ข อสอบ gsp ม ปลาย กราฟ พร อม เฉลย pdf

1. เนื้อหาตามหลักสูตรใหม่ครบทุกบทเรียน ม.4-5-6 * โจทย์แบบฝึกหัดเตรียมความพร้อมกว่า 2,000 ข้อ * ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย 12 ปีลาสุด (2541-2552) ่ * พร้อมเฉลยคําตอบ วิธคด และเรืองที่น่ารู้อกมากมาย.. ี ิ ่ ี เหมาะสําหรับเตรียมสอบประจําภาค ม.4-5-6 สอบโควตารับตรง และสอบเข้ามหาวิทยาลัย Release 2.5เซต ตรรกศาสตร์/การให้เหตุผลระบบจํานวนจริง/ทฤษฎีจํานวนเรขาคณิตวิเคราะห์ความสัมพันธ์/ฟังก์ชน ตรีโกณมิติ ัเอกซ์โพเนนเชียล/ลอการิทึมเมทริกซ์ เวกเตอร์ จํานวนเชิงซ้อนลําดับ/อนุกรม แคลคูลัสความน่าจะเป็น สถิติกําหนดการเชิงเส้น ทฤษฎีกราฟ คณิต มงคลพิทักษ์สุข kanuay@hotmail.com //math.kanuay.com วศ.บ. ไฟฟ้า จุฬาฯ (เกียรตินิยม) facebook.com/MathEBook
2. คณิต มงคลพิทักษ์สุข(kanuay@hotmail.com)เผยแพร่ที่เว็บไซต์ //math.kanuay.com และ thaiware.comRelease 1.0 – 1.8 มีนาคม 2547 – มิถุนายน 2548Release 2.0 – 2.2.04 ตุลาคม 2548 – เมษายน 2550Release 2.9 preview พฤษภาคม 2551 – ธันวาคม 2551Release 2.5 มีนาคม 2554Release 2.0 ตีพิมพ์จําหน่ายโดยสํานักพิมพ์ Science Centerครั้งที่ 1 – 3 ธันวาคม 2548 – กุมภาพันธ์ 2550 ชื่อปก “คณิตศาสตร์ O-NET & A-NET”ครั้งที่ 4 มีนาคม 2552 ชื่อปก “คณิตศาสตร์ O-NET & PAT1”เอกสาร Math E-Book ทั้งรุ่นล่าสุดและรุ่นเดิมที่เคยเผยแพร่ทั้งหมดเป็นผลงานเรียบเรียงของนายคณิต มงคลพิทักษ์สข ุและได้รับการคุ้มครองตามกฎหมาย (พระราชบัญญัติลิขสิทธิ์ พ.ศ.2537)อนุญาตให้ใช้อานส่วนบุคคลเท่านั้น ไม่อนุญาตให้แก้ไขเปลี่ยนแปลงส่วนใดทั้งสิ้น ่และหากผู้ใดต้องการเผยแพร่ ไม่ว่าส่วนใดของเอกสารนี้ เพื่อวัตถุประสงค์ใดก็ตามกรุณาแจ้งให้พิจารณาและยินยอมเป็นลายลักษณ์อักษรก่อน. ผลงาน Math E-Book แจกให้ใช้อานส่วนบุคคลได้ฟรีมาเป็นเวลา 7 ปีแล้ว และยืนยันว่าจะ ่ยังคงแจกฟรีตลอดไปครับ ..แต่อย่างไรก็ตาม ในการพัฒนาและเผยแพร่ Math E-Book นั้น ย่อมมีต้นทุนทั้งเรื่องเวลาและค่าใช้จ่ายหลายด้าน คุณผู้อานทุกท่านที่เห็นว่าผลงาน Math E-Book มีประโยชน์ต่อสังคม สามารถให้ความ ่สนับสนุนได้ง่ายๆ ครับ โดยอุทิศเงินเพียงเล็กน้อย ตามความประสงค์ มาที่บัญชีออมทรัพย์ธ.กสิกรไทย เลขที่ 738-2-19360-6 ชื่อเจ้าของบัญชี คณิต มงคลพิทักษ์สุข นอกจากจะเป็นการทําความดีร่วมกันแล้ว ท่านทีแจ้งรหัสการนําฝากหรือโอน มายังอีเมล ่kanuay@hotmail.com จะได้รับของตอบแทนน้ําใจจากผมด้วยครับ ..และขอรับรองว่าเงินสนับสนุนของท่านจะไม่เสียเปล่าอย่างแน่นอน!
3. ภายในหนังสือเล่มนี้ประกอบด้วย เนื้อหาคณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พ.ศ.2551 ระดับชั้น ม.4 – ม.6 ครบทุกหัวข้อ (ซึ่งพยายามเขียนให้กระชับทีสุด) และ ่โจทย์แบบฝึกหัด ที่เรียงลําดับจากง่ายไปยาก พร้อมทั้งเนื้อหาและเทคนิคการคํานวณที่ควรทําความเข้าใจเพิ่มเติม โดยเนื้อหาบางบทเรียนสามารถเริ่มศึกษาได้ทันที แต่บางบทเรียนก็ต้องอาศัยพื้นฐานความรู้จากบทเรียนอืนประกอบด้วย ดังนั้นเพื่อป้องกันการสับสนผู้อ่านควรศึกษา ่ทําความเข้าใจเรียงตามหัวข้อดังแผนภาพนี้ ตรรกศาสตร์ เซต ระบบจํานวนจริง ความน่าจะเป็น เมทริกซ์ ทฤษฎีกราฟ กลุ่มพื้นฐาน ฟังก์ชัน เรขาคณิตวิเคราะห์ เวกเตอร์ กลุ่มเพิ่มเติม กําหนดการเชิงเส้น จํานวนเชิงซ้อน ตรีโกณมิติ สถิติ ลําดับ/อนุกรม แคลคูลัส เอกซ์โพ/ลอการิทึม ตอนท้ายของหนังสือเล่มนี้ยังได้ผนวก ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์12 ปีล่าสุด (2541 – 2552) และวิชาความถนัดทางวิศวกรรม (เฉพาะข้อที่เป็นคณิตศาสตร์)ไว้ด้วย เพื่อให้ผู้อ่านใช้ฝึกฝนเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัย (O-NET / PAT1) ได้เป็นอย่างดี ในท้ายบทเรียนและท้ายข้อสอบมี เฉลยคําตอบและวิธีคด กํากับไว้ครบทุกข้อ โดย ิเฉลยวิธีคิดในหนังสือเล่มนี้จะเป็นเพียงการสรุปความคิดรวบยอดของข้อนั้นๆ ไม่ได้แสดงวิธีทําอย่างละเอียดทุกขั้นตอน ทั้งนี้เป็นความตั้งใจที่จะเน้นให้ผู้อ่านได้ลองคิดและเกิดความเข้าใจไปพร้อมๆ กัน เพื่อให้ทําข้อสอบเองได้อย่างรวดเร็วขึ้น เชือว่าหากผู้อ่านได้ให้เวลาทําความเข้าใจ ่เนื้อหาอย่างถี่ถ้วน และฝึกทําโจทย์แบบฝึกหัดไปทีละขันๆ พร้อมกับตรวจเฉลยวิธีคิดทุกข้อ ก็ ้จะติดตามบทเรียนจนจบได้อย่างลุล่วงและมีประสิทธิภาพ สิ่งที่ผู้เขียนต้องการแนะนําในที่นี้ก็คือ หากเกิดข้อสงสัยขึนในเรื่องใดควรรีบถามจากผู้รู้ในทันที ไม่ควรปล่อยให้ติดค้างอยู่ :] ้(สามารถพูดคุย และสอบถามข้อสงสัยกับผู้เขียนได้ทั้งทางอีเมลและเว็บบอร์ดที่แจ้งไว้ในหน้าถัดไปครับ)
4. Math E-Book Release 2.5แนวโจทย์ข้อสอบเข้าฯ ในปัจจุบัน โจทย์ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยปัจจุบันนี้เปลี่ยนแนวไป ทําให้ผู้เรียนหลายคนบ่นว่ายากขึ้นมาก ส่วนตัวผู้เขียนเห็นว่าเป็นข้อสอบที่ดีเพราะเริ่มเน้นความเข้าใจในเนื้อหาและนิยามที่สําคัญๆ ของบทเรียนยิ่งขึ้น ลักษณะข้อสอบแบบนี้อันที่จริงไม่ถือว่ายากแต่ค่อนไปในทางลึกซึ้งมากกว่า นั่นคือผู้ที่จะทําข้อสอบแบบนี้ได้จะต้องรู้ลึกและแม่นจริง สูตรลัดกลายเป็นสิ่งไร้ค่า และการขยันเรียนที่โรงเรียนโดยตลอดพร้อมกับทําความเข้าใจในแบบฝึกหัดเพิ่มเติมด้วยตนเองจะได้ผลดีมากกว่าการกวดวิชาเรียนคณิตศาสตร์อย่างไรให้ได้ผลดี (1) ปัญหาสําคัญของคนที่คิดว่าตัวเองเรียนไม่รู้เรื่องเลย ทําโจทย์ไม่เป็นเลย อยู่ที่การเรียนที่ผิดวิธี ถ้าผู้อ่านรู้สึกว่าไม่เข้าใจบทเรียนให้ลองถามตัวเองก่อนว่าเกิดจากเหตุใดต่อไปนี้(ก) ไม่ตั้งใจเรียน กรณีนี้ไม่มีวิธีแก้วิธีใดดีไปกว่าการบังคับตัวเองให้ตั้งใจเรียน :](ข) ตั้งใจแล้วแต่ก็ยังไม่เข้าใจ แปลว่าผู้สอนอาจจะถ่ายทอดได้ไม่ดี คงต้องย้ายไปเรียนกับคนที่สอนแล้วเข้าใจ (และต้องแยกให้ออกด้วยว่า ‘เข้าใจ’ กับ ‘สนุก’ หรือ ‘มีสูตรลัดเยอะ’ เป็นคนละเรื่องกัน) (2) ทีนี้พอเข้าใจบทเรียนแล้ว การที่จะทําคะแนนได้ดีหรือไม่ จะขึ้นกับการฝึกฝนอีกทางหนึ่งด้วย ยิ่งเคยทําโจทย์เยอะและแปลกก็จะยิ่งได้เปรียบ เพราะความแม่นยําและลึกซึ้งนั้นเป็นสิ่งที่สอนกันไม่ได้ (ถ้านั่งฟังอย่างเดียวแต่ไม่ได้ลงมือฝึกด้วยตัวเองเลย ก็คงคล้ายกับเรียนว่ายน้ําทางทีวี) อีกสิ่งหนึ่งที่สําคัญคือ แทนที่จะจําวิธีแก้โจทย์เป็นรูปแบบตายตัว ว่าโจทย์ลักษณะนี้ต้องคิดแบบนี้ อยากให้เปลี่ยนมา “มองคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือ” คือฝึกมองให้กว้างว่าแต่ละเรื่องที่เราได้เรียนนั้น ใช้เป็นเครื่องมือช่วยแก้ปัญหาอะไรได้บ้าง ต้องบอกได้ว่าทําไมโจทย์ข้อนี้ถึงควรแก้ด้วยวิธีนี้และต้องรู้จักมองภาพรวมว่าเนื้อหาบทไหนที่เชือมโยงถึงกันบ้าง (ซึ่งในหนังสือเล่มนี้ได้แทรกคําอธิบาย ่ถึงความเกี่ยวโยงไว้ให้บ้างแล้ว) การฝึกทั้งหมดนี้น่าจะช่วยให้ทาข้อสอบได้ดีขึ้นมาก ํ นับตั้งแต่เริ่มลงมือพิมพ์จนเสร็จสมบูรณ์ใช้เวลากว่า 2 ปี และหนังสือเล่มนีคงจะยังไม่สําเร็จด้วยดี ้ถ้าขาดบุคคลเหล่านี้ หากหนังสือเล่มนี้มีสวนดีประการใด ก็เป็นเพราะบุคคลทั้งหมดนี้ครับ.. ่ ๏ อาจารย์ทุกท่านโดยเฉพาะอาจารย์คณิตศาสตร์ ที่ได้ให้วิชาความรู้กับผม ขอขอบพระคุณ อ.ชัยศักดิ์ และ อ.จงดี (สาธิตปทุมวัน) เป็นพิเศษครับ ทั้งสองท่านเป็นต้นแบบทีดีทสุดในการสอน ่ ี่ ๏ ป๊า ม้า ยังคงเข้าใจและยอมเรื่อยมา บอยกับน้องยุ ช่วยพิมพ์เฉลยอย่างขยันขันแข็ง ๏ ผู้เขียนหนังสือเรียนและคู่มือต่างๆ ผูออกข้อสอบเข้าฯ รวมทั้งเว็บไซต์ของ สกอ. สทศ. ้ ๏ อ.สมพล (กวงเจ็ก) และ อ.พนม แห่ง Science Center ที่ให้โอกาสนําเสนอผลงาน ๏ ชง สําหรับความคิดริเริ่มพิมพ์ชีท และกล้า สําหรับความคิดเรืองข้อสอบพื้นฐานวิศวะฯ ่ ๏ น้องภัค น้องหนึ่ง น้องโอ๊ต น้องเคน สําหรับข้อสอบทั้งสองวิชา รวมไปถึงน้องๆ ทั้งหลายที่เคยเป็นศิษย์กนมา ตั้งแต่ใช้ชทลายมือเขียนมาจนกระทั่งพิมพ์เสร็จ (ยังจําได้ทกคนนะ!) โดยเฉพาะ แอน – เนย์ ั ี ุ– เภา – ตูน เป็นน้องกลุ่มแรกทีได้ใช้หนังสือเล่มนี้ ให้คําแนะนําและช่วยตรวจแก้ขอสอบอีกด้วย ่ ้ ๏ ความร้ายกาจของ “เจ๊ชุดดํา” ณ อดีตฟู้ดคอร์ทชั้น 3 ที่ทาให้เกิดความคิดว่า คนเราควรทํางาน ํในหน้าที่ของตัวเองให้ดีทสุด.. แล้วผมก็เดินกลับบ้านมาเริ่มพิมพ์หนังสือเมือสองปีทแล้ว! ี่ ่ ี่ ๏ Thaiware.com, Se-ed.net, f0nt.com ... สามเว็บไทยใจดี มีข้อสงสัย คําแนะนํา หรือพบข้อบกพร่อง กรุณาติดต่อผู้เขียนที่ kanuay@hotmail.comติดตามข่าวคราวอัพเดทได้ที่ //www.facebook.com/MathEBookและสอบถามปัญหาหรือโจทย์ต่างๆ ได้ทางอีเมล หรือที่เว็บบอร์ด //math.kanuay.comยินดีตอบทุกปัญหาครับ :] ขอบคุณที่ให้ความสนใจครับ คณิต มงคลพิทักษ์สุข
5. 5kanuay@hotmail.com สารบัญ เรื่อง หน้าบทที่ ๑ เซต 11 ๑.๑ สับเซตและเพาเวอร์เซต 15 ๑.๒ แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดําเนินการของเซต 20 ๑.๓ โจทย์ปัญหาจํานวนสมาชิก 30บทที่ ๒ ระบบจํานวนจริง 47 ๒.๑ สมบัติของจํานวนจริง 50 ๒.๒ ทฤษฎีบทเศษเหลือ และสมการพหุนาม 55 ๒.๓ อสมการพหุนาม 63 ๒.๔ ค่าสัมบูรณ์ 73 ๒.๕ ทฤษฎีจํานวนเบื้องต้น 81เรื่องแถม ถ้าไม่มีเครื่องคํานวณ จะหาค่ารากที่สองได้อย่างไร 104บทที่ ๓ ตรรกศาสตร์ 105 ๓.๑ ตัวเชื่อมประพจน์ และตารางค่าความจริง 106 ๓.๒ สัจนิรันดร์ 113 ๓.๓ การอ้างเหตุผล 116 ๓.๔ ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ 119 ๓.๕ การให้เหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัย 125เรื่องแถม มองตรรกศาสตร์ให้เป็นการคํานวณ จากพื้นฐานของดิจิตัล 142บทที่ ๔ เรขาคณิตวิเคราะห์ 143 ๔.๑ เบื้องต้น : จุด 144 ๔.๒ เบื้องต้น : เส้นตรง 148 ๔.๓ ภาคตัดกรวย : พื้นฐานการเขียนกราฟ 159 ๔.๔ ภาคตัดกรวย : วงกลม 161 ๔.๕ ภาคตัดกรวย : พาราโบลา 165 ๔.๖ ภาคตัดกรวย : วงรี 168 ๔.๗ ภาคตัดกรวย : ไฮเพอร์โบลา 171 ๔.๘ ภาคตัดกรวยลดรูป 176บทที่ ๕ ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน 197 ๕.๑ ลักษณะของความสัมพันธ์ 198 ๕.๒ โดเมน เรนจ์ และตัวผกผันของความสัมพันธ์ 200
6. Math E-Book Release 2.5 เรื่อง หน้า ๕.๓ กราฟของความสัมพันธ์ 203 ๕.๔ ลักษณะของฟังก์ชัน 207 ๕.๕ ฟังก์ชันประกอบ และฟังก์ชันผกผัน 212เรื่องแถม หลักในการหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน fog 233บทที่ ๖ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 235 ๖.๑ ฟังก์ชันตรีโกณมิติในวงกลมหนึ่งหน่วย 236 ๖.๒ ระบบเรเดียน และการลดรูปมุม 238 ๖.๓ สมการตรีโกณมิติ 241 ๖.๔ กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 244 ๖.๕ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างมุม 246 ๖.๖ ฟังก์ชันผกผันของตรีโกณมิติ 249 ๖.๗ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ 252 ๖.๘ กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ 253 ๖.๙ การประยุกต์หาระยะทางและความสูง 255บทที่ ๗ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม 273 ๗.๑ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และกฎของเลขยกกําลัง 273 ๗.๒ การแก้สมการที่เป็นเอกซ์โพเนนเชียล 277 ๗.๓ ฟังก์ชันลอการิทึม และกฎของลอการิทึม 279 ๗.๔ การแก้สมการที่เป็นลอการิทึม 282เรื่องแถม จําเป็นต้องตรวจคําตอบของสมการ (หรืออสมการ) เมื่อใดบ้าง 293บทที่ ๘ เมทริกซ์ 295 ๘.๑ การบวก ลบ และคูณเมทริกซ์ 296 ๘.๒ ดีเทอร์มินันต์ 300 ๘.๓ อินเวอร์สการคูณ 304 ๘.๔ การดําเนินการตามแถว 308 ๘.๕ การใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการเชิงเส้น 310บทที่ ๙ เวกเตอร์ 323 ๙.๑ การบวกและลบเวกเตอร์ 324 ๙.๒ การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ 327 ๙.๓ เวกเตอร์กับเรขาคณิต 328 ๙.๔ เวกเตอร์ในพิกัดฉาก และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย 330 ๙.๕ ผลคูณเชิงสเกลาร์ 333 ๙.๖ เวกเตอร์ในพิกัดฉากสามมิติ 335 ๙.๗ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ 338เรื่องแถม สิ่งที่ไม่ต้องรู้ก็ได้ : ลําดับการคิดค้นเนื้อหาคณิตศาสตร์ 351
7. 7kanuay@hotmail.com เรื่อง หน้าบทที่ ๑๐ จํานวนเชิงซ้อน 353 ๑๐.๑ การคํานวณเบื้องต้น 354 ๑๐.๒ สังยุค และค่าสัมบูรณ์ 357 ๑๐.๓ รูปเชิงขั้ว 360 ๑๐.๔ สมการพหุนาม 363เรื่องแถม ใช้จานวนเชิงซ้อนช่วยคํานวณเกี่ยวกับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ ํ 374บทที่ ๑๑ ลําดับและอนุกรม 375 ๑๑.๑ ลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต 376 ๑๑.๒ ลิมิตของลําดับอนันต์ 378 ๑๑.๓ อนุกรมและซิกม่า 380 ๑๑.๔ อนุกรมเลขคณิต เรขาคณิต และอื่นๆ 382บทที่ ๑๒ แคลคูลัส 395 ๑๒.๑ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต 396 ๑๒.๒ ลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด 398 ๑๒.๓ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 401 ๑๒.๔ อัตราการเปลี่ยนแปลง 404 ๑๒.๕ สูตรในการหาอนุพันธ์ 406 ๑๒.๖ ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด และค่าสุดขีด 410 ๑๒.๗ สูตรในการอินทิเกรต 416 ๑๒.๘ อินทิกรัลจํากัดเขต และพื้นที่ใต้โค้ง 418เรื่องแถม การคํานวณลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด ด้วยกฎของโลปีตาล 440เรื่องแถม เทคนิคการอินทิเกรตโดยเปลี่ยนตัวแปร 441บทที่ ๑๓ ความน่าจะเป็น 443 ๑๓.๑ หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ 443 ๑๓.๒ วิธีเรียงสับเปลี่ยน 445 ๑๓.๓ วิธีจัดหมู่ และกฎการแบ่งกลุ่ม 448 ๑๓.๔ การนับในกรณีอื่นๆ 451 ๑๓.๕ ทฤษฎีบททวินาม 454 ๑๓.๖ ความน่าจะเป็น 459เรื่องแถม เรื่องของการนับจํานวนความสัมพันธ์ จํานวนฟังก์ชัน 478บทที่ ๑๔ สถิติ 479 ๑๔.๑ การรวบรวมและนําเสนอข้อมูล 480 ๑๔.๒ ค่ากลางของข้อมูล 484 ๑๔.๓ ตําแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล 497 ๑๔.๔ ค่าการกระจายของข้อมูล 502
8. Math E-Book Release 2.5 เรื่อง หน้า ๑๔.๕ ค่ามาตรฐาน และการแจกแจงแบบปกติ 508 ๑๔.๖ ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล 515บทที่ ๑๕ กําหนดการเชิงเส้น 535บทที่ ๑๖ ทฤษฎีกราฟ 547 ๑๖.๑ ส่วนประกอบของกราฟ 547 ๑๖.๒ กราฟออยเลอร์ 550 ๑๖.๓ วิถีที่สั้นที่สุด และต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุด 553ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ วิเคราะห์แยกข้อสอบเป็นชุด ตามเนื้อหา 561 ฉบับที่ 1 | ตุลาคม 2541 567 ฉบับที่ 2 | มีนาคม 2542 577 ฉบับที่ 3 | ตุลาคม 2542 587 ฉบับที่ 4 | มีนาคม 2543 599 ฉบับที่ 5 | ตุลาคม 2543 609 ฉบับที่ 6 | มีนาคม 2544 621 ฉบับที่ 7 | ตุลาคม 2544 633 ฉบับที่ 8 | มีนาคม 2545 645 ฉบับที่ 9 | ตุลาคม 2545 657 ฉบับที่ 0 | มีนาคม 2546 671 ฉบับที่ ! | ตุลาคม 2546 683 ฉบับที่ @ | มีนาคม 2547 695 ฉบับที่ # | ตุลาคม 2547 709 ฉบับที่ $ | มีนาคม 2548 721 ฉบับที่ 15 | A-NET 2549 733 ฉบับที่ 16 | A-NET 2550 745 ฉบับที่ 17 | A-NET 2551 757 ฉบับที่ 18 | A-NET 2552 771 ข้อสอบความถนัดทางวิศวกรรม เฉพาะข้อคณิตศาสตร์ 2541–2551 783ดรรชนี (ตัดออกชัวคราว) ่
9. 9kanuay@hotmail.com หัวข้อคณิตศาสตร์พื้นฐาน (สําหรับข้อสอบ O-NET)บทที่ ๑ เซต (ทั้งหมด)บทที่ ๒ ระบบจํานวนจริง (ทังหมดยกเว้นหัวข้อ ๒.๒ และ ๒.๕) ้บทที่ ๓ ตรรกศาสตร์ (เฉพาะหัวข้อ ๓.๕)บทที่ ๕ ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (ทั้งหมดยกเว้นหัวข้อ ๕.๒ และ ๕.๕)บทที่ ๖ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (เฉพาะเกริ่นนํา และหัวข้อ ๖.๙)บทที่ ๗ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (เฉพาะหัวข้อ ๗.๑)บทที่ ๑๑ ลําดับและอนุกรม (เฉพาะหัวข้อ ๑๑.๑ และ ๑๑.๔ ที่ไม่เกี่ยวกับอนันต์)บทที่ ๑๓ ความน่าจะเป็น (เฉพาะหัวข้อ ๑๓.๑ และ ๑๓.๖)บทที่ ๑๔ สถิติ (ทั้งหมดยกเว้นหัวข้อ ๑๔.๕ และ ๑๔.๖ และสมบัติต่างๆ) ทําเนียบศิษย์ (2543-2553) เหลียง ต้น | ปอน อั้ม บัว ปอง มดใหญ่ และน้องๆ 44 | จ๋า อิ๋ง | ออม แนน พลอย โอ๊ต มด หนึ่ง กิฟ | ตาล ปอบ รดี นิง จอย ทราม เบนซ์ จิ๊ก | สุจน จิง วิว พิม เมย์ ๊ ้ ิ เบสท์ เข่ง มิมิ แพร นุ้ย เจน | เบสท์ อิม | ถาวร | แบงค์ | แอน เนย์ เภา ตูน หยุน ่ ตั้ม ท้อป เต็ก อุย | เต๊าะ ยุ้ย | ภา มุก | คี้ บี๋ | แชมป์ | นาจา บาบูน บอย | ไอซ์ ้ โน้ต พีม กร โอลีฟ ดล | พราว เต้ ต้า | เคน นัท บี | น้ํามนต์ กระต่าย อ้อ เก๋ แพรว นิว | น้ํา | อากิ ลิน ไพลิน แพนเค้ก | เมฆ | โอ๊ต | แนน ทิพ ปอนด์ เบลล์ จอย แอม ปอ เจี๊ยบ เหมี่ยว วัน แอม พลอย พี ปู ซี นก นุ่น ผึ้ง เจน ป๊อ แก้ว | ก้อง เพ้นท์ เป๊ะ ดิ๊บ | ไกด์ ปลา แน๊ต | บุ้งกี๋ พีจัง โอโอ้ พังก์ หญิง พีปิ เดียร์ | จูเนียร์ | นัท แน๊ท ่ ปุ๊กกี้ | วาวา ท๊อป หยุก อุน หวาน เม้ง พี แจน เบิรด | ปลา เฟิร์น หยิน | เพชร ้ ์ ออย เจม ผิงผิง มาย แม้ม จีจี้ เดียร์ จูเนียร์ จุ๊ย ปัน พลอย มีนา ว่าน มิลค์ | ปู พี เบล ขวัญ มายด์ โบว์ วิจั่ง | ทัวร์ | หนอ | แจม จอย มิว วี แพรว ทราย วาด กิ๊ฟ เกด มัดหมี่ ขวัญ
10. Math E-Book Release 2.5(หน้าว่าง)
11. R2.9pre ซึ่งจะนําไปปรับปรุงและตีพิมพ์เป็นหนังสือ ม.4-5-6 ฉบับละเอียดต่อไปครับ) บทที่ ๑ เซต “กลุ่มของสิ่งต่างๆ” ในวิชาคณิตศาสตร์จะเรียกว่า เซต (Set) เช่น เซตของชื่อวันทั้งเจ็ด, เซตของจํานวน เต็มที่ยกกําลังสองแล้วมีค่าน้อยกว่า 7, เซตของจํานวน เฉพาะที่หาร 360 ลงตัว, ฯลฯ โดยสิ่งที่อยูภายในแต่ ่ ละเซต เรียกว่า สมาชิก (Element หรือ Member)การศึกษาเรืองเซต จะช่วยให้กล่าวถึงกลุ่มของจํานวน หรือสิ่งอื่นๆ ที่สนใจ ่ได้อย่างสะดวก นอกจากนี้ยังช่วยให้ดําเนินการกับสมาชิกในกลุ่มได้อย่างเป็นระเบียบและชัดเจนด้วย ดังนั้น ในบทเรียนคณิตศาสตร์ที่จะได้พบต่อๆไป จึงล้วนต้องอาศัยพืนฐานความรู้เรื่องเซตแทบทั้งสิ้น ้การแจกแจง นิยมตั้งชื่อเซตด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C และเขียนสัญลักษณ์แทน สมาชิก เซตด้วยวงเล็บปีกกา ดังนี้ { } โดยการเขียนแจกแจงสมาชิกในเซต จะคั่นระหว่าง สมาชิกแต่ละตัวด้วยจุลภาค (comma) เช่น ถ้าให้ A แทนเซตของชื่อวันในแต่ละ สัปดาห์ และ B แทนเซตของจํานวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วมีค่าน้อยกว่า 7 จะได้ A  { อาทิตย์, จันทร์, อังคาร, พุธ, พฤหัสบดี, ศุกร์, เสาร์ } B  {2, 1, 0, 1, 2} หรืออาจเขียนเป็น B  {0, 1, 1, 2, 2} การแจกแจงสมาชิกภายในเซตนั้น จะไม่คํานึงถึงลําดับก่อนหลัง สิ่งเดียวที่ เราต้องคํานึงก็คือ สมาชิกตัวนั้น “อยู” ในเซตหรือไม (หรือมีอะไรบ้างที่อยู่ในเซต นั้น) เพียงเท่านั้น ด้วยเหตุนี้การสลับที่สมาชิกในเซตจึงไม่ทําให้เกิดการเปลี่ยนแปลง ใดๆ และเซตใหม่ยังคงถือว่าเหมือนกับเซตเดิม ดังที่แสดงให้เห็นในการเขียนแจกแจง สมาชิกของเซต B ข้างต้น นอกจากนั้น ในการแจกแจงสมาชิก หากพบสมาชิกตัวที่ปรากฏซ้ํา ก็จะ นับเป็นสมาชิกตัวเดียวกันด้วย (และอันที่จริงไม่ควรเขียนซ้ํา) เช่นถ้ากําหนดให้ C  {2, 5, 2, 3, 3, 2} จะถือว่า C เป็นเซตที่มีสมาชิกเพียง 3 ตัว ได้แก่ 2, 3, และ 5 จึงควรเขียนเป็น C  {2, 3, 5}
12. 12 Math E-Book Release 2.5 เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อ มีจํานวนสมาชิกเท่ากัน และสมาชิกแต่ละตัว ของเซตหนึ่งต้องอยู่ในอีกเซตหนึ่งด้วย (หรือเซตสองเซตจะเท่ากันได้ ก็เมื่อสองเซต นั้น “เป็นเซตเดียวกัน” นั่นเอง) เช่น {2, 1, 0, 1, 2}  {0, 1, 1, 2, 2} ถ้า C  {2, 3, 5} และ D  {2, 5, 2, 3} จะสรุปได้ว่า C  D เซต {a, b, c, d, e} ไม่เท่ากับ {a, e, i, o, u} เพราะสมาชิกไม่เหมือนกัน ถ้าเซตสองเซตเท่ากัน ย่อมสรุปได้ว่าจํานวนสมาชิกต้องเท่ากันด้วยเสมอS แต่ถ้าทราบว่าจํานวนสมาชิกเท่ากัน ก็ไม่จาเป็นที่เซตสองเซตนั้นต้องเท่ากัน ํ เช่น C  {2, 3, 5} และ D  {2, 3, 7} ถึงแม้จํานวนสมาชิกจะเท่ากัน แต่วา C  D ่ ..การที่เซตมีจานวนสมาชิกเท่ากัน จะกล่าวได้เพียงว่า C เป็นเซตที่ “เทียบเท่า” กับ D ํ หากเซตมีสมาชิกเป็นจํานวนมาก อาจใช้เครื่องหมายจุด 3 จุด “...” เพื่อละ สมาชิกบางตัวไว้ในฐานที่เข้าใจ ไม่ต้องแสดงให้เห็นครบทุกตัว เช่น ถ้าให้ E แทนเซตของจํานวนเต็มที่มีค่าอยู่ระหว่าง 3 ถึง 33 จะได้ E  {4, 5, 6, 7, 8, ..., 32} ถึงแม้สมาชิกของ E ในตัวอย่างนี้จะปรากฏให้เห็นเพียง 6 ตัว แต่ที่จริงภายในเซต E นี้ประกอบด้วยสมาชิกทั้งสิ้น 29 ตัว เครื่องหมายจุดเป็นสิ่งที่สื่อให้ทราบว่าจํานวน 9, 10, 11, 12, ไปจนถึง 31 ล้วนอยู่ในเซตนี้ด้วย ข้อควรระวังในการใช้จุดแทนสมาชิกของเซต คือถ้าหากเราเขียนแสดงสมาชิกน้อยเกินไปS ผู้อ่านอาจไม่เห็นความเกี่ยวโยงกันอย่างชัดเจน และอาจตีความผิดไปจากที่เราต้องการสื่อ เช่นการเขียนเพียง {2, 4, ...} ผู้อานอาจคิดว่าเป็น 6, 8, 10, … หรือเป็น 8, 16, 32, … ก็ได้ ่ จํานวน เซตที่หาจํานวนสมาชิกได้ จะเรียกว่าเป็น เซตจํากัด (Finite Set) และ สมาชิก สัญลักษณ์ที่ใช้แทน “จํานวนสมาชิกของเซต X” ก็คือ n(X) เช่นในตัวอย่างทั้งหมดที่ ผ่านมา จะได้ n(A)  7 , n(B)  5 , n(C)  n(D)  3 , และ n(E)  29 เซตที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้คือเซตที่ไม่มีสมาชิกใดๆ อยู่เลย เรียกว่า เซตว่าง (Null Set หรือ Empty Set) ใช้สัญลักษณ์เป็น { } หรือ  โดยเซตว่างนี้ถือเป็น เซตจํากัดเช่นกันเพราะสามารถหาจํานวนสมาชิกได้ นั่นคือ n()  0 {, 0, 1, {2, 3, 4}, {5, {6}},(7, 8)}S มีสมาชิก 6 ตัว ได้แก่ เซตว่าง, เลข 0, เลข 1, เซต {2,3,4}, เซต {5,{6}}, คู่อนดับ (7,8) ั ..การนับจํานวนสมาชิกจะให้ 1 คูอันดับหรือ 1 เซต เป็นสมาชิก 1 ตัวเท่านัน ่ ้ {(1, 2),(2, 1 {1, 2}, {2, 1}} ), มีสมาชิก 3 ตัว ได้แก่ คูอนดับ (1,2), คู่อนดับ (2,1), และเซต {1,2} ่ั ั ..คู่อันดับ 1,2 กับ 2,1 ถือว่าต่างกัน แต่เซต 1,2 กับเซต 2,1 ถือว่าเหมือนกันจึงไม่นับซ้ํา
13. 13 เซตkanuay@hotmail.com  (เซตว่าง) เปรียบเสมือนกล่องว่างเปล่า ไม่มีอะไรอยู่ในนั้นเลย หรือมีสมาชิก 0 ตัวS แต่วา {0} ไม่ใช่เซตว่างนะครับ เพราะมีสมาชิกอยู่ในนั้น 1 ตัว คือเลขศูนย์ ่ และหากถามว่ากล่องใบหนึ่งซึ่งมีกล่องเปล่าอีกใบอยู่ข้างใน นับเป็นกล่องว่างเปล่าหรือไม่ คําตอบก็คอ “ไม่เปล่าแล้ว” ..ก็เช่นเดียวกันกับ “เซตของเซตว่าง” {} นั้นไม่ถอว่าเป็นเซตว่าง ื ื เพราะมี  อยูภายใน หรือกล่าวสันๆ n() ต้องเท่ากับ 0 แต่ว่า n({})  1 จึงไม่ใช่เซตว่าง ่ ้ ส่วนเซตที่จํานวนสมาชิกมากจนหาค่าไม่ได้ (มากจนนับไม่ถ้วน เขียนแจก แจงสมาชิกออกมาได้ไม่สิ้นสุด) จัดเป็น เซตอนันต์ (Infinite Set) ตัวอย่างเช่น ให้ F แทนเซตของจํานวนเต็มที่น้อยกว่า 2, G แทนเซตของจํานวนใดๆ ตั้งแต่ 0 ถึง 1 จะได้ F  {1, 0, 1, 2, 3, ...} เขียนแจกแจงสมาชิกได้ไม่สิ้นสุด G เขียนแจกแจงสมาชิกไม่ได้ เพราะมีค่าทศนิยมที่ต่อเนื่องกันอยู่มากมาย ทั้ง F และ G ต่างก็มีสมาชิกอยู่มากจนนับไม่ถ้วน จึงจัดว่าสองเซตนี้เป็นเซตอนันต์ “เซตของชือคนในประเทศไทย ณ เวลาปัจจุบัน” เซตนีเปนเซตจํากัด ่ ้S ..ถึงแม้จํานวนสมาชิกจะมากเป็นหลายสิบล้าน แต่ก็ยังสามารถนับได้ถ้วน ไม่ได้มากจนถึงอนันต์ การบอก การเขียนระบุถึงสมาชิกในเซต นอกจากแบบแจกแจงสมาชิกที่พอจะได้เห็น เงื่อนไข ตัวอย่างแล้ว ยังมีอีกรูปแบบหนึ่งคือ “แบบบอกเงื่อนไข” ซึ่งเป็นการเขียนเซตในรูป { ตัวแปรแทนสมาชิก | เงื่อนไขหรือลักษณะของตัวแปรนั้นๆ } และอ่านได้ว่า “เซตของ (ตัวแปร) โดยที่ (เงื่อนไขหรือลักษณะ)” เช่นเซต G ที่ยกตัวอย่างมานี้ แม้ไม่สามารถเขียนแบบแจกแจงสมาชิก แต่ ก็สามารถเขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ นั่นคือ G  { x | 0 < x < 1 } อ่านว่า “เซตของ x (สมาชิก) โดยที่ 0 < x < 1 (เงื่อนไขของ x)” หมายความว่าค่า x ใดก็ตามที่ตรงตามเงื่อนไข จะมาอยู่ในเซตนี้ทั้งหมด ตัวแปรที่ใช้ในการบอกเงือนไข ไม่จําเป็นต้องเป็น x เพราะเราตั้งขึนมาเพือบรรยายลักษณะของมัน ่ ้ ่S เท่านั้น เช่น จะเขียนเซต G เป็น { y | 0 < y < 1} ก็ได้ ยังคงเป็นเซตเดิมไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงตัวอย่าง 1.1 เซตแบบบอกเงือนไขในแต่ละข้อต่อไปนี้ อ่านได้ว่าอย่างไร ่ และให้เขียนแบบแจกแจงสมาชิกด้วย ก. A  {x | x เป็นชือวันในแต่ละสัปดาห์ } ่ตอบ อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นชือวันในแต่ละสัปดาห์ ่ และจะได้ A  { อาทิตย์, จันทร์, อังคาร, พุธ, พฤหัสบดี, ศุกร์, เสาร์ }
14. 14 Math E-Book Release 2.5 ข. B  {x | x เป็นจํานวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วมีคาน้อยกว่า ่ 7} ตอบ อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นจํานวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วมีคาน้อยกว่า 7 ่ และแจกแจงสมาชิกได้เป็น B  {2, 1, 0, 1, 2} ค. Z  { x2 | ค่าสัมบูรณ์ของจํานวนเต็ม x ไม่เกิน 4} ตอบ อ่านว่า เซตของ x2 โดยทีค่าสัมบูรณ์ของจํานวนเต็ม x ไม่เกิน 4 ่ ในที่นี้ x คือ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 แต่สมาชิกที่ตองการคือ x2 ดังนันจึงได้ Z  {0, 1, 4, 9, 16} ้ ้ “อยู่ใน” สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคํากริยาว่า “เป็นสมาชิกของ” คือ (เป็นสมาชิก) และสัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” คือ  รูปแบบ: สมาชิก  เซต เช่น จากตัวอย่างทั้งหมดที่กล่าวมา สามารถบอกได้ว่า จันทร์  A , 2  B , 3  C , 0.5  G , 2.5  B , 4  C , 1.5  G เป็นต้น และจะอ่านสัญลักษณ์เหล่านี้ว่า “อยู่ใน” กับ “ไม่อยู่ใน” ก็ได้ นั่นคือ “2 อยู่ใน B”, “3 อยู่ใน C”, “2.5 ไม่อยู่ใน B”, ฯลฯ เรื่องเซต กับเรืองจํานวน มีบางส่วนทีคล้ายกัน และก็มีบางส่วนที่ไม่เหมือนกันเลย ยกตัวอย่างเช่น ่ ่S “การเปรียบเทียบ” สําหรับเซตนันจะเหมือนกับระบบจํานวนตรงทีมีการเปรียบเทียบ “เท่ากับ” ้ ่ (และไม่เท่ากับ) แต่จะต่างกันตรงที่เซตไม่มีการเปรียบเทียบ “มากกว่า”, “น้อยกว่า” ..แต่เซตก็มีการเปรียบเทียบทีระบบจํานวนไม่มีดวย นันคือ “เป็นสมาชิกของ”, “เป็นสับเซตของ” ่ ้ ่ เอกภพ ขอบเขตของสิ่งที่เราสนใจ (ในแต่ละโจทย์ปัญหา) เรียกว่า เอกภพสัมพัทธ์ สัมพัทธ์ (Relative Universe) และมีสัญลักษณ์เป็นเซต U ซึ่งใช้สื่อความหมายว่า “สมาชิก ทุกตัวของเซตทุกๆ เซต (ในโจทย์ข้อนั้น) จะต้องอยู่ภายในเซต U และเป็นที่ตกลง กันว่าจะไม่สนใจสิ่งอื่นที่ไม่ได้อยู่ในเซต U ” เช่น เมื่อกําหนดให้ H  { x | x > 2 } ถ้าหาก U  {2, 1, 0, 0.5, 1, 2, 4.5, 7 } จะได้ H  {2, 4.5, 7 } แต่ถ้าเปลี่ยนเป็น U  เซตของจํานวนเต็ม ก็จะได้ H  {2, 3, 4, 5, 6, ...} จะเห็นได้ว่าเอกภพสัมพัทธ์มีความสําคัญต่อการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข เพราะจะทําให้ทราบขอบเขตของสมาชิกที่ตรงตามเงื่อนไขนั้น แต่ถ้าโจทย์ปัญหาไม่ได้ ระบุเอกภพสัมพัทธ์กํากับไว้ หากเป็นเซตของจํานวน ในระดับชั้นนี้ให้ถือว่าเอกภพ สัมพัทธ์คือเซตของ “จํานวนจริง” ใดๆ (ซึ่งใช้สัญลักษณ์เป็นเซต R ) เช่น การกําหนดให้เซต H  { x | x > 2 } โดยไม่ได้กล่าวถึงเอกภพ สัมพัทธ์ จะมีความหมายเดียวกับ H  { x  R | x > 2 } และสมาชิกของเซตนี้ก็ คือจํานวนใดๆ ก็ตามที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 2 (ซึ่งมีทั้งจํานวนเต็มและทศนิยม) เรื่องเกี่ยวกับจํานวนจริงและประเภทของจํานวน จะได้ศึกษาในบทถัดไป
15. 15 เซตkanuay@hotmail.com ๑.๑ สับเซต และเพาเวอร์เซต สับเซต สับเซต (Subset) หรือ “เซตย่อย” คือเซตที่เล็กกว่าหรือเท่ากันกับเซตที่ สับเซตแท้ กําหนด โดยต้องใช้สมาชิกร่วมกับเซตที่กําหนดเท่านั้น สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “X เป็นสับเซตของ Y” คือ X  Y และจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต X นั้นเป็นสมาชิกของเซต Y ด้วย หรือเมื่อ X เป็นเซตว่างก็ได้ เช่น เรากล่าวว่า {1, 2}  {0, 1, 2} เนื่องจากทั้ง 1 และ 2 เป็นสมาชิกของ {0, 1, 2} รูปแบบ: เซต(เล็ก)  เซต(ใหญ่) และสัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “X ไม่เป็นสับเซตของ Y” คือ X  Y จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อพบสมาชิกบางตัวของเซต X ที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต Y เช่น เรากล่าวว่า {1, 3}  {0, 1, 2} เนื่องจาก 3 ไม่ได้เป็นสมาชิกของ {0, 1, 2} การเป็นสับเซต อาจมองเป็น “อยู่ใน” คล้ายกับการเป็นสมาชิกS ต่างกันเพียงการเป็นสับเซตนั้นเราพิจารณาทีละหลายตัวพร้อมกันได้ และต้องใส่ปกกาคร่อมเสมอ ี สมมติ A  {m, p, r, w} จะได้ว่า เซตเหล่านี้เป็นสับเซตของ A  {m} {p} {r} {w} {m, p} {m, r} {m, w} {p, r} {p, w} {r, w} {m, p, r} {m, p, w} {m, r, w} {p, r, w} {m, p, r, w} ดังนั้นสับเซตของ A มีทั้งหมด 16 แบบ (แบบที่เล็กที่สุดคือเซตว่าง และแบบที่ใหญ่ ที่สุดคือตัวมันเอง) หรือกล่าวว่า มีเซต B ที่ทาให้ B  A อยู่ 16 แบบนั่นเอง ํ ข้อควรทราบ 1. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต   A 2. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง A  A 3. เซตที่มีสมาชิก n ตัว จะมีสับเซตทั้งสิ้น 2 n แบบ เช่นในตัวอย่างข้างต้น.. A มีสับเซต 16 แบบ สามารถคิดได้จาก 24  16 ด้วย เราอาจมองการหาสับเซตว่าเป็นการ “เลือกตัดสมาชิกบางตัวใน A ทิ้งไป”S การมองแบบนี้จะทําให้เข้าใจง่ายยิงขึ้น ว่าทําไมเซตว่างจึงต้องถือเป็นสับเซตของ A ด้วย ่ จากความหมายของสับเซต ทําให้เรานิยามการเท่ากันของเซตสองเซตได้ใน อีกวิธีหนึ่งด้วย นั่นคือ “เซต A เท่ากับเซต B ก็ต่อเมื่อ A และ B ต่างเป็นสับเซต ของกันและกัน” หรือเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า A  B ก็ต่อเมื่อ (A  B และ B  A)
16. 16 Math E-Book Release 2.5 นอกจากนั้น เมื่อพิจารณาความหมายของเอกภพสัมพัทธ์ ( U ) ยังสรุปได้ ด้วยว่า “เซตใดๆ ก็ตาม ทุกเซต ต้องเป็นสับเซตของ U ” (เพราะจะต้องไม่มีสมาชิก ใดของเซตใด ที่ไม่อยู่ใน U ) หมายเหตุ บางตําราใช้สัญลักษณ์  แทนการเป็น สับเซตแท้ (Proper Subset) ซึ่ง จะมีเพียง 2 n  1 แบบเท่านั้น (คือนับเฉพาะเซตที่เล็กกว่า ไม่นับตัวมันเอง) และใช้ สัญลักษณ์  แทนการเป็นสับเซตใดๆ นั่นคือ A  A แต่ A  A (เปรียบได้กับเครื่องหมาย < และ  ในระบบจํานวนนั่นเอง เพียงแต่การเป็นสับ เซตนั้นเราไม่ได้พิจารณาเฉพาะขนาด แต่ต้องพิจารณาที่หน้าตาของสมาชิกด้วย) แต่ในหนังสือเล่มนี้จะขอรวบใช้เครื่องหมาย  เพียงอย่างเดียว แทนการ เป็นสับเซตแบบใดก็ได้ รวมถึงตัวมันเองด้วย ประโยค {a, b, c}  A มีความหมายว่า “ a  A และ b  A และ c  A ”S การพิจารณาว่าประโยคแรกเป็นจริงหรือไม่ สามารถพิจารณาได้จาก 3 เงือนไขทีตามมา ่ ่ เพาเวอร์ เพาเวอร์เซต (Power Set) คือเซตที่บรรจุด้วยสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้ เซต เพาเวอร์เซตของ A จะใช้สัญลักษณ์ว่า P(A) ดังนั้น ถ้า A มีสมาชิก n ตัวแล้ว P(A) ย่อมมีสมาชิก 2 n ตัว เช่นในตัวอย่างซึ่ง A  {m, p, r, w} จะได้ P(A)  { , {m}, {p}, {r}, {w}, {m, p}, {m, r}, ..., {m, p, r, w} } และ n(P(A))  24  16 จากความหมายของเพาเวอร์เซต ทําให้เรากล่าวประโยค “B เป็นสับเซต ของ A” ( B  A ) ได้ในอีกรูปแบบหนึ่งเป็น “B อยู่ในเซต P(A)” ( B  P(A) ) และนอกจากนั้น การกล่าวว่า “A มีสับเซตทั้งหมด 16 แบบ” ก็สามารถเขียนเป็น สัญลักษณ์ได้โดยอาศัยเพาเวอร์เซต นั่นคือ “ n(P(A))  16 ” ประโยค {a, b}  P(A) มีความหมายว่า {a, b}  A ..นันก็คอ “ a  A และ b  A ” ่ ืS การพิจารณาว่าประโยคแรกเป็นจริงหรือไม่ สามารถพิจารณาได้จาก 2 เงื่อนไขสุดท้ายที่ตามมาตัวอย่าง 1.2 ให้เขียนสับเซตทุกๆ แบบ และเขียนเพาเวอร์เซตของเซตที่กําหนดให้ ก. A  {a}ตอบ มีสับเซต 2  2 แบบ ได้แก่  และ {a} ดังนั้น P(A)  {, {a}} 1 ข. B  {a, b}ตอบ มีสับเซต 2  4 แบบ ได้แก่  , {a} , {b} และ {a, b} 2 ดังนั้น P(B)  {, {a}, {b}, {a, b}}
17. 17 เซตkanuay@hotmail.com ค. C  {2, 3, 5}ตอบ มีสับเซต 23  8 แบบ ได้แก่  , {2} , {3} , {5} , {2, 3} , {2, 5} , {3, 5} , และ {2, 3, 5} ดังนั้น P(C)  {, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} ง. D  ตอบ มีสับเซต 20  1 แบบ ได้แก่  ดังนั้น P(D)  {}ตัวอย่าง 1.3 กําหนด E  {6, 7} ให้หา P(E) และ P(P(E))ตอบ P(E)  { , 6, 7, {6, 7} } และ P(P(E))  { , {}, {6}, {7}, {{6, 7}}, {, 6}, {, 7}, {, {6, 7}}, {6, 7}, {6, {6, 7}}, {7, {6, 7}}, {, 6, 7}, {, 6, {6, 7}}, {, 7, {6, 7}}, {6, 7, {6, 7}}, {, 6, 7, {6, 7}} }ตัวอย่าง 1.4 ถ้าให้ F  {, 1, {2, 3}} ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด ก. 1F ..ถูก 1 F ..ผิด (เพราะ 1 ไม่ใช่เซต) F ..ถูก   F ..ถูกเสมอ! (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต) {}  F ..ผิด {}  F ..ถูก (เพราะ  อยู่ใน F) 2F ..ผิด {2, 3}  F ..ผิด (เพราะ 2 กับ 3 ไม่ได้อยู่ใน F) {2, 3}  F ..ถูก {{2, 3}}  F ..ถูก (เพราะ {2, 3} อยู่ใน F) ข. 1  P (F) ..ผิด (1 ไม่ใช่เซตจึงอยู่ใน P(F) ไม่ได้) {1}  P (F) ..ถูก เพราะ {1}  F   P (F) ..ถูก เพราะ   F {}  P (F) ..ถูก เพราะ {}  F (เนื่องจาก   F ) {2, 3}  P (F) ..ผิด เพราะ {2, 3}  F {{2, 3}}  P (F) ..ถูก เพราะ {{2, 3}}  Fตัวอย่าง 1.5 กําหนด A, B เป็นเซตซึง ่ A  {1, 3, 5, 7} และ B  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ก. ให้หาจํานวนแบบของเซต X ซึ่ง X  P(A)ตอบ1 คําว่า X  P(A) หมายความว่า X  A ดังนัน มีเซต X ที่เป็นไปได้ทงหมด ้ ั้ 24  16 แบบตอบ2 หากศึกษาเรื่องวิธีจดหมู่ในบทที่ ๑๓ แล้ว จะทราบวิธีคํานวณอีกแบบ ดังนี้ ั  4  4  4  4  4  0    1   2    3    4   1  4  6  4  1  16 แบบ          
18. 18 Math E-Book Release 2.5 ข. ให้หาจํานวนแบบของเซต X ซึ่ง X  P(A) และ n(X) < 2ตอบ1 คําว่า X  P(A) หมายความว่า X  A ซึ่งมีอยู่ 16 แบบ (ดังที่คานวณไว้ในข้อ ก.) ํ แต่ขอนีต้องการ n(X) < 2 เท่านัน ้ ้ ้ หากศึกษาเรื่องวิธีจดหมู่ในบทที่ ๑๓ แล้วจึงจะทราบวิธีคานวณ ดังนี้ ั ํ  4  4  4  0    1    2   1  4  6  11 แบบ      ตอบ2 แต่ถ้ายังไม่ได้ศึกษา ก็คงต้องเขียนนับเอาโดยตรง นั่นคือ X สามารถเป็น  , {1} , {3} , {5} , {7} , {1, 3} , {1, 5} , {1, 7} , {3, 5} , {3, 7} , หรือ {5, 7} รวมทั้งสิ้น 11 แบบ ค. ให้หาจํานวนแบบของเซต Y ซึ่ง A  Y และ Y  Bวิธีคิด ต้องการ A  Y ก็แปลว่า สมาชิก 1, 3, 5, 7 ต้องอยู่ใน Y ครบทุกตัว (ไม่มีทางเลือกอืน) ่ แต่การที่ Y  B ด้วยนัน สมาชิก 2, 4, 6 อาจจะอยู่ใน Y กี่ตัวก็ได้ หรือไม่อยู่เลยก็ได้ ้ (เพราะมีเพียง 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Y  B แล้ว) ซึ่งการที่ 2, 4, 6 จะอยู่ใน Y กีตัวก็ได้ หรือไม่อยู่เลยก็ได้นน ่ ั้ ก็เปรียบเสมือนการหาสับเซตทุกแบบของ {2, 4, 6} นั่นเองตอบ จึงได้คาตอบเป็น 23  8 แบบ ํ หมายเหตุ ลักษณะที่เป็นไปได้ 8 แบบ ของเซต Y เขียนแสดงให้เห็นชัดเจนได้ดงนี้ ั {1, 3, 5, 7} , {1, 3, 5, 7, 2} , {1, 3, 5, 7, 4} , {1, 3, 5, 7, 6} , {1, 3, 5, 7, 2, 4} , {1, 3, 5, 7, 2, 6} , {1, 3, 5, 7, 4, 6} , และ {1, 3, 5, 7, 2, 4, 6} แบบฝึกหัด ๑.๑(1) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (1.1)   {a, {b, c}} (1.9)   {a, {b, c}} (1.2) a  {a, {b, c}} (1.10) a  {a, {b, c}} (1.3) b  {a, {b, c}} (1.11) b  {a, {b, c}} (1.4) {a}  {a, {b, c}} (1.12) {a}  {a, {b, c}} (1.5) {b}  {a, {b, c}} (1.13) {b}  {a, {b, c}} (1.6) {b, c}  {a, {b, c}} (1.14) {b, c}  {a, {b, c}} (1.7) {{b, c}}  {a, {b, c}} (1.15) {{b, c}}  {a, {b, c}} (1.8) {a, {b, c}}  {a, {b, c}} (1.16) {a, {b, c}}  {a, {b, c}}(2) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (2.1)   {, 0, 1, {1}, {0, 1}} (2.7)   {, 0, 1, {1}, {0, 1}} (2.2) {0}  {, 0, 1, {1}, {0, 1}} (2.8) {0}  {, 0, 1, {1}, {0, 1}} (2.3) {1}  {, 0, 1, {1}, {0, 1}} (2.9) {1}  {, 0, 1, {1}, {0, 1}} (2.4) {0, 1}  {, 0, 1, {1}, {0, 1}} (2.10) {0, 1}  {, 0, 1, {1}, {0, 1}} (2.5) {0, {1}}  {, 0, 1, {1}, {0, 1}} (2.11) {0, {1}}  {, 0, 1, {1}, {0, 1}} (2.6) {{0, 1}}  {, 0, 1, {1}, {0, 1}} (2.12) {{0, 1}}  {, 0, 1, {1}, {0, 1}}
19. 19 เซตkanuay@hotmail.com(3) ให้ A  {{}, a, b, {a}, {a, b}} ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (3.1) {}  A (3.3) {{a}, b}  A (3.2) {}  A (3.4) {a, b}  A และ {a, b}  A(4) ถ้า A  {, a, {b}, {a, b}} แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (4.1)   P(A) (4.6) a  P(A) (4.2) {}  P(A) (4.7) {a}  P(A) (4.3)   P(A) (4.8) {b}  P(A) (4.4) {}  P(A) (4.9) {{b}}  P(A) (4.5) {, a, {b}}  P(A) (4.10) {, a, {b}}  P(A)(5) ถ้า A  {, 1, 2, 3, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}} แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (5.1) {, {1}, {1, 2}}  P(A) (5.3) {{1}, {2}, {3}}  P(A) (5.2) {, {1}, {1, 2}}  P(A) (5.4) {{1}, {2}, {3}}  P(A)(6) กําหนด B  {, {0}, {}} ให้เขียนแจกแจงสมาชิกของ P(B)และให้เติมเครื่องหมาย  หรือ  ลงในช่องว่าง เพื่อให้ข้อความเป็นจริง(บางข้อความอาจเป็นไปได้ทั้งสองเครื่องหมาย หรืออาจไม่ได้เลยทั้งสองเครื่องหมาย) (6.1)  _____ B (6.5) {0} _____ B (6.2)  _____ P(B) (6.6) {0} _____ P(B) (6.3) {} _____ B (6.4) {} _____ P(B)(7) ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่ (7.1)    (7.5)   P () (7.2)    (7.6)   P () (7.3)   {} (7.7) {}  P () (7.4)   {} (7.8) {}  P ()(8) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (8.1) ถ้า n(A)  5 แล้ว สับเซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ (8.2) ถ้า n(A)  5 แล้ว สับเซตแท้ของ A มีทั้งหมด 32 แบบ (8.3) ถ้า n(A)  5 แล้ว เพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ (8.4) ถ้า n(A)  5 แล้ว สมาชิกของเพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 ตัว(9) ถ้า A มีสับเซตแท้ 511 เซต แสดงว่า A มีสมาชิกกี่ตัวและในจํานวน 511 เซตนั้น สับเซตที่มีสมาชิกเพียง 5 ตัวมีกี่เซต** คําถามล่างนี้เกินเนื้อหา ม.4 แต่อยู่ในเนื้อหา ม.6 เรื่องการจัดหมู่หากต้องการฝึกคํานวณ ให้ดูวิธีคิดจากกรอบ “เพิ่มเติม” ในหน้าถัดไป
20. 20 Math E-Book Release 2.5 เพิ่มเติม จากเนือหาเรื่องการเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู่ ้ (กฎการนับนี้จะได้ศึกษาอย่างละเอียดในบทที่ ๑๓ หัวข้อ ๑๓.๓) เมื่อมีของ n ชิ้น สามารถหยิบออกมาทีละ r ชิ้น ได้ผลไม่ซากันทังสิ้น ้ํ ้ n n! r   แบบ   (nr)!  r ! โดยที่สญลักษณ์ x! สําหรับจํานวนนับ มีนิยามว่า x !  1  2  3  ...  x ั เช่น ถ้าเซตหนึ่งมีสมาชิก 7 ตัว จะมีสับเซตทีหยิบสมาชิกมาเพียง 3 ตัว ่ 7 7! 12  3  4 5  6  7 อยู่  3     35 แบบ   4!  3! 12  3  4  1 2  3(10) ให้ S  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} แล้ว ให้หา n(X) และ n(Y)เมื่อกําหนด X  { A  P(S) | 1  A และ 7  A }และ Y  { A  X | ผลบวกของสมาชิกภายใน A ไม่เกิน 6 } ๑.๒ แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดําเนินการของเซต แผนภาพ การแสดงเซตด้วย แผนภาพของเวนน์และออยเลอร์ (Venn-Euler ของเซต Diagram) ช่วยให้เห็นลักษณะความเกี่ยวข้องกันของสมาชิกระหว่างหลายๆ เซตได้ ชัดเจนขึ้น จึงเป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหาส่วนใหญ่ที่เกี่ยวกับเรื่องเซต ในการเขียน แผนภาพดังกล่าวนิยมแทนเอกภพสัมพัทธ์ U ด้วยกรอบสี่เหลี่ยม และภายในบรรจุ รูปปิด (วงกลม วงรี ฯลฯ) ที่ใช้แทนขอบเขตของเซต A, B, C ต่างๆ ซึ่งจะต้องเขียน ให้มีบริเวณที่เซตสองเซตซ้อนทับกัน หากว่าสองเซตนั้นมีสมาชิกร่วมกัน ดังภาพ U U U A A B A B B A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน A และ B มีสมาชิกร่วมกัน A เป็นสับเซตของ B (เรียกว่าเป็น disjoint sets) เพื่อความเป็นระเบียบและลดความสับสนในการคิดคํานวณ ถ้าไม่ทราบรูปแบบชัดเจน ควรจะวาดS แผนภาพเซต A และ B ให้มีสมาชิกร่วมกันก่อน (ในลักษณะเหมือนรูปกลาง) แล้วจากนั้นเมือ ่ คํานวณจนทราบแน่ชัดว่าชินส่วนใดไม่มีสมาชิก จึงค่อยแรเงาทิ้งไป ้
21. 21 เซต kanuay@hotmail.com ตัวอย่าง 1.6 กําหนดเอกภพสัมพัทธ์ U  {0, 1, 2, 3, 4, ..., 11} ถ้า A เป็นเซตของจํานวนที่นอยกว่า 5, B เป็นเซตของจํานวนคีที่ไม่เกิน 9 ้ ่ และ C เป็นเซตของจํานวนเฉพาะ ให้เขียนแผนภาพแสดงเซต A, B และแสดงเซต A, B, C วิธีคิด จากโจทย์ จะทราบว่า A  {0, 1, 2, 3, 4} , B  {1, 3, 5, 7, 9}และ C  {2, 3, 5, 7, 11} จึงเขียนแผนภาพแสดงเซต A, B ได้ดังนี้ และเขียนแผนภาพแสดงเซต A, B, C ได้ดังนี้ U 6 8 10 11 U 5 04 1 9 B 0 2 1 A 4 3 79 2 3 57 68 11 A B 10 Cการดําเนินการ ในพื้นฐานของวิชาคณิตศาสตร์ เราได้รู้จักการดําเนินการเกี่ยวกับจํานวนอยู่ เกี่ยวกับเซต หลายลักษณะ เช่น การบวก, การลบ, การคูณ, การหาร, การยกกําลัง, การถอด ราก, การหาค่าสัมบูรณ์ เป็นต้น ซึ่งล้วนแล้วแต่เป็นวิธีการทําให้เกิดจํานวนใหม่ขึ้น จากจํานวนที่มีอยู่เดิม การดําเนินการเกี่ยวกับเซตก็เป็นการทําให้เกิดเซตใหม่ขึ้นจาก เซตที่มีอยู่เดิมเช่นเดียวกัน ซึ่งการดําเนินการที่พบโดยทั่วไปมีอยู่ 4 ลักษณะ ได้แก่ 1. ยูเนียน (Union:  ) เซต A  B คือเซตของสมาชิกสมาชิกทั้งหมดของ A กับ B (เทียบได้กับคําว่า “A หรือ B”) ผลลัพธ์ที่ได้มักจะมีจํานวนสมาชิกเพิ่มขึ้น U U U A A B A B B ยูเนียนของ A กับ B ได้เป็น B 2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection:  ) เซต A  B คือเซตของสมาชิกตัวที่ปรากฏซ้ํากันใน A และ B (เทียบได้กับคําว่า “A และ B”) ผลลัพธ์ที่ได้มักจะมีจํานวนสมาชิกน้อยลง U U U A A B A B B อินเตอร์เซกชันของ A กับ B อินเตอร์เซกชันของ A กับ B เป็นเซตว่าง ได้เป็น A