�Ť���� ��û���ء��ؾѹ����С���Թ�ԡ��� ����Ҥ���٧�ش��е���ش ����� ��� f �繿ѧ��ѹ����ǧ I ��� t Î I 1. ��Ҩ����¡ f(t) �������٧�ش����ѷ�� (relative maximum) �ͧ f ���ش t ��������� �ըӹǹ�ǡ h ������� f(x) £ f(t) �ء � x Î (t-h,t+h) ������¡�ش (t,f(t)) ��� �ش�٧�ش����ѷ���ͧ f 2. ��Ҩ����¡ f(t) �����ҵ���ش����ѷ�� (relative minimum) �ͧ f ���ش t ��������� �ըӹǹ�ǡ h ������� f(x) ≥ f(t) �ء � x Î (t-h,t+h) ������¡�ش (t,f(t)) ��� �ش����ش����ѷ���ͧ f 3. ��Ҩ����¡ f(t) �������٧�ش�����ó� (absolute maximum) �ͧ f �� I ��������� f(x) £ f(t) �ء � x Î I ������¡�ش (t,f(t)) ����ش�٧�ش�����ó��ͧ f 4. ��Ҩ����¡ f(t) �����ҵ���ش�����ó� (absolute minimum) �ͧ f �� I ��������� f(x) ≥ f(t) �ء � x Î I ������¡�ش (t,f(t))
����ش����ش�����ó��ͧ f ��ɮպ���� f �繿ѧ��ѹ������ͧ��� t ��� f’(t) = 0 ���� f’(t) �Ҥ������� ����ժ�ǧ (a,b) ��� t Î (a,b) ��з���� f’(x) > 0 ����� x Î (a,t) ��� f’(x) < 0 ����� x Î (t,b) ���� f(t) ��������٧�ش����ѷ���ͧ f ���ش t ���٨�� ���ͧ�ҡ f �繿ѧ��ѹ������ͧ��� t ���Щй�� f ��������ش t ��������ժ�ǧ (a,t) ������� f’(x) > 0 ����� x Î (a,t) ������� f ���繿ѧ��ѹ������ [a,t] ��� f(t) > f(x) ' x Î [a,t) �ժ�ǧ (t,b) ������� f’(x) < 0 ����� x Î (t,b) ������� f ���繿ѧ��ѹŴ�� [t,b] ��� f(t) > f(x) ' x Î (t,b] �ѧ��� f(t) > f(x) ' x ≠ t ��� x Î [a,b] ��蹤�� f(t) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش t
��ɮպ� ��� f �繿ѧ��ѹ��������ͧ��� t ��� f’(t) = 0 ���� f’(t) �Ҥ������� ����ժ�ǧ (a,b) ��� t Î (a,b) ����� f’(x) < 0 ����� x Î (a,t) ��� f’(x) > 0 ����� x Î (t,b) ���� f(t) ������ҵ���ش����ѷ���ͧ f ���ش t �֧������ f’(t) ���Ҥ������� f(t) ���繤���٧�ش (���͵���ش) ���� �ѧ��ѹ f ��ٻ f’(t) �դ�������� ∞ ��蹤�� f’(t) �Ҥ������� �� f(t) �繤���٧�ش ��� f �������
f’(t) = 0 ���� f’(t) �Ҥ������� �����¡��� ����ԡĵ (critical value) 1. �Ҥ�� f’( t) 2. �Ҥ���ԡĵ t �� 2.1 ��� f’(t) = 0 㹡óշ�� f’(t) �Ҥ���� 2.2 ��� = 0 㹡óշ�� f’(t) �Ҥ������� 3. �ӡ�÷��ͺ����ԡĵ t 3.1 ��� f’(x) > 0 ����� x < t ��� f’(x) < 0 ����� x > t ���� f(t) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش a 3.2 ��� f’(x) < 0 ����� x < t ��� f’(x) > 0 ����� x > t ���� f(t) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش t (��� x ��� x < t ���� x > t �е�ͧ�繤�ҷ����¡��������ҡ���� t ��§��硹�����ҹ�� �����繤�ҷ��������� � t ����ͧ) f(x) = 2x3 + 4x2 – 8x + 1 �Ըշ� ������� f’(x) = 6x2 + 8x – 8 ��� f’(t) = 0 ���Щй�� 6t2 – 8t – 8 = 0 (3t - 2)(t + 2) = 0 t = ���� -2 ������� f’() = 0, f’(x) < 0 ����� x Î (0,) ��� f’(x) > 0 ����� x Î (,1) ���Щй�� f() ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش ������� f’(-2) = 0, f’(x) > 0 ����� x Î (-3,-2) ��� f’(x) < 0 ����� x Î (-2,-1) ���Щй�� f(-2) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش -2 ������ҧ 2 ���Ҥ���٧�ش����ѷ����е���ش����ѷ��ͧ�ѧ��ѹ f ���������� f(x) = �Ըշ� ������� f’(x) = = = ��� f’(t) = 0 ������� t = -2 �������� ����� t = 0, f’(t) ���Ҥ������� ���Щй�� ����ԡĵ�����ͧ��� ��� -2, 0 ������� f’(-2) = 0, f’(x) > 0 ����� x Î (-3,-2) ��� f’(x) < 0 ����� x Î (-2,0) ���Щй�� f(-2) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش -2 ������� f’(0) �Ҥ������� f’(x) < 0 ����� x Î (-2,0) ��� f’(x) > 0 ����� x Î (0,1) ���Щй�� f(0) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش 0 �ش����ش����ѷ�� ��� (0,0) ����Ҥ���٧�ش��е���ش�Ըշ�� 2 (����ؾѹ���ѹ�Ѻ 2) ��ɮպ���� f �繿ѧ��ѹ����ǧ I ��� t Î I ��� f’(t) = 0 ��� f(t) �Ҥ���� 1. ��� f”(t) > 0 ���� f(t) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ��� t 2. ��� f”(t) < 0 ���� f(t) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ��� t ���٨�� ��� 1. �ҡ������ͧ f” f”(t) = = ������� f”(t) > 0 ���ժ�ǧ�Դ J ��� t Î J ��� > 0 �ء � x ¹ t � J ��蹤�� f’(x) – f’(t) < 0 ����� x – t < 0 ��� f’(x) – f’(t) > 0 ����� x – t > 0 �� f’(t) = 0 f’(x) < 0 ����� x < t ��� f’(x) > 0 ����� x > t f(t) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ��� t ��� 2. ���٨����ѡɳ����ǡѹ ����ѧࡵ���ͧ �ҡ��ɮպ���������Ƕ֧ �óշ�� f”(t) = 0 �ѧ��� ��� f”(t) = 0 �֧��ػ��������� ������¶֧���Ըչ�鷴�ͺ����� ����Ѻ����Ըշ��ͺ�Ըշ�� 1 �Ըա���Ҥ���٧�ش����ѷ�� ��Ф�ҵ���ش����ѷ���Ըշ�� 2 (����ؾѹ���ѹ�Ѻ 2) 1. �Ҥ�� f’(x), f”(x) 2. �Ҥ���ԡĵ t �� 2.1 ��� f’(t) = 0 ������Ҥ�� f’(t) �� 2.2 ��� = 0 ������Ҥ�� f’(t) ����� 3. ���ͺ����ԡĵ t 3.1 ��� f”(t) < 0 ���� f(t) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش t 3.2 ��� f”(t) > 0 ���� f(t) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش t 3.3 ��� f”(t) = 0 ���� ���Ҥ���٧�ش���͵���ش����ѷ�����Ըչ�����������Ѻ��� �Ըշ�� 1 ������ҧ 3 ���Ҥ���٧�ش����ѷ�� ��е���ش����ѷ��ͧ�ѧ��ѹ f ���������� f(x) = x4 �Ըշ� f’(x) = 4x3 ��� f’(t) = 0 4t3 = 0 t = 0 f”(x) = 12x2 f”(0) = 0 ��蹤�����Ըշ�� 2 ���ͺ����� ��ͧ���Ըշ�� 1 ���ͺ �ѧ��� ���ͧ�ҡ f’(0) = 0, f’(x) < 0 ����� (-1,0) ��� f’(x) > 0 ����� (0,1) ���Щй�� f(0) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش 0 f(x) = x3 - x2 – 18x + �Ըշ� f’(x) = 3x2 – 15x – 18 f”(x) = 6x – 15 ��� f’(t) = 0 3t2 – 15t – 18 = 0 (3t + 3)(t – 6) = 0 t = -1, 6 ������� f’(-1) = 0 ��� f”(-1) = -21 < 0 ���Щй�� f(-1) = 11 ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش -1 ��Шش�٧�ش����ѷ���� (-1,11) ������� f’(6) = 0 ��� f”(6) = 21 > 0 ���Щй�� f(6) = ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش 0 ��Шش����ش����ѷ���� (6,
)
f(x) = x + ����� x ¹ 0 �Ըշ� f’(x) = 1 - = f”(x) = ��� f’(t) = 0 t2 – 4 = 0 t = 2, -2 ������� f’(2) = 0 ��� f”(2) = 1 > 0 �ٻ��� 8.1.5 ���Щй�� f(2) = 4 ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش 2 ������� f’(-2) = 0 ��� f”(-2) = -1 < 0 ���Щй�� f(-2) = - 4 ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش - 2 (�������� ����٧�ش����ѷ�� �����繵�ͧ�դ���ҡ���Ҥ�ҵ���ش����ѷ��)
|