ความเร่งมีผลต่อการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ อย่างไร

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (Projectile Motion) เป็นการเคลื่อนที่วิถีโค้งแบบกราฟพาราโบลา โดยสามารถพิจารณาแนวการเคลื่อนที่ได้สองแนวคือ แนวดิ่ง และแนวระดับ โดยการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งจะเป็นการเคลื่อนที่แบบมีความเร่งคงที่ อันเนื่องมาจากความโน้มถ่วงของโลก และการเคลื่อนในแนวระดับจะเป็นการเคลื่อนที่แบบคงตัว หรือความเร่งเป็นศูนย์

จากการทดลองให้ลูกกลมโลหะกลิ้งลงมาตามรางเข้าชนเป้า และทำเครื่องหมายบนกระดาษกราฟให้ตรงกับจุดที่ลูกกลมกระทบเป้า ถ้าเลื่อนเป้าไปหลายตำแหน่ง แล้วลากเส้นผ่านจุดบนกระดาษกราฟ จะได้เส้นทางการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ของลูกกลมโลหะ อุปกรณ์ดังแสดงในรูป 4.2

ถ้ากำหนดให้จุดแรกของการชนบนกรดาษกราฟเป็นจุดกำเนิดของแกน x และ แกน y ดังรูป 4.2 วัดการกระจัด x ในแนวระดับ และการกระจัด y ในแนวดิ่งของจุดต่างๆ แล้วเขียนกราฟระหว่าง y กับx_2 ซึ่งจะได้กราฟเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด
ดังนั้นหรือ

นำเหรียญขนาดเท่ากันมา 2 เหรียญโดยวางเหรียญแรกไว้ที่ขอบโต๊ะ อีกเหรียณหนึ่งวางบนไม้บรรทัดที่วางราบและยื่นออกนอกขอบโต๊ะดังรูป 4.3 ใช้มือหนึ่งกดไม้บรรทัดที่อยู่บนโต๊ะ อีกมือหนึ่งจับไม้บรรทัดอีกอันหนึ่งให้อยู่ในแนวดิ่ง ใช้สันไม้บรรทัดในแนวดิ่งเคาะที่สันไม้บรรทัดที่วางอยู่บนโต๊ะ ให้เคลื่อนที่ไปในแนวระดับอย่างรวดเร็ว ทำให้เหรียญบนไม้บรรทัดตกแบบเสรี และเหรียญที่วางบนโต๊ะเคลื่อนที่ออกไปในแนวระดับจากขอบโต๊ะ ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ดังรูป 4.4 ฟังเสียงที่เหรียญทั้งสองตกกระทบพื้นว่าพร้อมกันหรือไม่ อาจทำซ้ำโดยใช้ความเร็วในการปัดไม้บรรทัดขนาดต่างๆ กัน จะพบว่าเหรียญทั้งสองตกถึงพื้นพร้อมกันจนได้ยินเป็นเสียงเดียวหรือเกือบเป็นเสียงเดียวซึ่งเวลาที่แตกต่างกันน้อยมาก

เหรียญบนโต๊ะที่ถูกปัดด้วยขนาดของแรงไม่เท่ากัน เหรียญหนึ่งจะมีความเร็วเริ่มต้นในแนวระดับต่างกันเหรียญที่มีความเร็วในแนวระดับมาก จะตกถึงพื้นในระยะทางไกลกว่าเหรียญที่มีความเร็วในเร็วระดับน้อยกว่า สำหรับเวลาในการเคลื่อนที่ พบว่าเหรียญที่ตกในแนวดิ่งแบบเสรี และเหรียญที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ตกถึงพื้นพร้อมกันทุกกรณี แสดงว่าช่วงเวลาที่ใช้ในการตกถึงพื้นของเหรียญที่ตกในแนวดิ่งแบบเสรีกับเหรียญที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีค่าเท่ากัน ทำให้สรุปได้ว่า การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ เป็นเช่นเดียวกับการตกในแนวดิ่งและไม่ขึ้นกับความเร็วในแนวระดับของโปรเจกไทล์
ต่อไปทดลองเช่นเดิมแต่โดยเปลี่ยนความสูงของโต๊ะ เวลาที่เหรียญตกถึงพื้นจะเปลี่ยนไป แต่เหรียญทั้งสองก็ยังคงตกถึงพื้นพร้อมกันเช่นเดิม สรุปได้ว่าเหรียญที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จะเคลื่อนที่ตัวด้วยความเร่งเช่นเดียวกับเหรียญที่ตกแบบเสรี และแสดงว่าการเคลื่อนที่ในแนวระดับไม่มีผลต่อการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง หรือกล่าวว่าการเคลื่อนที่ทั้งสองแนวเป็นอิสระต่อกัน
สรุปได้ว่า วัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ มีการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งและแนวระดับพร้อมๆ กัน การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเป็นการเคลื่อนที่เป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงตัวgส่วนการเคลื่อนที่ในแนวระดับเป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวเพราะไม่มีแรงลัพธ์ในแนวระดับกระทำ ในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ เราสามารถพิจารณาการเคลื่อนที่ทั้งสองแนวแยกจากกันได้

    พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุในอากาศ ขณะที่วัตถุลอยในอากาศ มีแรงกระทำต่อวัตถุเพียงแรงเดียว คือ แรงดึงดูดของโลก  

    จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน เราพบว่า เมื่อไม่มีแรงลัพธ์มากระทำต่อวัตถุ วัตถุจะรักษาสภาพการเคลื่อนที่ให้คงที่ ผลคือ วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ 

    ดังนั้น การเคลื่อนที่ในแนวระดับของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ สามารถหาการกระจัดในแนวระดับได้ตามสมการ

เมื่อ Sx =  การกระจัดในแนวระดับ  ( m )

    Ux =  ความเร็วในแนวระดับ  (m/s)

   t   =  ช่วงเวลาของการเคลื่อนที (s)

        การเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
            เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง พบว่า วัตถุมีแรงกระทำในแนวดิ่ง คือ แรงโน้มถ่วงของโลก

            ดังนั้น การเคลื่อนที่ของวัตถุแบบโปรเจกไทล์ในแนวดิ่ง เหมือนวัตถุที่ตกอย่างอิสระทุกประการ ซึ่งสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวดิ่ง คือ

            ความเร็ว   

            การกระจัด

              โดยที่           

2. วัตถุต้องมีความเร็วต้นในแนวระดับ 

3. เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ในแนวระดับ เท่ากับ ในแนวดิ่ง

4. การพิจารณาปริมาณในแนวดิ่ง ปริมาณที่มีทิศตรงข้ามกับความเร็วต้น

5. การคำนวณปริมาณต่างในการเคลื่อนที่ ใช้สมการการเคลื่อนที่เหมือนการเคลื่อนที่ในแนวตรง แต่แยกพิจารณาในแนวดิ่ง (ความเร็วคงที่) และในแนวระดับ (การตกอย่างอิสระ)

การเคลื่อนที่แบบวงกลม

    วัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม บนระนาบใดๆ อัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่งของวัตถุจะคงที่หรือไม่ก็ได้ แต่ความเร็วของวัตถุไม่คงที่แน่นอน เนื่องจากว่ามีการเปลี่ยนทิศาทางของการเคลื่อนที่ ตลอดเวลา ซึ่งเมื่อวัตถุที่มีการเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่แสดงว่า วัตถุนี้ต้องมีองค์ประกอบของแรงมากระทำในทิศทางที่ตั้งฉากกับเส้นทางการเคลื่อนที่ด้วย และกรณีที่การเคลื่อนที่มีอัตราเร็วไม่คงที่ แสดงว่าต้องมีองค์ประกอบของแรงในทิศทางที่ขนานกับแนวการเคลื่อนที่ด้วย พิจารณา รูป

     การเคลื่อนที่เป็นวงกลม ลักษณะการเคลื่อนที่ของวัตถุจะมี  แรงกระทำตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วเสมอตลอดการเคลื่อนที่ วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในแนววงกลม แต่ยังคงมีความเร่งเกิดขึ้น ซึ่งความเร่งจะขึ้นกับการเปลี่ยนเวกเตอร์ความเร็ว ซึ่งเวกเตอร์ความเร็วจะมีทิศสัมผัสกับเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุและมีทิศตั้งฉากกับแนวรัศมีวงกลม เรียกความเร่งชนิดนี้ว่า ความเร่งแนวสัมผัสวงกลม ( aT)  

    เวกเตอร์ความเร่งในการเคลื่อนที่แบบวงกลมจะมีทิศตั้งฉากกับเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุและมีทิศพุ่งเข้าสู่จุดศูนย์กลางวงกลมเสมอ เราเรียกความเร่งนี้ว่า ความเร่งสู่ศูนย์กลาง  (ac )

    คาบ (T)  คือ เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ หรือ วินาทีต่อรอบ (s)

    ความถี่  (f) คือ จำนวนรอบที่เคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา หรือ รอบต่อวินาที  (Hz)

    เมื่อวัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่ คาบ และความถี่จะมีค่าคงที่ โดยคาบและความถี่สัมพันธ์กันโดย

        อัตราเร็วเชิงเส้น (v)   คือ ระยะทางตามแนวเส้นรอบวงของวงกลมที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา ( m/s)

        ความเร่งสู่ศูนย์กลาง  วัตถุที่เคลื่อนที่ เป็นวงกลมจะเกิดความเร่ง 2 แนว คือ ความเร็วแนวเส้นสัมผัสวงกลม และความเร่งแนวรัศมีหรือความเร่งสู่ศูนย์กลาง

        ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่ เช่น วงกลมในแนวระนาบจะเกิดความเร่งสู่ศูนย์กลางเพียงแนวเดียว

        การที่วัตถุมีอัตราเร็วเท่าเดิม แต่ทิศทางเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ย่อมหมายความว่า ต้องมีความเร็วอื่นมาเกี่ยวข้องด้วย ความเร็วที่มาเกี่ยวข้องนี้จะพิสูจน์ได้ว่า มีทิศทางเข้าสู่จุดศูนย์กลางของการเคลื่อนที่ และความเร็วนี้เมื่อเทียบกับเวลาจะเป็นความเร่งซึ่งมีค่า

        การหาแรงที่ทำให้วัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลม 

            จากกฎการเคลื่อนที่ ข้อที่สองของนิวตัน และการเคลื่อนที่แบบวงกลม แรงลัพธ์ที่มากระทำต่อวัตถุกับความเร่งของวัตถุจะมีทิศทางเดียวกัน คือทิศพุ่งเข้าหาจุดศูนย์กลาง ซึ่งเขียนเป็นสมการได้ว่า

        อัตราเร็วเชิงมุม (Angular speed)       

           อัตราเร็วของวัตถุที่ เคลื่อนที่แบบวงกลมที่กล่าวมาแล้วนั้นคือความยาวของเส้นโค้งที่วัตถุเคลื่อน ที่ได้ในเวลา 1 วินาที ซึ่งเราอาจเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า อัตราเร็วเชิงเส้น (v)

           แต่ในที่นี้ยังมีอัตราเร็วอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งเป็นการบอกอัตราการเปลี่ยนแปลงของมุมที่จุดศูนย์กลาง เนื่องจากการกวาดไปของรัศมี ใน 1 วินาที เรียกว่า อัตราเร็วเชิงมุม (w) อ่านว่า โอเมก้า

           นิยามอัตราเชิงมุม (w) คือ มุมที่รัศมีกวาดไปได้ใน 1 วินาทีมีหน่วยเป็น เรเดียน/วินาที

    การบอกมุมนอกจากจะมีหน่วยเป็นองศาแล้ว ยังอาจใช้หน่วยเป็นเรเดียน (radian) โดยมีนิยามว่า มุม 1 เรเดียน มีค่าเท่ากับมุมที่จุดศุนย์กลางของวงกลม ซึ่งมีเส้นโค้งรองรับมุมยาวเท่ากับรัศมี หรือกล่าวได้ว่ามุมในหน่วยเรเดียน คือ อัตราส่วนระหว่างส่วนเส้นโค้งที่รองรับมุมกับรัศมีของวงกลม

           ถ้า a คือ ความยาวองส่วนโค้งที่รองรับมุม

           r   คือ รัศมีของส่วนโค้ง

          q  คือ มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นเรเดียน

        ความสัมพันธ์ระหว่างมุมในหน่วยองศากับเรเดียน

           เมื่อพิจารณาวงกลม พบว่ามุมรอบจุดศูนย์กลางของวงกลมเท่ากับ 360 องศา โดยส่วนโค้งที่รองรับมุมก็คือเส้นรอบวงนั้นเอง

    ดังนั้น สรุปได้ว่า มุม 360 องศา เทียบเท่ากับมุม 2p เรเดียน เมื่อพิจารณาวัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่ครบ 1 รอบพอดี

    ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วเชิงเส้น (v) และอัตราเร็วเชิงมุม (w)

        การเคลื่อนที่ในแนวราบ

            ตัวอย่างการเกิดการเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ

            เชือกเบายาว L ปลายข้างหนึ่งติดวัตถุมวล m อีกปลายตรึงแน่นแกว่งให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ รัศมี r ด้วยอัตราเร็วคงที่ v และเชื่อกทำมุม q กับแนวระดับดังรูป

    ขณะมวล m เคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ ได้รับแรงกระทำ 2 แรงคือ แรงตึงเชือกและน้ำหนังของวัตถุเมื่อแตกแรงต่าง ๆ แล้วจะได้

    พิจารณาลูกกลมโลหะ ซึ่งเคลื่อนที่ตามรางเรียบรูปวงกลมในแนวดิ่ง   โดยเคลื่อนที่รอบด้านในของวงกลม เส้นทางการเคลื่อนที่ของ   ลูกกลมโลหะจะเป็นแนววงกลมในระนาบดิ่ง ทุก ๆ ตำแหน่งที่ลูกกลมโหละจะต้องมีแรงสู่ศูนย์กลาง เพื่อเปลี่ยนทิศทางความเร็วของลูกกลมโลหะ   ให้เคลื่อนที่เป็นวงกลม แรงสู่ศูนย์กลางนี้เกิดจากรางออกแรงดันลูกกลมโลหะ ซึ่งเป็นแรงปฏิกิริยาของรางที่โต้ตอบกับแรงที่ลูกกลมโลหะ ออกแรงดันราง และแรงสู่ศูนย์กลางบางช่วงจะมาจากแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อลูกกลมโลหะ

    ในกรณีลูกกลมโลหะมวล m อยู่ ณ ตำแหน่งล่างสุดของรางที่มีรัศมีความโค้ง r  ให้แรงที่รางดันลูกกลมโลหะในแนวตั้งฉากกับผิวของรางเท่ากับ F และแรงที่โลกดึงดูดลูกกลม คือ mg แรงลัพธ์ของแรงทั้งสองคือ แรงสู่ศูนย์กลาง

    ถ้าลูกกลมอยู่ ณ ตำแหน่งสูงสุด จะได้

การเคลื่อนที่บนทางโค้ง      

          ขณะรถเลี้ยวโค้ง บนถนนโค้งราบ ซึ่งมีแนวทางการเคลื่อนที่ เป็นส่วนโค้งของวงกลมดังรูป ดังนั้นต้องมีแรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อวัตถุ

         เมื่อพิจารณาแรงกระทำต่อรถในแนวระดับพบว่าขณะรถเลี้ยว พยายามไถลออกจากโค้ง จึงมีแรงเสียดทาน ที่พื้นกระทำต่อล้อรถในทิศทาง พุ่งเข้าในแนวผ่านศูนย์กลางความโค้ง

        ดังนั้น แรงเสียดทาน = แรงสู่ศูนย์กลาง

    ถ้ารถเลี้ยวด้วยอัตราเร็วสูงสุดได้ปลอดภัย

    การหามุมเอียงของรถจักรยานยนต์ขณะเลี้ยว

          ขณะเลี้ยวรถแรงกระทำต่อ รถมี mg, N และ f ซึ่งแรง N และ f รวมกันได้ เป็นแรงลัพธ์ R C.M. จะก่อให้เกิดโมเมนต์ ทำให้รถคว่ำขณะเลี้ยวดังรูป ถ้าไม่ต้องการให้รถคว่ำต้องเอียงรถ ให้จุดศูนย์กลางของมวล ผ่านแนวแรง R ขณะเลี้ยว รถจึงเลี้ยวได้โดยปลอดภัยไม่พลิกคว่ำดังรูป

    รูปแสดงแรงกระทำต่อรถจักรยานยนต์ขณะเลี้ยวบนถนนโค้งราบ  ถ้าเลี้ยวรถรถด้วยอัตราเร็วสูงสุด พบว่า

    ไม่ว่ารถจักรยานยนต์เลี้ยวโค้งแล้วเอียงรถ หรือ รถจักรยานยนต์ เลี้ยวโค้งบนพื้นเอียงลื่น มุม q ที่เกิดจากการเอียงของทั้งสองกรณีคือมุมเดียวกัน ใช้สูตรเดียวกันคือ

การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย

        การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย(Simple Harmonic Motion : SHM) เป็นการเคลื่อนที่แบบเป็นคาบอย่างหนึ่ง คือ เคลื่อนที่กลับไปมาซ้ำทางเดิมโดยผ่านตำแหน่งสมดุล และมีคาบของการเคลื่อนที่คงตัว เช่น การเคลื่อนที่ของวัตถุติดปลายสปริง เป็นต้น

        ความถี่ (f) คือ จำนวนรอบของการเคลื่อนที่ใน 1 วินาที หน่วยเป็น เฮิรตซ์ (Hz)

        คาบ (T) คือ เวลในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ หน่วยเป็นวินาที (s)

    ความถี่และคาบมีความสัมพันธ์กันตามสมการ  

    การกระจัด x ในรูปฟังก์ชั่นของเวลา t ของ SHM เขียนได้เป็น

    

เป็นการกระจัดสูงสุดหรือแอมพิจูด 

   

เป็นความถี่เชิงมุมมีค่าเท่ากับ      

หรือ  

  

   เป็นค่าคงตัวทางเฟสหมายถึงเฟสเริ่มต้น

    จากรูป หากอนุภาคเริ่มเคลื่อนที่จากตำแหน่งสมดุล ( x = 0) ซึ่งมีลักษณะเช่นเดียวกับกราฟของ

    จะได้สมการการเคลื่อนที่แบบ SHM รูปทั่วไปเป็น 

    ลักษณะสำคัญประการหนึ่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่าง่ายคือ การมีความเร่งแปรผันตรง กับการ กระจัด  แต่มีทิศตรงกันข้าม โดยทิศของความเร่งจะเป็นทิศเดียวกับเรง และแรงจะต้องเป็นแรงเข้าหาจุดสมดุลในณะที่การกระจัดมีทิศออกไปจากจุดสมดุล ดังสมการ

วัตถุติดปลายสปริง

    เมื่อทดลองวัตถุติดปลายสปริงเราจะพบว่าวัตถุมีการเคลื่อนที่ผ่านตำแหน่งสมดุลไปมา ถือเป็น การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายประเภทหนึ่งดังรูป

ความเร่งมีผลต่อโพรเจกไทล์อย่างไร

ลักษณะสําคัญของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์คืออะไร

การเคลื่อนที่แบบวงกลมคืออะไร และมีลักษณะอย่างไร

มีแรงเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์อย่างไร