การประยุกต์ การหาค่า สูงสุด และค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน

�Ť����

��û���ء��͹ؾѹ����С���Թ�ԡ���

        ����Ҥ���٧�ش��е���ش

�����  ��� f �繿ѧ��ѹ����ǧ I ��� t Î I

1. ��Ҩ����¡ f(t) �������٧�ش����ѷ�� (relative maximum) �ͧ f ���ش t ��������� �ըӹǹ�ǡ h ������� f(x) £ f(t) �ء � x Î (t-h,t+h) ������¡�ش (t,f(t)) ��� �ش�٧�ش����ѷ���ͧ f

2. ��Ҩ����¡ f(t) �����ҵ���ش����ѷ�� (relative minimum) �ͧ f ���ش t ��������� �ըӹǹ�ǡ h ������� f(x) ≥ f(t) �ء � x Î (t-h,t+h) ������¡�ش (t,f(t)) ��� �ش����ش����ѷ���ͧ f

3. ��Ҩ����¡ f(t) �������٧�ش�����ó� (absolute maximum) �ͧ f �� I ��������� f(x) £ f(t) �ء � x Î I ������¡�ش (t,f(t)) ����ش�٧�ش�����ó��ͧ f

4. ��Ҩ����¡ f(t) �����ҵ���ش�����ó� (absolute minimum) �ͧ f �� I ��������� f(x) ≥ f(t) �ء � x Î I ������¡�ش (t,f(t)) ����ش����ش�����ó��ͧ f

       
       ����Ҥ���٧�ش��Ф�ҵ���ش�Ըշ�� 1
 (����͹ؾѹ���ѹ�Ѻ 1)

   ��ɮպ���� f �繿ѧ��ѹ������ͧ��� t ��� f’(t) = 0 ���� f’(t) �Ҥ������� ����ժ�ǧ (a,b) ��� t Î (a,b) ��з���� f’(x) > 0 ����� x Î (a,t) ��� f’(x) < 0 ����� x Î (t,b) ���� f(t) ��������٧�ش����ѷ���ͧ f ���ش t

   ���٨�� ���ͧ�ҡ f �繿ѧ��ѹ������ͧ��� t ���Щй�� f ��������ش t ��������ժ�ǧ (a,t) ������� f’(x) > 0 ����� x Î (a,t)

������� f ���繿ѧ��ѹ������ [a,t] ��� f(t) > f(x) ' x Î [a,t)

�ժ�ǧ (t,b) ������� f’(x) < 0 ����� x Î (t,b)

������� f ���繿ѧ��ѹŴ�� [t,b] ��� f(t) > f(x) ' x Î (t,b]

�ѧ��� f(t) > f(x) ' x ≠ t ��� x Î [a,b]

��蹤�� f(t) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش t

   ��ɮպ�  ��� f �繿ѧ��ѹ��������ͧ��� t ��� f’(t) = 0 ���� f’(t) �Ҥ������� ����ժ�ǧ (a,b) ��� t Î (a,b) ����� f’(x) < 0 ����� x Î (a,t) ��� f’(x) > 0 ����� x Î (t,b) ���� f(t) ������ҵ���ش����ѷ���ͧ f ���ش t �֧������ f’(t) ���Ҥ������� f(t) ���繤���٧�ش (���͵���ش) ���� �ѧ��ѹ f ��ٻ f’(t) �դ�������� ∞ ��蹤�� f’(t) �Ҥ������� �� f(t) �繤���٧�ش

��� f(t) ���������٧�ش����ѷ�� ��Ҩ����¡��� ��ҷ���ش (extreme value) ���� extremum �ͧ f

��� f ������� f’(t) = 0 ���� f’(t) �Ҥ������� �����¡��� ����ԡĵ (critical value)

       �Ըա���Ҥ���٧�ش����ѷ����Ф�ҵ���ش����ѷ��
(����͹ؾѹ���ѹ�Ѻ 1)

1. �Ҥ�� f’( t)

2. �Ҥ���ԡĵ t ��

2.1 ��� f’(t) = 0 㹡óշ�� f’(t) �Ҥ����

2.2 ��� = 0 㹡óշ�� f’(t) �Ҥ�������

3. �ӡ�÷��ͺ����ԡĵ t

3.1 ��� f’(x) > 0 ����� x < t ���

f’(x) < 0 ����� x > t

���� f(t) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش a

3.2 ��� f’(x) < 0 ����� x < t ���

f’(x) > 0 ����� x > t

���� f(t) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش t

(��� x ��� x < t ���� x > t �е�ͧ�繤�ҷ����¡��������ҡ���� t ��§��硹�����ҹ�� �����繤�ҷ��������� � t ����ͧ)

   ������ҧ 1
���Ҥ���٧�ش����ѷ����е���ش����ѷ��ͧ�ѧ��ѹ f ����������

f(x) = 2x3 + 4x2 – 8x + 1

�Ըշ� ������� f’(x) = 6x2 + 8x – 8

��� f’(t) = 0

���Щй�� 6t2 – 8t – 8 = 0

(3t - 2)(t + 2) = 0

t = ���� -2

������� f’() = 0, f’(x) < 0 ����� x Î (0,)

��� f’(x) > 0 ����� x Î (,1)

���Щй�� f() ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش

������� f’(-2) = 0, f’(x) > 0 ����� x Î (-3,-2)

��� f’(x) < 0 ����� x Î (-2,-1)

���Щй�� f(-2) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش -2

   ������ҧ 2 ���Ҥ���٧�ش����ѷ����е���ش����ѷ��ͧ�ѧ��ѹ f ����������

f(x) =

�Ըշ� ������� f’(x) =

= =

��� f’(t) = 0 ������� t = -2

�������� ����� t = 0, f’(t) ���Ҥ�������

���Щй�� ����ԡĵ�����ͧ��� ��� -2, 0

������� f’(-2) = 0, f’(x) > 0 ����� x Î (-3,-2)

��� f’(x) < 0 ����� x Î (-2,0)

���Щй�� f(-2) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش -2

������� f’(0) �Ҥ������� f’(x) < 0 ����� x Î (-2,0)

��� f’(x) > 0 ����� x Î (0,1)

���Щй�� f(0) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش 0

�ش����ش����ѷ�� ��� (0,0)


       ����Ҥ���٧�ش��е���ش�Ըշ�� 2 (����͹ؾѹ���ѹ�Ѻ 2)

   ��ɮպ���� f �繿ѧ��ѹ����ǧ I ��� t Î I ��� f’(t) = 0 ��� f(t) �Ҥ����

1. ��� f”(t) > 0 ���� f(t) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ��� t

2. ��� f”(t) < 0 ���� f(t) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ��� t

���٨�� ��� 1. �ҡ������ͧ f”

f”(t) = =

������� f”(t) > 0 ���ժ�ǧ�Դ J ��� t Î J ���

> 0

�ء � x ¹ t � J

��蹤�� f’(x) – f’(t) < 0 ����� x – t < 0

��� f’(x) – f’(t) > 0 ����� x – t > 0

�� f’(t) = 0

f’(x) < 0 ����� x < t

��� f’(x) > 0 ����� x > t

f(t) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ��� t

��� 2. ���٨����ѡɳ����ǡѹ

   ����ѧࡵ���ͧ �ҡ��ɮպ���������Ƕ֧ �óշ�� f”(t) = 0 �ѧ��� ��� f”(t) = 0 �֧��ػ��������� ������¶֧���Ըչ�鷴�ͺ����� ����Ѻ����Ըշ��ͺ�Ըշ�� 1

       �Ըա���Ҥ���٧�ش����ѷ�� ��Ф�ҵ���ش����ѷ���Ըշ�� 2 (����͹ؾѹ���ѹ�Ѻ 2)

1. �Ҥ�� f’(x), f”(x)

2. �Ҥ���ԡĵ t ��

   2.1 ��� f’(t) = 0 ������Ҥ�� f’(t) ��

   2.2 ��� = 0 ������Ҥ�� f’(t) �����

3. ���ͺ����ԡĵ t

   3.1 ��� f”(t) < 0 ���� f(t) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش t

   3.2 ��� f”(t) > 0 ���� f(t) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش t

   3.3 ��� f”(t) = 0 ���� ���Ҥ���٧�ش���͵���ش����ѷ�����Ըչ�����������Ѻ���

         �Ըշ�� 1

    ������ҧ 3 ���Ҥ���٧�ش����ѷ�� ��е���ش����ѷ��ͧ�ѧ��ѹ f ���������� f(x) = x4

 �Ըշ� f’(x) = 4x3

��� f’(t) = 0

4t3 = 0

t = 0

f”(x) = 12x2

f”(0) = 0

��蹤�����Ըշ�� 2 ���ͺ����� ��ͧ���Ըշ�� 1 ���ͺ �ѧ���

���ͧ�ҡ f’(0) = 0, f’(x) < 0 ����� (-1,0)

��� f’(x) > 0 ����� (0,1)

���Щй�� f(0) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش 0

  
   ������ҧ 4
���Ҥ���٧�ش����ѷ�� ��е���ش����ѷ��ͧ�ѧ��ѹ f ����������

f(x) = x3 - x2 – 18x +

�Ըշ� f’(x) = 3x2 – 15x – 18

f”(x) = 6x – 15

��� f’(t) = 0

3t2 – 15t – 18 = 0

(3t + 3)(t – 6) = 0

t = -1, 6

������� f’(-1) = 0 ��� f”(-1) = -21 < 0

���Щй�� f(-1) = 11 ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش -1 ��Шش�٧�ش����ѷ���� (-1,11)

������� f’(6) = 0 ��� f”(6) = 21 > 0

���Щй�� f(6) = ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش 0 ��Шش����ش����ѷ���� (6, )


   ������ҧ 5
���Ҥ���٧�ش����ѷ�� ��е���ش����ѷ��ͧ�ѧ��ѹ f ����������

f(x) = x + ����� x ¹ 0

�Ըշ� f’(x) = 1 - =

f”(x) =

��� f’(t) = 0

t2 – 4 = 0

t = 2, -2

������� f’(2) = 0 ��� f”(2) = 1 > 0 �ٻ��� 8.1.5

���Щй�� f(2) = 4 ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش 2

������� f’(-2) = 0 ��� f”(-2) = -1 < 0

���Щй�� f(-2) = - 4 ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش - 2

 (�������� ����٧�ش����ѷ�� �����繵�ͧ�դ���ҡ���Ҥ�ҵ���ش����ѷ��)


��ҧ�ԧ : http://home.npru.ac.th/teerawat/Cal1_Web/chap81.htm


ʶҹ� : ���������
����ͧ����Ѵ��ФǺ���