนกลมุ่ ที่ 1

เมอ่ื นาคา่ พสิ ัยมาพิจารณาร่วมกบั คา่ เฉลี่ยแลว้ (คา่ เฉล่ยี
ของคะแนนท้ังสองกล่มุ เท่ากัน) สรุปไดว้ ่า

นักเรยี นกลมุ่ ที่ 1 มคี วามสามารถในการเรยี น
ไดด้ ีกว่านักเรยี นกลมุ่ ท่ี 2

การวัดการกระจายสมั บรู ณ์ หน้าท่ี 7

ตัวอย่าง จงหาพิสัยของขอ้ มูลต่อไปนี้

คะแนน ความถี่
10 – 14 3
15 – 19 7
20 – 24 10
25 – 29 8
30 – 34 2

วิธีทา พิสยั = ขอบเขตบนของอันตรภาคช้ันที่มีขอ้ มลู ทีม่ ีค่าสูงสุด
– ขอบเขตล่างของอันตรภาคชนั้ ทีม่ ีขอ้ มลู ที่มีค่าต่าสุด

= 34.5 – 9.5
= 25
ดังนนั้ พสิ ัยของขอ้ มูลชดุ นีเ้ ท่ากบั 25 คะแนน

ตวั อยา่ ง ข้อมูลชดุ หน่งึ มี 4 จานวน มีค่าเฉลีย่ เลขคณิตเปน็ 21 มัธยฐานเป็น 23 และฐานนิยมเปน็

26 แล้วจงหาค่าพิสัยของข้อมูลชุดน้ี

วิธีทา กาหนดขอ้ มูลชุดหน่งึ มี 4 จานวน ได้แก่ a, b, c, d (เรียงจากน้อยสดุ ไปมากสุด)

โจทย์กาหนดให้ Mode = 26 , Med = 23

จะได้วา่ c = d = 26 และ b  c = 23
แทนค่า c = 26 2
= 23
b  26 = 20

2
b

โจทย์กาหนดให้ x = 21

จะได้วา่ abcd = 21

4 = 21
a  20  26  26 = 12

4
a

ดงั นน้ั ข้อมลู ที่แท้จริง คือ 12, 20, 26, 26

น่ันคือ พิสัย = 26 - 12

= 14

การวดั การกระจายสัมบรู ณ์ หนา้ ท่ี 8

พิสัยเป็นการวัดการกระจายอย่างครา่ วๆ ความถูกต้องมนี ้อย เพราะเป็นการใชค้ ่า
ของขอ้ มลู เพียง 2 ค่าเท่านั้น ทีน่ ามาหาค่าความแตกต่าง

ถ้าขอ้ มูลเปน็ อนั ตรภาคช้ันเปิด จะหาพิสยั ไม่ได้

พิสัยเป็นการวัดการกระจายที่มคี วามสะดวกและรวดเร็ว จงึ เหมาะกับข้อมูลที่ไม่ต้องการ
ความถูกตอ้ งมากนักเช่น

ข้อมลู ชุดที่ 1 : 13, 6, 8, 2, 15, 10, 19, 4
ข้อมลู ชดุ ที่ 2 : 8, 2, 7, 7, 8, 7, 8, 19
จะได้ว่า พิสยั ของข้อมลู ชดุ ที่ 1 เท่ากบั 19 – 2 = 17

พิสัยของข้อมลู ชดุ ที่ 1 เท่ากบั 19 – 2 = 17
จะเห็นว่า ถึงแม้พิสยั จะเท่ากัน แตก่ ารกระจายของขอ้ มลู แตกต่างกันมาก
ข้อจากดั ของพิสัยเกิดจากการอาศยั ข้อมูลเพียง 2 ค่า คือ ค่าสงู สดุ และค่าต่าสดุ
เท่าน้ัน ไม่บ่งบอกอะไรเกีย่ วกบั ค่าระหว่างนน้ั เลย ถ้ามีค่าสงั เกตที่มคี ่ามากหรอื น้อยกว่า
ค่าสงั เกตอื่นๆ อย่างผดิ ปกติ จะทาให้ได้พิสยั ทีม่ คี ่าสูง เพื่อแก้ปัญหานี้ จงึ มกี ารตดั
ข้อมลู ที่มคี ่าสูงกับข้อมูลที่มีค่าตา่ ออก ด้วยการวัดการกระจายที่เรยี กว่า
“ส่วนเบยี่ งเบนควอไทล์” ซึ่งจะเรียนในลาดบั ถดั ไป

การวัดการกระจายสัมบูรณ์ หนา้ ท่ี 9

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1
พิสัย

ให้นักเรยี นแสดงวิธีทาลงในท่ีว่างทกี่ าหนดไว้ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้

1. จงหาพสิ ัยของข้อมลู ต่อไปนี้ 6, 8, 14, 4, 11, 10, 17
.................................................................................................................... ...............................................................
............................................................................................................................. ......................................................

2. เงินเดอื นของลูกจา้ งกลุ่มหนึ่ง จานวน 7 คน เปน็ ดงั นี้
6,200 5,400 8,000 12,000 4,850 4,800 7,800 บาท

จงหาพิสยั ของเงนิ เดือนของลูกจา้ งกลุม่ น้ี
...................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ......................................................
............................................................................................................................. ......................................................

3. ตารางแจกแจงความถี่ของน้าหนักของนักเรียนชาย ชั้น ม.6 โรงเรียนนาดาววทิ ยา

นา้ หนกั (กิโลกรัม) จา้ นวนนกั เรยี น

60 - 62 5

63 - 65 18

66 - 68 42

69 - 71 27

72 - 74 8

จงหาพิสัยของนา้ หนัก

............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................................................. ......................

การวดั การกระจายสมั บรู ณ์ หนา้ ท่ี 10

4. ขอ้ มลู ชุดหนึ่งมี 4 จานวน ได้คา่ เฉล่ยี เลขคณติ เป็น 12 มัธยฐานเป็น 10 และมีฐานนิยมเป็น 8 แลว้
พสิ ัยของข้อมูลชดุ น้ีคือข้อใด

............................................................................................................................. ......................................................
...................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ......................................................
............................................................................................................................. ......................................................
................................................................................................................................................................ ...................
............................................................................................................... ....................................................................
............................................................................................................................. ......................................................
.................................................................................................................................... ...............................................
...................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ......................................................
............................................................................................................................. ......................................................
...................................................................................................................................................................................

การวดั การกระจายสมั บรู ณ์ หนา้ ท่ี 11

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1
พสิ ัย

1. จงหาพิสัยของข้อมูลต่อไปนี้ 6, 8, 14, 4, 11, 10, 17

พิสัย = คา่ สูงสุด – ค่าตา่ สุด = 13
= 17 – 4

2. เงินเดอื นของลูกจ้างกลุ่มหน่ึง จานวน 7 คน เปน็ ดังน้ี
6,200 5,400 8,000 12,000 4,850 4,800 7,800 บาท

จงหาพสิ ัยของเงินเดือนของลูกจา้ งกลุม่ นี้

พิสยั = ค่าสงู สุด – ค่าตา่ สุด
= 12,000 – 4,800
= 7,200 บาท

3. ตารางแจกแจงความถ่ขี องนา้ หนกั ของนักเรียนชาย ชัน้ ม.6 โรงเรยี นนาดาววทิ ยา

น้าหนัก (กิโลกรัม) จ้านวนนกั เรียน
60 - 62 5
63 - 65 18
66 - 68 42
69 - 71 27
72 - 74 8

จงหาพสิ ัยของน้าหนกั

พสิ ยั = ขอบเขตบนของชน้ั ท่มี ีขอ้ มลู ท่ีมีคา่ สงู สุด – ขอบเขตลา่ งของช้ันทมี่ ีข้อมลู ท่ีมีค่าต่าสุด
= 74.5 – 59.5
= 15 กโิ ลกรมั

การวัดการกระจายสัมบูรณ์ หน้าท่ี 12

4. ขอ้ มูลชดุ หน่ึงมี 4 จานวน ได้คา่ เฉลยี่ เลขคณิตเปน็ 12 มัธยฐานเป็น 10 และมีฐานนิยมเป็น 8 แลว้
พสิ ัยของข้อมูลชุดนคี้ ือข้อใด

วธิ ีทา กาหนดข้อมลู ชดุ หนึ่งมี 4 จานวน ไดแ้ ก่ a, b, c, d (เรียงจากนอ้ ยสุดไปมากสุด)
โจทย์กาหนดให้ Mode = 8 , Med = 10
10
จะได้ว่า a = b = 8 และ = 10
12
แทนคา่ b = 8 = 12 =
c= 12
โจทย์กาหนดให้ 12
จะไดว้ ่า = 20

a =
=

ดังนั้น ข้อมูลท่แี ทจ้ รงิ คือ 8, 8, 12, 20
น่ันคือ พิสยั = 20 - 8

= 12

การวัดการกระจายสมั บูรณ์ หน้าท่ี 13

ส่วนเบี่ยงเบนควอรไ์ ทล์ (Quartile Diviation, Q.D.)

เป็นค่าที่ใช้วัดการกระจายข้อข้อมูลรอบๆ ค่ามัธยฐาน (Median) ซึ่งมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่าง
ระหว่างควอไทล์ที่ 3 กบั ควอไทล์ที่ 1

ถ้าส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์มีค่ามากแสดงว่า มีการกระจายมากถ้าส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์มีค่าน้อย
แสดงวา่ มีการกระจายน้อย

สูตรสาหรบั หาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์

Q.D. =

จากสูตรจะเห็นได้ว่าค่า Q.D. แสดงถึงการกระจายของคะแนนว่าห่างจากมัธยฐาน (Median) ซึ่ง
เป็นค่าตาแหน่งกึง่ กลางของชุดข้อมลู มากน้อยเพียงไร จึงมักใช้ควบคู่กันกับการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง
ด้วยค่ามธั ยฐาน

ค่าของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เกิดจากตัดข้อมูลที่มีค่าต่าสุดและสูงสุดออกไปอย่างละประมาณ

25% และนาข้อมลู ตรงกลางประมาณ 50% มาคานวณหาค่า Q.D.

25% 50% 25%

ด้วยวิธีคานวณหา Q.D. เช่นน้ี บางทีจงึ เรียกส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ ว่า “ก่งึ ชว่ งควอรไ์ ทล์”
(Semi – inter quartile range)

ตวั อย่าง จงหาส่วนเบีย่ งเบนควอร์ไทล์ของข้อมูลต่อไปนี้
วิธีทา
2 6 8 12 18 20 22 30 40

จาก Qk  xk(N1)

4

จะได้วา่ Q1  x1(91)  x2.5  7

4

และ Q3  x 3(91)  x7.5  26

4

ดงั นนั้ Q.D.  Q3  Q1  26  7  9.5
22

การวัดการกระจายสัมบรู ณ์ หน้าท่ี 14

ตวั อย่าง ข้อมูลตอ่ ไปนีเ้ ป็นคะแนนสอบวิชาสถิตขิ องนกั เรียนช้ัน ม.6 ของโรงเรียนแห่งหน่งึ จงหา

ส่วนเบีย่ งเบนควอร์ไทล์

คะแนน จานวนนักเรยี น

10 - 14 3

15 - 19 7

20 - 24 10

25 - 29 8

30 - 34 2

รวม 30

วิธีทา

คะแนน f cf

10 – 14 3 3

15 – 19 7 10 Q1

20 – 24 10 20

25 – 29 8 28 Q3
30 – 34 2 30

N = 30

ตาแหน่งของ Qk เขียนแทนด้วย R(Qk ) หาได้จากสูตร R(Qk )  kN
4
1(30) 3(30)
ดังนน้ั R(Q1 )  4  7.5 และ R(Q3 )  4  22.5

 kN  F 
 4 
จากสูตรในการหาควอไทล์ Qk  L    fQk 



จะได้ Q1  14.5  5 7.5  3  Q3  24.5  (22.5  20)5
7 8

 17.71  26.06

ดังน้ัน Q.D.  Q3  Q1
2

 26.06  17.71
2

 4.175

การวดั การกระจายสัมบูรณ์ หน้าท่ี 15

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2
ส่วนเบ่ยี งเบนควอไทล์

ให้นักเรียนแสดงวิธีทาลงในที่ว่างทกี่ าหนดไว้ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

1. กาหนดข้อมูล
9 14 6 8 5 12 8 6 8 11 9
จงหาสว่ นเบ่ยี งเบนควอไทล์

............................................................................................................................. ......................................................
............................................................................................................................. ......................................................
......................................................................................................................................................... ..........................
......................................................................................................... ..........................................................................
............................................................................................................................. ......................................................
.............................................................................................................................. .....................................................

2. จงหาสว่ นเบย่ี งเบนควอไทลข์ องข้อมลู ต่อไปนี้

คะแนน จา้ นวนนักเรยี น

10 – 14 2

15 – 19 5

20 – 24 7

25 – 29 8

29 – 34 2

............................................................................................................................. ......................................................
........................................................................................................................................................... ........................
.......................................................................................................... .........................................................................
............................................................................................................................. ......................................................
............................................................................................................................... ....................................................
...................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ......................................................

การวัดการกระจายสมั บูรณ์ หน้าท่ี 16

เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 2
ส่วนเบีย่ งเบนควอไทล์

1. กาหนดข้อมูล

9 14 6 8 5 12 8 6 8 11 9
8 8 9 9 11 12 14
จงหาสว่ นเบ่ียงเบนควอไทล์
และ
เรยี งข้อมูลจากนอ้ ยไปมาก ดงั นี้ 8
566

จาก

จะไดว้ า่

ดงั นั้น

2. จงหาส่วนเบย่ี งเบนควอไทล์ของข้อมูลต่อไปน้ี

คะแนน จ้านวนนักเรียน (f) cf

10 – 14 2 2
7
15 – 19 5 14
22
20 – 24 7 24

25 – 29 8

29 – 34 2

N = 24

หา และ

จากสตู รในการหาควอไทล์

การวดั การกระจายสมั บูรณ์ หน้าท่ี 17

ส่วนเบีย่ งเบนเฉลีย่ (Mean Deviation , M.D.)

เป็นค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลรอบๆ ค่าเฉลี่ย (Mean) โดยการหาค่าเฉลี่ยของผลรวมของ
ผลตา่ งระหว่างคะแนนแต่ละตัวกับค่าเฉลีย่

ถ้าสว่ นเบี่ยงเบนเฉลี่ยมีคา่ มากแสดงว่ามีการกระจายมาก ถ้าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยมีค่าน้อยแสดงว่า
มีการกระจายน้อย

ก่อนทีจ่ ะให้ความหมายของส่วนเบีย่ งเบนเฉลี่ย ขอให้พิจารณาข้อมูลตอ่ ไปนี้

3 4 5 8 10 12

ค่าเฉลีย่ ของขอ้ มลู ชดุ นีค้ ือ x  3  4  5  8  10  12  7
6

ถ้าระยะหา่ งระหว่างค่าจากการสังเกตทุกค่ากบั ค่าเฉลีย่ x จะได้ระยะหา่ งดังตาราง

คา่ จากการสงั เกต ( xi ) x xi  x
3 7 4
4 7 3
5 7 2
8 7 1
10 7 3
12 7 5

N

 xi  x  18

i1

ระยะหา่ งเฉลีย่ ของระยะทางระหว่างค่าจากการสงั เกตกับค่าเฉลีย่ เท่ากับ

N
 xi  x
 18  3
i1

N6

เรียกระยะหา่ งเฉลีย่ 3 ดงั กล่าวว่า ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ของขอ้ มูล

การวดั การกระจายสัมบรู ณ์ หนา้ ท่ี 18

ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูล คือ จานวนจานวนหนึ่งซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของระยะทาง
ระหว่างค่าจากการสงั เกตทุกค่ากับค่าเฉลีย่ เลขคณิตของข้อมลู นั้น กล่าวคือ

ถ้า เป็นข้อมูลที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ แล้วส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
ของขอ้ มูลชุดน้ันคอื

วิธีการหาค่าส่วนเบีย่ งเบนเฉลีย่

สาหรับประชากร

ข้อมูลไม่ได้แจกแจงความถี่ ข้อมูลแจกแจงความถี่

N xi   N fi xi 

M.D.   M.D.  

i1 i1

N N

สาหรับกลุ่มตวั อย่าง

ข้อมูลไม่ได้แจกแจงความถี่ ข้อมลู แจกแจงความถี่

n xi  x n fi xi  x

M.D.   M.D.  

i1 i1

n n

การวัดการกระจายสมั บูรณ์ หนา้ ท่ี 19

ตวั อยา่ ง จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลีย่ ของขอ้ มลู ต่อไปนี้

88 58 56 71 81 80 34 86 46 75 82 35

วิธีทา

หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( x )

x 88+58  56  71+81+80+34+86+46+75+82+35
12

 792
หาส่วนเบีย่ งเบนเฉลีย่ 12
66

N xi  

M.D.  

 i1

N
22  8  10  5  15  14  32  20  20  9  16  31

12
202

12
16.83

ดงั นนั้ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของขอ้ มูล เท่ากับ 16.83

ตัวอย่าง การวัดการกระจายสัมบูรณ์ หน้าท่ี 20

จงหาส่วนเบีย่ งเบนเฉลี่ยของขอ้ มูลในตารางแจกแจงความถี่

ค่าจากการสังเกต (xi) ความถ่ี (fi)
10 3
14 5
20 8
25 10
30 8
36 6

วิธีทา

คา่ จากการสังเกต (xi) ความถ่ี (fi) fixi xi  x fi xi  x
14 42
10 3 30

14 5 70 10 50

20 8 160 4 32

25 10 250 1 10

30 8 240 6 48

36 6 210 11 66

N  40 n n
 fi xi  x  248
 fixi  960 i1
i1

n n
 fixi  fi xi  x
960  248  6.2
x  i1   24 M.D.  i1

N 40 N 40

ดังนน้ั ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของขอ้ มลู เท่ากับ 6.2

การวดั การกระจายสัมบูรณ์ หนา้ ท่ี 21

ตวั อยา่ ง จงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลีย่ ของขอ้ มูลต่อไปนี้

คะแนน ความถ่ี (fi) จุดกึ่งกลาง (xi) fixi xi μ fi xi μ

93 – 97 8 95 760 16 128
88 – 92
83 – 87 9 90 810 11 99
78 – 82
73 – 77 7 85 595 6 42
68 – 72
63 – 67 4 80 320 14
58 – 62
53 – 57 7 75 525 4 28
48 – 52
5 70 350 9 45

4 65 260 14 56

2 60 120 19 38

2 55 110 24 48

2 50 100 29 58

N = 50 n n
 fi xi    546
 fixi  3950 i1
i1

n n
 fixi  fi xi
3950   546
i1 i1
    79 M.D.   10.92
N 50 N 50

ดังนน้ั ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของขอ้ มลู เท่ากบั 10.92

สามารถหา ได้จากวิธีทอนค่า

การวัดการกระจายสัมบรู ณ์ หนา้ ท่ี 22

ข้อสังเกตเก่ยี วกับส่วนเบ่ยี งเบนเฉล่ยี

ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยจะต้องเป็นจานวนจรงิ บวกเสมอ

สมบตั ิข้อนีเ้ ป็นจริงอยา่ งเหน็ ได้ชดั ท้งั น้เี พราะ
และ

จะได้ และ
ดังน้นั นนั่ คือ

ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากบั 0 กต็ ่อเมื่อ
ค่าจากการสงั เกตทุกค่ามคี ่าเท่ากัน และเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล

สมบัตขิ อ้ นี้เปน็ จริง ท้ังน้ีเพราะ สาหรับทุก x ในขอ้ มูล
สาหรบั ทกุ x ในข้อมลู
กต็ อ่ เม่ือ
กต็ อ่ เม่ือ
ก็ตอ่ เม่ือ
กต็ ่อเมอ่ื

การวัดการกระจายสมั บรู ณ์ หนา้ ท่ี 23

ถ้า x เป็นข้อมลู ที่สว่ นเบีย่ งเบนเฉลีย่ เท่ากบั M.D.(x) และ y เป็นข้อมูล
ทีเ่ กิดจากการนาคา่ คงตัว b ไปบวกกับคา่ สังเกตทุกค่าในข้อมูล x
แล้ว ส่วนเบีย่ งเบนเฉลี่ยของข้อมลู y จะสัมพันธ์กบั สว่ นเบี่ยงเบนเฉลีย่ ของ
ข้อมลู x ดงั น้ี

M.D.(y) = M.D.(x)

สมบตั ขิ อ้ น้เี ปน็ จรงิ ทั้งนเ้ี พราะ
ให้

ดังน้ันจากสมบัตคิ ่าเฉล่ยี เลขคณติ จะไดว้ ่า

ดงั นนั้

การวดั การกระจายสมั บรู ณ์ หน้าท่ี 24

ถ้า x เปน็ ข้อมูลทีม่ สี ่วนเบีย่ งเบนเฉลี่ยเท่ากับ M.D.(x) และ y เป็นข้อมลู ใหม่
ที่เกิดจากการนาคา่ คงตวั a ไปคณู กับทุกคา่ ในขอ้ มลู x แล้ว สว่ นเบี่ยงเบน
เฉลี่ยของขอ้ มลู y จะสมั พนั ธ์กบั สว่ นเบี่ยงเบนเฉลี่ยของขอ้ มูล x ดังน้ี
M.D.(y) = |a| M.D.(x)

สมบัตขิ อ้ น้เี ปน็ จริงทั้งนี้เพราะ
ให้

ดงั น้นั จากสมบตั ิค่าเฉล่ยี เลขคณิต จะได้วา่
ดังน้ัน

เน่อื งจากการหาค่า M.D. ไม่คานึงถึงเคร่อื งหมายของผลต่างระหว่างคะแนนแต่ละตัวกับค่าเฉลี่ย แต่เป็น
ค่าสัมบูรณ์ ซ่ึงไม่เหมาะกับการวเิ คราะห์ทางคณติ ศาสตร์ต่อไป จึงไม่เป็นท่ีนิยมใช้ และมีผู้คดิ วัดการ
กระจายท่ีเหมาะสมมากกว่าขึ้นมา คอื วธิ ีการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซ่ึงจะได้กล่าวถึงในหัวข้อต่อไป

การวดั การกระจายสมั บูรณ์ หนา้ ท่ี 25

แบบฝกึ ทักษะท่ี 3
ส่วนเบยี่ งเบนเฉลย่ี

ให้นักเรยี นแสดงวธิ ีทาลงในที่วา่ งทก่ี าหนดไว้ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

1. กาหนดข้อมลู
9 14 6 10 5 12 8 7 8 11
จงหาส่วนเบย่ี งเบนเฉลี่ย

............................................................................................................................. ......................................................
............................................................................................................................................................. ......................
........................................................................................................... ........................................................................
............................................................................................................................. ......................................................
................................................................................................................................. ..................................................
...................................................................................................................................................................................

2. จงหาสว่ นเบีย่ งเบนเฉลย่ี ของข้อมูลต่อไปน้ี จา้ นวนนักเรยี น
คะแนน 2
10 – 14 5
15 – 19 7
20 – 24 8
25 – 29 3
30 – 34

.............................................................................................................................................................. .....................
.............................................................................................................. .....................................................................
............................................................................................................................. ......................................................
................................................................................................................................... ................................................
.................................................................................. .................................................................................................
............................................................................................................................. ......................................................
............................................................................................................................. ......................................................

การวัดการกระจายสัมบรู ณ์ หนา้ ท่ี 26

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 3
ส่วนเบีย่ งเบนเฉลี่ย

1. กาหนดข้อมูล
9 14 6 10 5 12 8 7 8 11
จงหาส่วนเบ่ียงเบนเฉลีย่

หาค่าเฉล่ยี เลขคณติ ( )
หาสว่ นเบ่ยี งเบนเฉลย่ี

ดังน้ัน ส่วนเบย่ี งเบนเฉลย่ี ของข้อมลู เท่ากับ 2.2

2. จงหาสว่ นเบีย่ งเบนเฉลย่ี ของข้อมลู ตอ่ ไปน้ี

fd d คะแนน จา้ นวนนกั เรยี น (f) xi

-4 -2 10 – 14 2 12 11 22
17 5 25
-5 -1 15 – 19 5 22 1 7
27 4 32
0 0 20 – 24 7 32
9 27
8 1 25 – 29 8
6 2 30 – 34 3

N = 25

ดังน้ัน สว่ นเบ่ยี งเบนเฉล่ยี ของข้อมูล เท่ากับ 4.52 คะแนน

การวัดการกระจายสมั บรู ณ์ หนา้ ท่ี 27

สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation, S.D.)

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation : S.D.) เป็นการวัดการกระจายของคะแนนรอบๆ

ค่าเฉลี่ย (Mean) คล้ายๆ กับส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย แต่แก้ปัญหาค่าสัมบูรณ์โดยใช้วิธียกกาลังสอง ค่าผลต่าง

ระหว่างคะแนนแต่ละตัวกบั ค่าเฉลี่ย ทาให้เครื่องหมายลบหมดไปเมือ่ หาค่าเฉลี่ยของผลรวม

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นการวัดการกระจายของข้อมูลที่นักสถิติยอมรับว่าเป็นวิธีที่ใช้วัดการ
กระจายของขอ้ มลู ได้ดที ่สี ุด เมื่อเทียบกบั พิสัย ส่วนเบีย่ งเบนควอร์ไทล์ หรอื ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย เนอ่ื งจาก

1. เป็นการวดั การกระจายทีใ่ ชค้ ่าสงั เกตทุกๆ ค่าของขอ้ มลู มาคานวณ

2. ขจัดปัญหาในเร่อื งของค่าสมั บรู ณ์ให้หมดไป

3. ให้ค่าทีล่ ะเอียดถกู ต้องและเชื่อถอื ได้มากที่สดุ สามารถนาไปใช้วเิ คราะหข์ ้อมูลสถิตขิ ้ันสงู ต่อไป