เมื่อ ดึง แถบ กระดาษ ผ่าน เครื่อง เคาะ สัญญาณ เวลา ได้ ดัง รูป กราฟ ข้อ ใด สอดคล้อง กับ แถบ กระดาษ

ตามนิยามของความเร่ง ซึ่งคือการเปลี่ยนความเร็วต่อเวลา ความเร่งเฉลี่ยย่อมเขียนเป็นสัญลักษณ์ตามสมการต่อไปนี้ คือ

หากเป็นความเร่งเฉลี่ยระหว่างจุด P และ Q ความเร็ว

และ

คือความเร็ว (ขณะใดขณะหนึ่ง) ที่จุด Q และ P ตามลำดับ

ต้องเป็นการลบอย่างเวกเตอร์ นั่นคือ

อาจมีขนาดและทิศเป็นไปตามรูปใดรูปหนึ่งของรูป 2.7

รูป 2.7 การลบอย่างเวกเตอร์แสดงความเร็วที่เปลี่ยนไปในช่วงเวลาที่กำหนด

ขนาดและทิศของความเร็วที่เปลี่ยนไปในช่วงเวลา

แสดงด้วยเวกเตอร์

และเมื่อจุด P และ Q เข้าใกล้กันมากๆ ความเร่งเฉลี่ยกลายเป็นความเร่งขณะใดขณะหนึ่งได้โดย

ตามสัญลักษณ์ของแคลคูลัส มีความหมายดังได้กล่าวมาแล้วดังรูป 2.6 ความเร็วที่เปลี่ยนไปไม่จำเป็นต้องอยู่ในทิศของความเร็วเดิม ซึ่งหมายความว่าความเร่งของการเคลื่อนที่ไม่จำเป็นต้องอยู่ในทิศเดียวกับความเร็ว จะเป็นที่ขณะใดๆ ก็ตาม

แผนภาพเชิงเวกเตอร์ของความเร่งเทียบกับเวกเตอร์ความเร็วที่ขณะหนึ่ง อาจเป็นดังรูป 2.7 ซึ่งโดยทั่วไปความเร่งอาจทำมุมขนาดหนึ่งที่ไม่ตั้งฉากกับความเร็วดังรูป และสามารถจะมองได้ว่า มีองค์ประกอบหนึ่งของความเร่งที่ตั้งฉากกับความเร็ว สมมุติให้เป็น

และมีอีกองค์ประกอบหนึ่งอยู่ในแนวของความเร็วให้เป็น

ทั้งสององค์ประกอบแสดงไว้ในรูป 2.8

รูป 2.8 แผนภาพเชิงเวกเตอร์ของความเร็วและความเร่ง

หลังจากเข้าใจการเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ หรือการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงแล้ว การเคลื่อนที่ในสองมิติเป็นเรื่องที่ไม่ยาก เพราะการเคลื่อนที่ในสองมิติสามารถแยกคิดแบบการเคลื่อนที่หนึ่งมิติในสองทิศที่ตั้งฉากกัน และสามารถนำการคิดสองทางนั้นมาประกอบด้วยกันหรือนำมารวมกันแบบเวกเตอร์ได้ สำหรับการเคลื่อนที่ในสามมิติก็คล้ายกัน เราสามารถคิดแยกเป็นการคิดแบบหนึ่งมิติ ตามแนวของแกนสามแกนที่ตั้งฉากซึ่งกัน คือ ตามแกนของระบบโคออร์ดิเนต XYZ สำหรับการเคลื่อนที่แบบสามมิติ และตามแกนของระบบโคออร์ดิเนต XY สำหรับการเคลื่อนที่ในสองมิติ ต่อไปนี้เราจะพิจารณาการเคลื่อนที่ในสองมิติเป็นตัวอย่าง

ตำแหน่งของวัตถุในสองมิติที่จุด P ที่เวลา

กำหนดได้ด้วยค่า

และ

ทางแกน x และแกน y ตามลำดับ และตำแหน่งของวัตถุนั้นที่เวลา

(จุด Q) สมมติให้เป็น

และ

การกระจัดหรือการเปลี่ยนตำแหน่งระหว่างสองจุดนั้น ให้เป็นไปตามเส้นโค้งดังรูป 2.6

รูป 2.6 แสดงตำแหน่งและการกระจัดของวัตถุในช่วง เวลา

กับ

ความเร็วเฉลี่ยสำหรับการเคลื่อนที่ทาง x คือ

และความเร็วเฉลี่ยสำหรับการเคลื่อนที่ทาง y คือ

เมื่อ

และ

เข้าใกล้กันมากๆ ความเร็วเฉลี่ยก็จะเป็นความเร็วขณะใดขณะหนึ่งเช่นเดียวกับการคิดในหนึ่งมิติ นั่นคือ เราสามารถคิดการเคลื่อนที่ในสองมิติ ในลักษณะที่เป็นการประกอบกันของเวกเตอร์หนึ่งมิติเป็นเวกเตอร์สองมิติ (two dimensional vector) สำหรับการเคลื่อนที่ในสามมิติสามารถคิดแยกตามสามองค์ประกอบของเวกเตอร์สามมิติ ปริมาณเวกเตอร์ (vector quantity) คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศ ปริมาณสเกลาร์ (scalar) เป็นปริมาณที่มีเฉพาะขนาด

การทำงานของเครื่องเคาะสัญญาณเวลา

1. ต่อไฟฟ้า 12 โวลต์ AC จากหม้อแปลงโวลต์ต่ำเข้ากับเครื่องเคาะสัญญาณเวลาดังรูป
2. สอดแถบกระดาษผ่านช่องใต้คันเคาะของเครื่องเคาะสัญญาณเวลาโดยให้อยู่ใต้แผ่นกระดาษคาร์บอน
3. เปิดสวิตซ์ให้เครื่องเคาะสัญญาณเวลาทำงาน แล้วใช้มือดึงแถบกระดาษตรงๆ

เครื่องเคาะสัญญาณเวลาจะเคาะด้วยความถี่ 50 ครั้งต่อวินาที หมายความว่า ใน 1 วินาที เครื่องเคาะ จะเคาะ 50 ครั้ง นั่นคือ เวลาที่ใน 1 ช่วงจุดจะใช้เวลา 1/50 วินาที

การหาความเร็ว ความเร่ง จากเครื่องเคาะสัญญาณเวลา

1. การหาความเร็ว จากเครื่องเคาะสัญญาณเวลา
1.1. การหาความเร็ว ที่จุด A กระทำได้ดังนี้

1.1.1. หาการกระจัด s โดยวัดจาก A ไปทางซ้าย 1 ช่วงจุด ไปทางขวา 1 ช่วงจุด
( แต่ถ้าระยะทางสั้นเกินไป ใช้วัดไปทางซ้าย 2 ช่วงจุดไปทางขวา 2 ช่วงจุด )

แทนค่าในสูตร

1.1.3 หาความเร็ว ใช้สูตร

ตำแหน่ง ความเร็ว ต้องอยู่กึ่งกลางของช่วงที่หาความเร็ว

ข้อสังเกต ถ้า s หน่วยเป็น cm , ความเร็ว v หน่วยเป็น cm/s

1.2. การหาความเร็ว เฉลี่ยจากเครื่องเคาะสัญญาณเวลา

เช่น หาความเร็ว เฉลี่ยระหว่าง XY ต้อง วัดระยะระหว่าง XY และใช้เวลาระหว่าง XY

แทนค่าในสูตร

1. กรอบอ้างอิง (Frames of Reference)
ในการบรรยายการเคลื่อนที่ของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ เราต้องระบุที่ ๆ วัตถุอยู่ ณ เวลาใด ๆ ได้ แต่การที่จะบอกที่ ๆ วัตถุอยู่ได้นั้น เราต้องวัดตำแหน่งของมันเทียบกับอะไรบางอย่างใช่มั้ยครับ? นั่นคือเราต้องการจุดอ้างอิง (reference point) จากสิ่งที่ใช้นิยามตำแหน่งของวัตถุ เมื่อเราเลือกจุดอ้างอิงดังกล่าวได้แล้ว ขอเรียกว่าจุดกำเนิด (origin) นะครับ เราสามารถบอกตำแหน่งของวัตถุได้ เช่น วัตถุนั้นอยู่ห่างไป x ทางทิศตะวันออก และ y ทางทิศเหนือ และด้านบนจุดกำเนิดเป็นระยะทาง z นอกจากนี้เรายังต้องการนาฬิกาที่เราสามารถใช่บอกว่าเวลา t เท่าไรที่วัตถุอยู่ตำแหน่งนั้น ๆ

เมื่อเรามีจุดกำเนิดและทิศทางที่จะใช้วัดระยะห่างจากจุดอ้างอิง และนาฬิกาสำหรับจับเวลา เราพูดว่าเรามีกรอบอ้างอิงหรือเรียกง่าย ๆ ว่าเฟรม (frame)

2. กรอบอ้างอิงเฉื่อย (Inertial Frames)
กฎข้อแรกของนิวตันที่รู้จักกันในนามกฎของความเฉื่อย (Law of Inertia) บอกว่า
1. ถ้าวัตถุอยู่นิ่ง มันจะคงอยู่นิ่งหากไม่มีแรงมากระทำต่อมัน และ
2. ถ้าวัตถุกำลังเคลื่อนที่ มันจะคงการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่หากไม่มีแรงมากระทำต่อมัน
          จริง ๆ แล้วกฎข้อนี้ก็ไม่ถูกต้องเสมอไป! (ประหลาดใจมั้ยล่ะ?) มันขึ้นอยู่ว่าเฟรมไหนที่คุณใช้บรรยายการเคลื่อนที่ของวัตถุ เช่น ถ้าคุณกำลังใช้ตัววัตถุที่กำลังเคลื่อนที่อยู่นั้นเองเป็นจุดกำเนิดของกรอบอ้างอิงของคุณ มันจะอยู่นิ่งตลอดกาลไม่ว่ามีแรงอะไรกำลังกระทำกับมันอยู่ก็ตาม อีกตัวอย่างหนึ่งคือการเคลื่อนที่ของวัตถุภายในยานอวกาศที่อยู่ในวงโคจรรอบโลก พวกมันอยู่นิ่งเมื่อเทียบกับยานอวกาศทั้ง ๆ ที่มีแรงโน้มถ่วงกระทำกับมันอยู่ หรือเอาลูกโบลลิ่งวางไว้ในรถ ตอนที่คุณเร่งรถ มันจะกลิ้งถอยหลัง และตอนที่คุณเบรกมันจะกลิ่งไปหน้าถึงแม้ว่าจะไม่มีแรงกระทำต่อมันในทิศทางนั้นก็ตาม
         ดังนั้น ถ้าเราพูดถึงกฎของความเฉื่อย เราจะสมมติว่ามีเฟรมที่ทำให้กฎนั้นเป็นจริงดำรงอยู่ เฟรมอันนี้แหละครับเรียกว่ากรอบอ้างอิงเฉื่อย (inertial frame) ถ้ากรอบอ้างอิงเฉื่อยหนึ่งมีอยู่จริง กรอบอ้างอิงเฉื่อยอีกนับอนันต์ก็มีอยู่จริง เพราะทุกกรอบที่กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่สัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อยแรกก็เป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อยเช่นกัน
          กรอบที่กฎความเฉื่อยไม่เป็นจริงเป็นกรอบที่กำลังถูกเร่งเทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อย เราเรียกว่ากรอบอ้างอิงไม่เฉื่อย (non-inertial frame)

3. กฎของฟิสิกส์ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย (Laws of Physics in Inertial Frames)
กรอบอ้างอิงเฉื่อยใดก็เหมือนกัน ถ้ามีกรอบอ้างอิงเฉื่อยสองกรอบกำลังเคลื่อนที่สัมพัทธ์กัน ใครจะบอกได้ว่าใครที่กำลังเคลื่อนที่หรือที่ใครที่อยู่นิ่ง? เช่นนั้นกฎทั้งหมดของฟิสิกส์จะต้องเหมือนกันในทุกกรอบอ้างอิงเฉื่อย
พิจารณากรอบอ้างอิงเฉื่อย A มีระบบพิกัด (x,t) กับกรอบอ้างอิงเฉื่อย B มีระบบพิกัด (x’,t’) ซึ่งกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ v ในทิศ x สัมพัทธ์กับ A สิ่งที่เรากำลังบอกคือกฎของฟิสิกส์จะต้องเหมือนกันไม่ว่าคุณจะใช้พิกัด (x,t) ของกรอบอ้างอิง A ในการบรรยายการเคลื่อนที่ของวัตถุ หรือพิกัด (x’,t’) ของกรอบอ้างอิง B ทีนี้ (x,t) กับ (x’,t’) มีความสัมพันธ์กันดังสมการ

x’ = x – vt, t’ = t

ในที่นี้เราสมมติว่านาฬิกาทั้งสองเรือนตั้งค่าไว้ตรงกันนะครับ และจุดกำเนิดของทั้งสองกรอบอยู่ที่จุดเดียวกัน ณ t’ = t = 0 ด้วยการใช้ความสัมพันธ์ดังกล่าว เราสามารถแปลงการสังเกตของผู้สังเกตในกรอบอ้างอิง A ไปเป็นของผู้สังเกตในกรอบอ้างอิง B และในทางกลับกันได้ การกำหนดการแปลงแบบนี้รู้จักกันในนามการแปลงแบบกาลิเลโอ (Galilei transformation)

ดังนั้นใจความสำคัญที่ว่ากฎทางฟิสิกส์จะต้องเหมือนเดิมไม่ว่าจะใช้กรอบอ้างอิงใดในการบรรยายการเคลื่อนที่ของวัตถุสามารถพูดได้ว่า “กฎของฟิสิกส์จะต้องไม่ผันผวนภายใต้การแปลงแบบกาลิเลโอ”
4. กฎข้อที่สองของนิวตัน (Newton’s Second Law)
กฎข้อที่สองของนิวตันเป็นอย่างของกฎที่เป็นจริงในทุกกรอบอ้างอิงเฉื่อย กฎข้อนี้บอกว่าถ้าแรง F กระทำบนวัตถุมวล m แล้วความเร่งของมันแปรตาม F แต่แปรผกผันกับ m พูดอีกอย่างหนึ่งว่า
1. เร่งวัตถุที่หนักกว่าได้ยากกว่า และ
2. ยิ่งออกแรงมาก ก็ยิ่งมีความเร่งมาก
แสดงได้ดังสมการ F = ma
มันง่ายมากที่จะบอกว่าถ้ากฎข้อนี้ถูกต้องในกรอบอ้างอิงเฉื่อย A แล้วมันจะถูกต้องในกรอบอ้างอิงเฉื่อย B ด้วย ทั้งนี้เพราะความสัมพันธ์

x’ = x – vt, t’ = t
บอกกับเราว่าความเร็วของวัตถุที่สังเกตในกรอบ A และ B สัมพันธ์กันโดย
u’ = u – v
ซึ่งหมายความว่าความเร่งมีค่าเท่ากันในทั้งสองเฟรม
a’ = a

หมายเหตุ ถ้าพูดแบบเป๊ะ ๆ 20 ไมล์/ชม. ไม่ใช่ความเร่งนะครับ แต่เป็นการเปลี่ยนแปลงความเร็ว เนื่องจากผู้เขียนเขาไม่ได้บอกช่วงเวลามาให้เห็นว่าตั้งแต่ภาพแรกถึงภาพสุดท้ายนี้มีช่วงเวลาเท่าไร ซึ่งเขาไม่ต้องสนใจ เพราะสมมติฐานระบบนี้คืช่วงเวลาเท่ากัน ดังนั้นถ้าทั้งคู่อยากรู้ความเร่ง ก็จะบอกว่ามีความเร่งเท่ากับ 20 ไมล์/ชม. ต่อหน่วยเวลาที่ความเร็วเปลี่ยนจาก 100 มาเป็น 120 หรือ 40 ไปเป็น 60 ของผู้สังเกตการณ์คนที่หนึ่งและคนที่สองตามลำดับ – ศล
5. กฎของฟิสิกส์ในกรอบอ้างอิงไม่เฉื่อย (Laws of Physics in Non-Inertial Frames)
สำหรับกรอบอ้างอิงไม่เฉื่อย เราใช้กฎข้อที่สองของนิวตันไม่ได้ ตัวอย่างเช่น ยานอวกาศในวงโคจร วัตถุทุกชิ้นในยานอวกาศมีแรงโน้มถ่วงกระทำแต่ไม่มีวัตถุชิ้นใดเลยที่ถูกเร่งสัมพัทธ์กับยานอวกาศ (สภาพเช่นนี้เราเรียกว่าสภาพไร้น้ำหนัก ไม่ใช่สภาพไร้แรงโน้มถ่วงนะครับ ในความเป็นจริง หากไม่มีแรงดึงดูดของโลก ยานอวกาศก็ไม่สามารถอยู่ในวงโคจรรอบโลกได้ ยานอวกาศและวัตถุทั้งหลายที่อยู่ในยานอวกาศกำลังตกลงสู่โลกตลอดเวลา เพียงแต่มัน “ตกเลยขอบ” โลก นั่นทำให้มันไม่หล่นลงดิน)

อย่างไรก็ตาม มันเป็นไปได้ที่ให้ความสัมพันธ์ F = ma ใช้การได้สำหรับกรอบอ้างอิงไม่เฉื่อยโดยการใช้แรง “หลอก” (fake force) สำหรับยานอวกาศ เรามักจะพูดว่าแรงหนีศูนย์กลางต้านแรงดึงดูดทำให้วัตถุไม่โหม่งพื้นโลก (แรงหลอกเช่นแรงหนีศูนย์กลางนี้อาจรู้จักกันในชื่อแรงเฉื่อย-inertial force) จำไว้ให้ดีนะครับ เราจะจัดการกับกรอบอ้างอิงไม่เฉื่อยแตกต่างจากรอบอ้างอิงเฉื่อย
Lecture Notes on Special Relativity
โดย Dr.Tatsu Takeuchi, Department of Physics, Virginia Tech
ศล แปล
หมายเหตุ การแปล lecture notes ชุดนี้ได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรจาก ดร. Tatsu Takeuchi แล้วนะครับ
ที่มา : http://www.bloggang.com/viewblog.php?id=zol&date=19-08-2009&group=10&gblog=131

นักเรียนสามารถทดลองด้วยตัวเองว่า สิ่งของหรือวัตถุต่าง ๆ ไม่ว่าจะมีมวล เท่าใด (ซึ่งถ้าความหนาแน่นมากพอแรงต้าน ของอากาศจะไม่มีผลกระทบมากนัก) จะตกลง สู่พื้นด้วยความเร่งสม่ำเสมอ นั่นคือ ความเร่งมีค่าคงตัวและมีทิศลงในแนวดิ่งเสมอ เรียกได้ว่าค่าความเร่งของการตกอย่างเสรี

การตกอย่างเสรี (free fall) หมายถึง การตกโดย ไม่มีสิ่งใดกีดขวางหรือกระทบ การมีอากาศกระทบระหว่างตกทำให้ไม่ได้ผลดังอุดมคติ แต่อาจพิสูจน์ได้ว่าการมีอากาศไม่ทำให้การตกผิดไปจากอุดมคติมากนักโดยเฉพาะเมื่อความเร็วไม่มาก แต่ถ้าวัตถุตกจากที่สูง วัตถุมีความเร็วมากในช่วงท้ายซึ่งอากาศจะต้าน ทานการเคลื่อนที่มากขึ้น และทำให้ความเร่งผิดไป ความเร่งในการตกของวัตถุลงสู่พื้นโลกเรียกว่า ค่าโน้มถ่วง (gravity) และใช้สัญลักษณ์เป็น g ค่าของความเร่งในจุดต่าง ๆ ของประเทศไทย จะมีค่าระหว่าง 9.780 ถึง 9.785 เมตรต่อวินาทีกำลังสอง ค่านี้ขึ้นกับ ละติจูดของจุดที่ทดลอง ค่าเฉลี่ยของ g ทั่วโลกที่ถือเป็นค่ามาตรฐานคือ 9.8065 เมตรต่อวินาทีกำลังสอง

กรณีที่ความเร่งมีค่าคงตัว (Constant acceleration) นั่นคือ ความเร็วมีการเปลี่ยนแปลงแบบสม่ำเสมอ กราฟของความเร็วที่เพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมออาจเป็นดังรูป ซึ่งกราฟความเร็วกับ เวลาเป็นกราฟเส้นตรง ความชันที่ทุกจุดบนเส้นตรงคือ ความชันของเส้นตรงนั่นเอง

จากกราฟเราสามารถสร้างสมการการเคลื่อนที่แนวเส้นตรง เมื่อความเร่งคงที่ ได้ 4 สมการคือ

สูตรเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกรณีที่ a เป็นค่าคงตัวเท่านั้น

สำหรับการพิสูจน์ที่มาของสมการ นักเรียนสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้ที่ ที่มาของสมการ

ความเร่ง

ความเร่ง คือ ความเร็วที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหน่วยเวลา หรืออัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว
เป็นปริมาณ เวคเตอร์

หรือ

เราสามารถหาค่าของ ความเร่งได้จาก ความชัน (slope)

ถ้าข้อมูลให้เป็นกราฟ ความเร็ว กับ เวลา (V-t)

ความเร่งขณะหนึ่ง คือ ความเร่งในช่วงเวลาสั้น ๆ ในกรณีที่เราหาความเร่ง เมื่อ t เข้าใกล้ศูนย์ ความเร่งขณะนั้นเราเรียกว่าความเร่งขณะหนึ่ง
ถ้าข้อมูลเป็นกราฟ หาได้จาก slope ของเส้นสัมผัส

ความเร่งเฉลี่ย คือ อัตราส่วนระหว่างความเร็วที่เปลี่ยนไปทั้งหมด
กับช่วงเวลาที่เปลี่ยนความเร็วนั้น

กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความเร่ง(a) กับเวลา(t)

ข้อสังเกต
1. วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง วัตถุจะเคลื่อนที่เร็วขึ้นเมื่อเวลาผ่าน

2. วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความหน่วง วัตถุเคลื่อนที่ช้าลงเมื่อเวลาผ่านไป

3. วัตถุเคลื่อนที่ความเร็วคงที่ วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวตลอดการเคลื่อนที่

ตัวอย่างการคำนวณ

1. อนุภาคหนึ่งมีความเร็วของอนุภาคสัมพันธ์กับเวลาดังรูป จงหาความเร่งช่วงเวลา 2 – 6 วินาที
คิดวิเคราะห์ : กราฟระหว่างความเร็ว (v) กับเวลา (t) หาความเร่งได้จาก ความชันของกราฟ

ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง (Instantaneous velocity) ก็คือความเร็วของวัตถุในช่วงเวลาที่ สั้นมากขณะผ่านจุดจุดหนึ่ง หรือที่เวลาใดเวลาหนึ่ง หรือพูดสั้น ๆ เป็นความเร็วในช่วงเวลาที่สั้นมากๆ ซึ่งเราสามารถหาค่าได้โดยการหาจากความเร็วเฉลี่ย ในช่วงเวลาสั้นๆ หรือหาจากความชันของกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างการกระจัด กับเวลา ซึ่งนักเรียนสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากแบบเรียน หรือ http://phchitchai.wbvschool.net/lesson/02_Motion/content04.html

ความเร็วสัมพัทธ์ (Relative Velocity)

การจะบอกว่าวัตถุอยู่ที่ตำแหน่งใดให้ชัดเจน และเป็นที่เข้าใจกันได้เป็นอย่างดี ย่อมต้องมีจุดอ้างอิงและแกนอ้างอิง นั่นคือ มีระบบโคออร์ดิเนตอ้างอิง ถ้ามีผู้สังเกตสองคน ต่างใช้ระบบโคออร์ดิเนตของตนเองและเคลื่อนที่สัมพัทธ์กัน นั่นคือ ระบบหนึ่งมีความเร็ว เมื่อเทียบกับอีกระบบหนึ่ง สิ่งนี้เป็นไปได้เสมอ เมื่อเป็นเช่นนี้ วัตถุที่เห็นอยู่นิ่งในระบบหนึ่ง ก็จะปรากฎในอีกระบบหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ขณะที่รถไฟวิ่งด้วยความเร็วคงตัวผ่านชานชาลา แห่งหนึ่งผู้โดยสารในรถไฟทำของหล่นจากมือลงพื้น ผู้สังเกตในรถไฟเห็นวัตถุนั้นตกลง ด้วยความเร่งในแนวดิ่ง ทั้งนี้เทียบกับตัวเองในรถไฟ ส่วนผู้ที่อยู่บนชานชาลานอกรถไฟ มองผ่านหน้าต่างเห็นว่าวัตถุตกลงเป็นวิถีโค้งแบบโพรเจกไทล์ตัวอย่างของการสังเกตที่ เกี่ยวกับความเร็วสัมพัทธ์เช่น ขณะที่ฝนตก ให้เม็ดฝนมีขนาดที่ทำให้ตกด้วยความเร็วสม่ำเสมอ 10 เมตรต่อวินาที และตกลงในแนวดิ่งในอากาศนิ่ง (สำหรับผุ้สังเกตอยู่นิ่ง) สำหรับผู้สังเกตที่อยู่ในรถยนต์วิ่งด้วยความเร็ว 36 กิโลเมตรต่อชั่วโมง (10 เมตรต่อวินาที) จะเห็นเม็ดฝนตกอย่างไร ซึ่งความเร็วของเม็ดฝนที่เห็นจะเป็นความเร็วสัมพัทธ์กับผู้สังเกตที่เคลื่อนที่นั่นเอง สิ่งที่ลอยอยู่นิ่งในอากาศข้างหน้าของผู้สังเกตที่ออยู่ในรถ ผู้สังเกตย่อมเห็น สิ่งนั้นเคลื่อนที่เข้าหาด้วยความเร็วมีขนาดเท่าที่รถวิ่ง ซึ่งหมายถึงความเร็วในทิศตรงกันข้าม กับการเคลื่อนที่ของตนเอง สิ่งที่อยู่นิ่งด้านข้าง หรือหลังของผู้สังเกตก็จะปรากฎมีความเร็วเช่นเดียวกัน เพราะฉะนั้นผู้สังเกตจึงจะเห็นเม็ดฝนมีความเร็วเดิม บวกด้วยความเร็วมีทิศตรงกันข้ามกับความเร็วของตนเองแต่ขนาดเท่ากัน