 Www.Prapasara Download
(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.5 (คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.5 คู่มือครูรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ตามมาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วัด กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!Create your own flipbook View Text Version Likes : 0 Category : All Report
(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.5 บทท่ี 3 | ลําดบั และอนุกรม 95 คมู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 3.3 การวดั ผลประเมินผลระหวา งเรียน การวัดผลระหวางเรียนมีจุดมุงหมายเพ่ือปรับปรุงการเรียนรูและพัฒนาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเร่ืองท่ีครูสอนมากนอยเพียงใด การใหนักเรียน ทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหนึ่งที่ครูอาจใชเพ่ือประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของนักเรียน ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 5 ไดนําเสนอแบบฝกหัดที่ ครอบคลุมเนื้อหาที่สําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทท่ี 3 ลําดับและอนุกรม ครูอาจใชแบบฝกหัด เพอื่ วดั ผลประเมินผลความรูใ นแตละเน้ือหาไดด งั นี้ เน้อื หา แบบฝก หัด การหาพจนใ นลําดบั จากพจนทั่วไปท่กี ําหนด 3.1.1 ขอ 1 – 2 การหาพจนใ นลําดับเลขคณติ และพจนทว่ั ไปของลาํ ดับเลขคณิต 3.1.2 ขอ 1 – 13 การประยกุ ตของลําดับเลขคณติ 3.1.2 ขอ 14 – 15 การหาพจนในลําดับเรขาคณิตและพจนท ั่วไปของลาํ ดบั เรขาคณิต 3.1.3 ขอ 1 – 12 การประยกุ ตของลําดบั เรขาคณติ 3.1.2 ขอ 13 – 14 การหาผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเลขคณติ 3.2.1 ขอ 1 – 8 การประยกุ ตข องการอนุกรมเลขคณติ 3.2.1 ขอ 9 – 10 การหาผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ 3.2.2 ขอ 1 – 3 การประยุกตของการอนกุ รมเรขาคณิต 3.2.2 ขอ 4 – 7 การประยุกตของลาํ ดบั และอนุกรมเก่ยี วกับดอกเบยี้ และมูลคา ของเงิน 3.3 ขอ 1 – 11 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี บทที่ 3 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 96 คูมือครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 3.4 การวิเคราะหแบบฝกหัดทายบท หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 มีจุดมุงหมายวาเมื่อนักเรียนได เรียนจบบทที่ 3 ลาํ ดับและอนุกรม แลวนักเรยี นสามารถ 1. หาพจนตา ง ๆ ของลาํ ดบั เลขคณติ และลาํ ดับเรขาคณิต 2. หาผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 3. ใชความรูเกย่ี วกบั ลาํ ดับและอนกุ รมในการแกปญ หา 4. ใชค วามรเู ก่ียวกบั ดอกเบ้ียและมูลคา ของเงนิ ในการแกปญหา ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 ไดนําเสนอแบบฝกหัดทายบท ท่ีประกอบดวยโจทยเพ่ือตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมีวัตถุประสงคเพื่อวัดความรูความเขาใจ ของนักเรยี นตามจุดมุงหมาย ซง่ึ ประกอบดวยโจทยฝ ก ทักษะท่ีมีความนาสนใจและโจทยทาทาย ครอู าจเลอื กใชแบบฝก หดั ทายบทวัดความรคู วามเขาใจของนกั เรียนตามจุดมุงหมายของบทเพ่ือ ตรวจสอบวานักเรยี นมีความสามารถตามจดุ มงุ หมายเมื่อเรียนจบบทเรียนหรอื ไม ทั้งน้ี แบบฝกหัดทายบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 5 บทที่ 3 ลาํ ดบั และอนุกรม สอดคลอ งกับจุดมุงหมายของบทเรยี น ดังนี้ จดุ มงุ หมาย แบบฝก หัดทา ยบทขอ ที่ 1. หาพจนตา ง ๆ ของลาํ ดับเลขคณิตและลาํ ดับเรขาคณติ 1 1) – 4) 2 1) – 6) 3 4 5 9 1) – 6) 10 11 12 13 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี บทที่ 3 | ลําดบั และอนกุ รม 97 คมู อื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 จุดมงุ หมาย แบบฝกหดั ทายบทขอที่ 1. หาพจนต าง ๆ ของลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณติ (ตอ ) 2. หาผลบวก n พจนแ รกของอนกุ รมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 18 19 3. ใชค วามรูเ ก่ียวกับลาํ ดับและอนกุ รมในการแกปญหา 20 22 23 1) – 3) 24 25 26 31 32 1) – 3) 33 34 1) 40 1) – 6) 6 7 8 12 14 1) – 2) 15 16 17 21 1) – 2) 27 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี บทท่ี 3 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 98 คมู ือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 จุดมุงหมาย แบบฝก หัดทา ยบทขอ ที่ 3. ใชค วามรูเก่ยี วกบั ลาํ ดบั และอนุกรมในการแกปญหา (ตอ ) 4. ใชค วามรูเก่ียวกบั ดอกเบย้ี และมูลคา ของเงนิ ในการแกปญ หา 28 1) – 2) 29 1) – 6) โจทยทา ทาย 30 34 2) 35 36 37 1) – 3) 38 1) – 4) 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 52 53 39 1) – 3) 51 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี บทท่ี 3 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 99 คูมอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 3.5 ความรเู พมิ่ เติมสาํ หรบั ครู • นอกจากลาํ ดับเลขคณติ และลาํ ดับเรขาคณิต ซึ่งไดกลาวถึงในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 แลว ยังมีลําดับอื่น ๆ ซึ่งมีช่ือเฉพาะโดยตั้งตามช่ือนัก คณติ ศาสตรท ี่เปนผคู นพบลําดับนั้น หรือมชี อ่ื ตามลักษณะของลาํ ดบั ตัวอยา งลําดบั ทีม่ ชี ่ือเฉพาะ 1) ลําดับฮารโมนิก (Harmonic sequence) คือ ลําดับของจํานวนจริงท่ีมีสวนกลับของ จํานวนจริงเหลาน้ันเปนลําดับเลขคณิต เชน 1, 1 , 1 , , 1 , เปนลําดับฮารโมนิก 23 n เพราะวา 1, 2, 3, , n, เปนลําดับเลขคณติ 2) ลําดับฟโบนักชี (Fibonacci sequence) คือ ลําดับ Fn ซึ่ง=F0 0=, F1 1 และ =Fn Fn−1 + Fn−2 เมื่อ n ≥ 2 เรียกแตละพจนของลําดับฟโบนักชีวา จํานวนฟโบนักชี (Fibonacci number) ซ่ึงไดแก 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 3) ลําดับลูคัส (sequence of Lucas numbers) คือ ลําดับ Ln ซึ่ง=L0 2=, L1 1 และ =Ln Ln−1 + Ln−2 เมื่อ n ≥ 2 เรียกแตละพจนของลําดับลูคัสวา จํานวนลูคัส (Lucas number) ซึง่ ไดแ ก 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ขอ สงั เกต ลําดบั ฟโ บนกั ชีและลาํ ดับลคู ัสเปนลําดับทก่ี าํ หนดโดยใชความสัมพันธเวียนเกิด เดียวกัน กลาวคือ แตละพจนของลําดับไดจากผลบวกของสองพจนกอนหนา โดยการกําหนดสองพจนแรกของลําดับทั้งสองตางกัน ทําใหลําดับท้ังสอง แตกตา งกัน ตวั อยา งลาํ ดับท่มี ีช่อื ตามลกั ษณะของลาํ ดบั 1) ลําดับแกวงกวัด (Oscillating sequence) คือ ลําดับลูออกที่มีลักษณะของกราฟขึ้น และลงสลับกันโดยไมเ ขา ใกลจํานวนใดจาํ นวนหนึ่ง เชน 2, 1 , 2, 1 , 22 1, −1, 1, −1, , (−1)n−1 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี บทท่ี 3 | ลาํ ดบั และอนุกรม 100 คูมอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 2) ลําดับสลับ (Alternating sequence) คือ ลําดับซ่ึงประกอบดวยพจนท่ีเปนจํานวนบวก และจาํ นวนลบสลบั กัน เชน 1, −1, 1, −1, , ( )−1 n−1 −1, 1 , − 1 , , (−1)n , 23 n ขอสังเกต ลําดบั สลบั เปน กรณีหน่งึ ของลําดับแกวงกวัด • นอกจากอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งไดกลาวถึงในหนังสือเรียนรายวิชา พนื้ ฐานคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 แลว ยงั มอี นกุ รมจํากัดอ่นื ๆ อกี เชน 1) อนุกรมโทรทรรศน (Telescopic series) สมมติวา ตอ งการหาผลบวก Sn = a1 + a2 + a3 + + an−1 + an ถาสามารถเขยี น ai ใหอยใู นรปู =ai bi+1 − bi สาํ หรบั ทกุ i ∈{1, 2, 3, , n} เม่ือ bi เปน ลาํ ดบั ใด ๆ จะไดวา Sn = (b2 − b1 ) + (b3 − b2 ) + (b4 − b3 ) + + (bn − bn−1 ) + (bn+1 − bn ) = bn+1 − b1 อนุกรมทม่ี สี มบตั นิ เ้ี รียกวา อนุกรมโทรทรรศน เชน 3 + 5 + 7 + + (2n +1) ให ai = 2i +1 = i2 + 2i +1− i2 = (i +1)2 − i2 และ bi = i2 จะได 3 + 5 + 7 + + (2n +1) ( ) ( ) ( )22 −12 ( n + 1)2 = + 32 − 22 + 42 − 32 + + − n2 = (n +1)2 −1 = bn+1 − b1 ดงั นั้น 3 + 5 + 7 + + (2n +1) เปนอนกุ รมโทรทรรศน 2) อนกุ รมเลขคณิต–เรขาคณิต (Arithmetic–Geometric Series) อนุกรมเลขคณิต–เรขาคณติ จํากดั คอื อนกุ รมในรปู a1 + a2r + a3r 2 + + anr n−1 เม่ือ a1, a2, , an เปนลําดับเลขคณิต และ 1, r, r2, , rn−1 เปนลําดับเรขาคณิต ตวั อยา งอนกุ รมเลขคณติ –เรขาคณิตจาํ กัด เชน 1 + 3 + 5 + + 2n −1 2 22 23 2n สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี บทที่ 3 | ลําดับและอนกุ รม 101 คูม อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 จะเหน็ วา ลําดับดงั กลาวเขยี นไดใ นรปู 1 ⋅1+ 3 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 ++ 2n − 1 ⋅ 1 2 2 2 2 22 2 2n−1 โดยมี 1 , 3 , 5 , , 2n −1 เปน ลาํ ดับเลขคณติ 222 2 และ 1, 1, 1 , , 1 เปน ลาํ ดับเรขาคณิต 2 22 2n−1 ดังนั้น 1+ 3 +5 ++ 2n −1 เปนอนกุ รมเลขคณิต–เรขาคณติ จํากดั 2 22 23 2n • นอกจากอนุกรมจํากัดซึ่งไดกลาวไวในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ช้ัน มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 ยังมอี นุกรมอนนั ต (infinite series) ซง่ึ นยิ ามไดดังน้ี ให a1, a2, a3, , an, เปน ลาํ ดับอนนั ต เรียกการเขยี นแสดงการบวก a1 + a2 + a3 + + an + วา อนุกรมอนนั ต • คา งวดที่กลา วถึงในหนงั สอื เรยี นรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 5 ตรงกับ คําศพั ทภาษาอังกฤษทางการเงินวา annuity และ installment อยางไรก็ตามทั้งสองคําน้ีมี ความหมายแตกตางกัน สําหรับ annuity นน้ั เปน คางวดที่ชาํ ระเปนจํานวนเงินท่ีเทากันในระยะเวลาท่ีเทากัน ซ่ึงมักใชในกรณขี องการออมเงิน เงินสะสมจะเพิ่มข้ึนเร่ือย ๆ ตามระยะเวลาท่ีผานไป และ จะมีการคิดดอกเบ้ียในชวงระยะเวลาที่มีการฝากเงินดวย เชน การฝากเงินเขาบัญชีเงิน ฝากของธนาคารทุกเดอื น เดือนละ 1,000 บาท เปนเวลา 6 เดือน โดยใหดอกเบ้ียในอัตรา 6% ตอ ปนั้น เงินสะสมในบัญชีจะเพม่ิ ข้ึนทกุ ๆ เดือนซึง่ เปนกําหนดชาํ ระคางวด จนกระทั่ง ครบ 6 เดือน ซงึ่ เปนระยะเวลาชําระคา งวดทั้งหมดท่กี ําหนดไว สวน installment นั้น มีความหมายใกลเคียงกับ annuity แตเปนคางวดที่ชําระเปน จํานวนเงนิ ท่ีเทา กนั ในระยะเวลาทเี่ ทากนั ซ่ึงมักใชในกรณีของการชําระหนี้ คาสินคา หรือ บริการ โดยกอนท่ีจะมีการชําระคางวดสําหรับงวดแรก ผูชําระคางวดจะมียอดเงินรวมที่ ตองชําระคืน ซ่ึงอาจมาจากผลรวมของราคาสินคาและดอกเบ้ีย แตยอดเงินรวมท่ีตอง ชําระคืนจะลดลงเรื่อย ๆ ตามระยะเวลาท่ีผานไป เชน การชําระเงินเพ่ือจายหน้ีซ่ึงมี ยอดเงนิ รวมที่ตองชําระคืน 10,000 บาท โดยชําระคืนทุกเดือน เดือนละ 2,000 บาท เปน เวลา 5 เดือนน้ัน จะเห็นวากอนที่จะเริ่มชําระเงินงวดแรก ผูชําระเงินจะมียอดหนี้รวม ท้ังหมด 10,000 บาท แตเมื่อเริ่มชําระเงินงวดท่ี 1 ยอดหน้ีจะลดลง และจะลดลงเร่ือย ๆ ในทกุ ๆ เดือนซ่ึงเปนกําหนดชําระคางวด จนกระท่ังครบ 5 เดือน ซึ่งเปนระยะเวลาชําระ คางวดทั้งหมดทก่ี าํ หนดไว สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี บทท่ี 3 | ลําดบั และอนุกรม 102 คมู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 5 3.6 ตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บทและเฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท ในสว นนจ้ี ะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทที่ 3 ลําดับและอนุกรม สําหรับรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 ซึ่งครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรูท่ี ตองการวดั ผลประเมนิ ผล ตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บท 1. ใหส่พี จนแรกของลาํ ดับเลขคณิตลําดับหนึ่งเปน 8, a +1, b − 2 และ 23 ตามลาํ ดบั จงหา a + b 2. ให a, b และ c เปนจาํ นวนเต็มบวกสามจํานวนซึ่งเปน สามพจนแรกของลําดับเลขคณิต ถา b เปน สองเทา ของ a แลวจงพจิ ารณาวา ขอความในแตล ะขอตอไปน้ีเปนจรงิ หรือเท็จ 1) ผลตา งรว มของลาํ ดบั เลขคณิตนี้ คือ a 2) a + b + c =3b 3. ถาลําดับเลขคณติ มีพจนที่ 5 คอื 18 และพจนที่ 10 คือ 38 จงหาพจนที่ 15 4. ผลบวกของหา พจนแ รกของลําดบั เลขคณิตลําดบั หนึ่งเปน 100 ถาลาํ ดับเลขคณิตนม้ี ีพจน ท่ี 100 เปน −174 แลว จงหาผลตา งรวมของลําดับเลขคณิตน้ี 5. ให an เปนพจนหนึ่งในลําดับเรขาคณิตที่มีอัตราสวนรวมเปนจํานวนจริงลบ ถาลําดับ เรขาคณิตนี้มีพจนท่ี 6 คือ 8 และพจนที่ 8 คือ 2 แลว 1 เปนพจนที่เทาใดของลําดับ 8 เรขาคณิตน้ี 6. ลําดับเรขาคณิตลําดบั หนง่ึ มีผลคูณของสามพจนแรกเปน 27 และผลบวกของสามพจนแรก เปน 9 จงหาอตั ราสว นรวมของลาํ ดบั เรขาคณติ นี้ 7. จงหาวา มจี าํ นวนเตม็ บวกตง้ั แต 300 ถงึ 500 ที่หารดวย 3 ลงตัว แตหารดว ย 9 ไมล งตัว ทั้งหมดกีจ่ าํ นวน 8. ถาลําดบั เลขคณติ มพี จนท่ี 10 เปน 95 และผลบวก 10 พจนแรกเปน 500 จงหาผลตางรวม ของลาํ ดบั เลขคณิตน้ี 9. ถาลําดับเลขคณิตมีพจนท่ี 3 เปน 12 พจนท่ี 30 เปน 93 และผลบวก n พจนแรกเปน 1995 แลว จงหา n สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี บทท่ี 3 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 103 คมู ือครูรายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 5 10. ให Sn แทนผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต ถา S5 =100 และ S10 = 500 แลว จงหา a50 11. จงหาผลบวกของจาํ นวนเตม็ ตง้ั แต 199 ถึง 399 ทหี่ ารดวย 3 ลงตวั 12. จงหาผลบวก 7 พจนแรกของอนุกรมทไ่ี ดจ ากลําดบั เรขาคณิต 4, 4⋅31, 4⋅32, , 4 ⋅36 13. โรงละครแหงหน่ึงมีพื้นเปนรูปสี่เหล่ียมคางหมู มีแถวที่นั่งเรียงลําดับตัวอักษรจากแถว A ซ่ึงอยูหลังสุดไปแถว J ซึ่งอยูหนาสุด โดยแถว A มีที่นั่งชมละคร 8 ที่นั่ง และแถวถัด ๆ ไป จะเพ่ิมจาํ นวนท่นี ั่งจากแถวกอนหนา 2 ที่นงั่ เสมอ โรงละครนีส้ ามารถจุดผชู มไดก ่ีท่ีนง่ั 14. กรซื้อรถยนตคันหน่ึงราคา 549,000 บาท โดยรานรับซ้ือรถยนตมือสองรับซื้อรถยนตรุนน้ี โดยคิดคาเส่ือมราคาในอัตรา 15% ตอป ถากรตัดสินใจจะขายรถคันน้ีในปลายปท่ี 7 เขา จะขายรถคนั นีไ้ ดใ นราคาเทาใด 15. กอยและนางวางแผนจะซ้ือของขวัญใหคุณพอและคุณแม กอยจึงเริ่มออมเงินในเดือน มกราคม 2562 เปนเงนิ 250 บาท และจะออมเงินเพิ่มข้ึนทุกเดือน เดือนละ 50 บาท สวน นางเร่ิมออมเงินในเดือนมีนาคม 2562 เปนเงิน 20 บาท และจะออมเงินเดือนถัดไปเปน สองเทาของเงนิ ท่อี อมในเดอื นกอนหนา เมื่อสิ้นเดือนธันวาคม 2562 กอยและนางจะมีเงิน ออมรวมกนั ก่บี าท 16. ก่ิงแกวฝากเงินจํานวนหนึ่งไวกับธนาคารเปนเวลา 10 ป โดยไมมีการฝากหรือถอนใน ระหวางนั้น ซ่ึงใน 5 ปแรก ธนาคารคิดดอกเบ้ียแบบทบตนในอัตรา 1% ตอป และใน 5 ป หลงั ธนาคารคดิ ดอกเบ้ียแบบทบตนในอัตรา 2% ตอป ถาก่ิงแกวมีเงินในบัญชี ณ สิ้นปท่ี 10 อยู 50,000 บาท จงหาวา กง่ิ แกว เร่มิ ตนฝากเงนิ ไวเ ทา ใด 17. กุกไกซ้ือคอมพิวเตอรราคา 12,000 บาท โดยเลือกผอนชําระเปนรายเดือนทุกสิ้นเดือน เดือนละเทากันเปนเวลา 10 เดือน ถาอัตราดอกเบ้ีย 12% ตอป โดยคิดดอกเบ้ียแบบทบ ตนทุกเดอื นแลว 1) กกุ ไกจะตอ งผอนชําระเดือนละเทา ใด 2) ถากุกไกไดรับคาใชจายจากผูปกครองเดือนละ 5,000 บาท กุกไกจะเหลือเงินหลัง ผอนชาํ ระคาคอมพิวเตอรแ ลวเดอื นละเทาใด สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี บทที่ 3 | ลําดับและอนุกรม 104 คมู อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท 1. จากสี่พจนแ รกของลําดบั เลขคณติ คือ 8, a +1, b − 2 และ 23 วธิ ที ี่ 1 จะได a1 = 8 และ d = a2 − a1 = (a +1) − 8 = a − 7 จาก an = a1 + (n −1) d จะได b − 2 = 8 + (3 −1)(a − 7) นัน่ คือ และ 2a − b = 4 - (1) 23 = 8 + (4 −1)(a − 7) วิธีท่ี 2 นน่ั คอื a = 12 แทน a ดว ย 12 ใน (1) จะได b = 20 ดงั นน้ั a + b = 12 + 20 = 32 จะได a1 = 8 และ d = a2 − a1 = (a +1) − 8 = a − 7 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 23 = 8 + (4 −1)d d =5 ดังนนั้ สพ่ี จนแ รกของลาํ ดับเลขคณิตนี้ คอื 8, 13, 18 และ 23 จะได a +1 = 13 a = 12 และ b − 2 = 18 b = 20 ดงั น้ัน a + b = 12 + 20 = 32 วิธีท่ี 3 จะได d = a2 − a1 = (a +1) − 8 = a − 7 และ d = a4 − a3 = 23 − (b − 2) = 25 − b นน่ั คอื a − 7 = 25 − b จะได a + b = 25 + 7 = 32 2. จากสามพจนแรกของลาํ ดับเลขคณติ คอื a, b และ c 1) เน่อื งจาก b เปนสองเทา ของ a นั่นคือ b = 2a จะได สามพจนแรกของลําดับเลขคณิตน้ี คือ a, 2a และ c สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี บทที่ 3 | ลาํ ดับและอนกุ รม 105 คมู อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 นนั่ คือ ผลตา งรวมของลําดับเลขคณิตนี้ คือ 2a − a =a ดังน้นั ขอ ความ “ผลตางรวมของลาํ ดบั เลขคณิตน้ี คือ a ” เปน จริง 2) เนือ่ งจากลําดับเลขคณิตนมี้ ีผลตางรว ม คือ a จะได c = 3a จะได a + b + c = a + 2a + 3a = 6a = 3(2a) = 3b 3. จาก ดังน้ัน ขอ ความ “ a + b + c =3b ” เปนจริง an = a1 + (n −1) d จะได 18 = a1 + (5 −1)d - (1) และ 38 = a1 + (10 −1) d - (2) จาก (1) และ (2) จะได a1 = 2 และ d = 4 ดังน้นั a15 =2 + (15 −1)(4) =58 น่ันคือ พจนท ่ี 15 ของลําดบั เลขคณติ นี้ คือ 58 4. วธิ ที ่ี 1 จาก an = a1 + (n −1) d จะได a2 = a1 + d a3 = a1 + 2d a4 = a1 + 3d และ a5 = a1 + 4d เนื่องจาก ผลบวกของหาพจนแรกของลําดบั เลขคณติ นเี้ ปน 100 จะได 100 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 100 = a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2d ) + (a1 + 3d ) + (a1 + 4d ) 100 = 5a1 +10d นน่ั คือ 20 = a1 + 2d - (1) เนอื่ งจาก ลาํ ดับเลขคณติ นี้มีพจนท ี่ 100 เปน −174 จะได −174 = a1 + (100 −1)d นน่ั คอื −174 = a1 + 99d - (2) จาก (1) และ (2) จะได a1 = 24 และ d = −2 ดงั น้ัน ผลตา งรวมของลําดบั เลขคณิตนี้เปน −2 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี บทท่ี 3 | ลาํ ดับและอนุกรม 106 คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 วิธีท่ี 2 ใหห า พจนแรกของลาํ ดับเลขคณติ คอื a − 2d, a − d, a, a + d, a + 2d เมอื่ d เปน ผลตา งรว มของลําดับเลขคณติ น้ี จะได 100 = (a − 2d ) + (a − d ) + a + (a + d ) + (a + 2d ) 5a = 100 a = 20 นนั่ คอื พจนท่ี 3 ของลําดบั เลขคณิตนี้ คอื 20 เน่อื งจาก พจนท ่ี 100 ของลาํ ดบั เลขคณติ นี้ คือ −174 และ a10=0 a1 + 99d จะได −174 = (a3 − 2d ) + 99d −174 = (20 − 2d ) + 99d 97d = −194 5. จาก d = −2 จะได และ ดงั น้นั ผลตางรวมของลําดับเลขคณิตนี้เปน −2 an = a1r n−1 8 = a1r5 - (1) 2 = a1r7 - (2) จาก (1) และ (2) จะได r = 1 หรอื r = − 1 22 เนอ่ื งจาก ลาํ ดับเรขาคณิตน้มี ีอัตราสวนรว มเปน จาํ นวนจริงลบ จะได r = −1 และ a1 = −256 2 นนั่ คอื 1 n −1 2 an = −256 − จะได 1 1 n −1 8 2 = −256 − 1 n −1 1 2 × 256 − = − 8 1 n −1 1 2 × − = − 23 28 1 n −1 1 2 211 − = − 1 n −1 1 11 2 2 − = − สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี บทที่ 3 | ลําดบั และอนกุ รม 107 คมู ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 นั่นคอื n −1 = 11 จะได n = 12 ดังน้ัน 1 เปน พจนท ่ี 12 ของลาํ ดับเรขาคณติ น้ี 8 6. วธิ ีที่ 1 จาก an = a1r n−1 จะได สามพจนแรกของลําดบั เรขาคณิตนี้ คอื a1, a1r และ a1r2 เนื่องจาก ลาํ ดับเรขาคณิตนมี้ ีผลคูณของสามพจนแ รกเปน 27 จะได ( )27 = a1 (a1r ) a1r2 27 = a13r3 27 = (a1r )3 a1r = 3 นั่นคือ a1 = 3 - (1) r เนอ่ื งจาก ลําดับเรขาคณิตนีม้ ีผลบวกของสามพจนแรกเปน 9 จะได 9 = a1 + a1r + a1r2 ( )9 = a1 1+ r + r2 นนั่ คอื a1 = 9 - (2) 1+ r + r2 จาก (1) และ (2) จะได a1 = 3 และ r =1 ดังนนั้ อตั ราสวนรว มของลาํ ดับเรขาคณิตนี้ คือ 1 วิธที ่ี 2 ใหส ามพจนแรกของลาํ ดับเรขาคณติ คือ a , a และ ar r เมือ่ r เปน อตั ราสวนรวมของลําดบั เรขาคณติ นี้ เนือ่ งจาก ผลคูณของสามพจนแ รก คือ 27 จะได 27 = a × a × ar r a3 = 27 a =3 นั่นคือ พจนที่ 2 ของลาํ ดับเรขาคณติ น้ี คือ 3 จะได สามพจนแ รกของลําดบั เรขาคณิตนี้ คือ 3, 3 และ 3r r เน่อื งจาก ผลบวกของสามพจนแรก คอื 9 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี บทท่ี 3 | ลําดับและอนกุ รม 108 คมู อื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 จะได 9 = 3 + 3 + 3r r 0 = 3r − 6 + 3 r 0 = r2 − 2r +1 (r −1)2 = 0 นน่ั คือ r = 1 ดังน้ัน อตั ราสว นรว มของลําดับเรขาคณิตน้ี คือ 1 7. จํานวนเตม็ บวกต้งั แต 300 ถึง 500 ท่หี ารดว ย 3 ลงตัว ไดแก 300, 303, 306, , 498 น่นั คือ ลําดับเลขคณิตของจํานวนเต็มบวกตัง้ แต 300 ถึง 500 ทห่ี ารดว ย 3 ลงตวั คือ 300, 303, 306, , 498 จะ=ได a1 3=00, an 498 และ d = 303 − 300 = 3 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 498 = 300 + (n −1)(3) นัน่ คือ n = 67 ดงั น้ัน มีจํานวนเต็มบวกต้ังแต 300 ถงึ 500 ท่ีหารดว ย 3 ลงตัว ท้ังหมด 67 จํานวน จาํ นวนเต็มบวกตงั้ แต 300 ถึง 500 ทห่ี ารดว ย 9 ลงตวั ไดแก 306, 315, 324, , 495 นั่นคือ ลาํ ดับเลขคณิตของจํานวนเต็มบวกต้งั แต 300 ถงึ 500 ที่หารดวย 9 ลงตัว คือ 306, 315, 324, , 495 จะ=ได b1 3=06, bn 495 และ d = 315 − 306 = 9 จาก bn = b1 + (n −1) d จะได 495 = 306 + (n −1)(9) นั่นคือ n = 22 ดังนัน้ มีจํานวนเต็มบวกตั้งแต 300 ถงึ 500 ทหี่ ารดว ย 9 ลงตัว ทัง้ หมด 22 จาํ นวน น่นั คือ มีจํานวนเต็มบวกต้งั แต 300 ถึง 500 ที่หารดว ย 3 ลงตวั แตหารดว ย 9 ไมล งตวั ท้ังหมด 67 − 22 =45 จํานวน 8. จาก an = a1 + (n −1) d เน่ืองจาก พจนท่ี 10 ของลําดับเลขคณติ นี้ คือ 95 จะได 95 = a1 + (10 −1)d 95 = a1 + 9d - (1) จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี บทท่ี 3 | ลาํ ดับและอนุกรม 109 คูมอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 เนอื่ งจาก ผลบวก 10 พจนแรก คอื 500 จะได 500 = 10 ( a1 + 95) 2 500 = 5(a1 + 95) 100 = a1 + 95 a1 = 5 แทน a1 ใน (1) ดว ย 5 จะได d =10 ดังนัน้ ผลตางรวมของลําดบั เลขคณิตนี้ คือ 10 9. จาก an = a1 + (n −1) d เนื่องจากพจนที่ 3 ของลาํ ดับเลขคณิตน้ี คือ 12 จะได 12 = a1 + (3 −1)d 12 = a1 + 2d - (1) และเนื่องจากพจนที่ 30 ของลําดบั เลขคณิตนี้ คือ 93 จะได 93 = a1 + (30 −1)d 93 = a1 + 29d - (2) จาก (1) และ (2) จะได a1 = 6 และ d = 3 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 เนอ่ื งจากผลบวก n พจนแรก คือ 1995 จะได 1995 = n ( 2)(6) + ( n − 1) ( 3) 2 1995 = n (9 + 3n) 2 3990 = n(9 + 3n) 0 = 3n2 + 9n − 3990 0 = n2 + 3n −1330 0 = (n − 35)(n + 38) นน่ั คือ n = 35 หรือ n = −38 เน่ืองจาก n > 0 ดังนั้น n = 35 10. จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 เน่อื งจาก S5 =100 และ S10 = 500 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี บทท่ี 3 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 110 คมู อื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 จะได 100 = 5 ( 2a1 + ( 5 − 1) d ) 2 100 = 5 ( 2a1 + 4d ) 2 40 = 2a1 + 4d - (1) และ 500 = 10 ( 2a1 + (10 − 1) d ) 2 500 = 5(2a1 + 9d ) 100 = 2a1 + 9d - (2) จาก (1) และ (2) จะได a1 = −4 และ d =12 จาก an = a1 + (n −1) d จะได a50 = −4 + (50 −1)(12) = 584 11. จาํ นวนเตม็ บวกตงั้ แต 199 ถึง 399 ทห่ี ารดว ย 3 ลงตวั ไดแก 201, 204, 207, , 399 นัน่ คือ ลาํ ดับเลขคณิตของจาํ นวนเต็มบวกตั้งแต 199 ถึง 399 ทห่ี ารดว ย 3 ลงตัว คือ 201, 204, 207, , 399 จะ=ได a1 2=01, an 399 และ d = 204 − 201 = 3 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 399 = 201+ (n −1)(3) นั่นคือ n = 67 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S67 = 67 (201+ 399) 2 = 20,100 ดังนัน้ ผลบวกของจํานวนเตม็ ตงั้ แต 199 ถงึ 399 ท่หี ารดว ย 3 ลงตัว คือ 20,100 ( )Sn 12. จาก = a1 1 − r n 1− r เน่ืองจากลําดับที่กําหนดใหม ี a1 = 4 และ r = 3 จะได S7 = 4(1− 37 ) 1−3 4 ( −2186 ) = −2 = 4,372 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี บทที่ 3 | ลาํ ดับและอนุกรม 111 คูมือครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 13. จาํ นวนทนี่ งั่ แตละแถวในโรงละครเรียงกันเปน ลาํ ดบั เลขคณิตท่ีมี a1 = 8 และ d = 2 และโรงละครน้ีมีที่นัง่ ทั้งหมด 10 แถว จากแถว A ซง่ึ อยูห ลงั สดุ ไปแถว J ซง่ึ อยูหนาสดุ จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S10 = 10 (2(8) + (10 −1)(2)) 2 = 170 ดังนั้น โรงละครน้จี ผุ ูช มได 170 ท่ีนัง่ 14. กรซื้อรถยนตม าราคา 549,000 บาท เมื่อครบ 1 ป รถยนตข องกรราคา 549, 000 85 บาท 100 เมือ่ ครบ 2 ป รถยนตของกรราคา 549, 000 85 2 บาท 100 เมอ่ื ครบ 3 ป รถยนตข องกรราคา 549, 000 85 3 บาท 100 จะเห็นวาราคารถของกรเปน ลําดับเรขาคณติ ที่มี a1 = 549,000 และ r = 85 100 ดังนน้ั ราคารถยนตของกรเม่ือครบ 7 ป คอื a8 แทน n ดว ย 8 ใน an = a1rn−1 =จะได a8 54=9,000 18050 8−1 549, 000 85 7 ≈ 175,997 100 ดังนน้ั กรจะขายรถคันนี้ไดใ นราคาประมาณ 175,997 บาท 15. เนอื่ งจาก กอยเริ่มออมเงินในเดือนมกราคม 2562 เปนเงิน 250 บาท และจะออมเงินเพิ่มขึ้น ทกุ เดือน เดือนละ 50 บาท น่ันคอื เดือนที่ 1 (มกราคม) กอ ยออมเงนิ 250 บาท เดอื นท่ี 2 (กุมภาพันธ) กอ ยออมเงนิ 250 + 50 บาท เดือนที่ 3 (มีนาคม) กอยออมเงิน (250 + 50) + 50 = 250 + 2(50) บาท เดอื นท่ี 4 (เมษายน) กอ ยออมเงนิ (250 + 2(50)) + 50 = 250 + 3(50) บาท จะเห็นวา เงนิ ทีก่ อ ยออมในแตล ะเดือนเปนลําดบั เลขคณิตท่ีมี a1 = 250 และ d = 50 ดังนัน้ กอยจะมเี งินออมรวมเม่อื ส้นิ เดือนธันวาคม 2562 เปน เงนิ S12 แทน n ดวย 12 ใน S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี บทท่ี 3 | ลําดับและอนุกรม 112 คูมอื ครูรายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 จะได= S12 12 (2(250) + (12 −=1)50) 6, 300 2 ดังนนั้ กอ ยจะมเี งินออมรวมเมือ่ สิ้นเดือนธนั วาคม 2562 เปนเงิน 6,300 บาท เน่ืองจาก นางเร่ิมออมเงนิ ในเดอื นมนี าคม 2562 เปนเงิน 20 บาท และจะออมเงินในเดือน ถัดไปเปนสองเทา ของเงนิ ออมในเดือนกอนหนา นนั่ คือ เดือนที่ 1 (มีนาคม) นางออมเงนิ 20 บาท เดือนที่ 2 (เมษายน) นางออมเงิน 20(2) บาท เดือนท่ี 3 (พฤษภาคม) นางออมเงิน 20(2)2 บาท เดอื นที่ 4 (มถิ ุนายน) นางออมเงิน 20(2)3 บาท จะเหน็ วาเงินท่นี างออมในแตล ะเดอื นเปน ลําดบั เรขาคณติ ทม่ี ี a1 = 20 และ r = 2 ดงั นั้น นางจะมีเงินออมรวมเม่ือส้นิ เดือนธนั วาคม 2562 เปน เงิน S10 แทน n ดว ย 10 ใน Sn = ( )a1 1− rn 1− r =จะได S10 ( )20 1− 210 20, 460 = 1− 2 ดังนั้น นางจะมีเงนิ ออมรวมเมื่อสิ้นเดอื นธันวาคม 2562 เปน เงิน 20,460 บาท นนั่ คือ กอยและนางจะมีเงินออมรวมกันเมื่อสน้ิ เดือนธันวาคม 6,300 + 20,460 =26,760 บาท 16. วธิ ที ี่ 1 พจิ ารณาในชวง 5 ปแ รกที่ก่ิงแกวฝากเงิน (ปท ่ี 1 – 5) ใหก ่ิงแกวเร่มิ ฝากเงินดว ยเงนิ ตน P1 บาท ในทีน่ ี้=P P1 =, k 1=, n 5 และ=r =1 0.01 100 จากทฤษฎีบท 1 จาํ นวนเงนิ รวม คอื P1 1 + 0.01 5 หรือ P1 (1.01)5 บาท 1 พจิ ารณาในชว ง 5 ปห ลังท่กี ง่ิ แกวฝากเงนิ (ปท ่ี 6 – 10) เงนิ ตนในชว ง 5 ปหลัง คอื P1 (1.01)5 บาท ในทน่ี ้ี=P P1 (1.01)5 =, k 1=, n 5 และ=r =2 0.02 100 ( )จากทฤษฎีบท 1 จํานวนเงินรวม คอื 1 0.02 5 หรือ P1 (1.01)5 + 1 P1 (1.01)5 (1.02)5 บาท เนอ่ื งจาก ก่ิงแกว มเี งนิ ในบัญชี ณ สิน้ ปที่ 10 อยู 50,000 บาท สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี บทที่ 3 | ลําดบั และอนกุ รม 113 คูม อื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 จะได 50,000 = P1 (1.01)5 (1.02)5 50,000 = P1 (1.0302)5 วธิ ที ่ี 2 P1 = 43,088.58939 ดังนนั้ กิ่งแกวเรมิ่ ตน ฝากเงินไวป ระมาณ 43,089 บาท พจิ ารณาในชว ง 5 ปห ลังทกี่ งิ่ แกวฝากเงนิ (ปท ่ี 6 – 10) ในทนี่ =้ี S 50000=, k 1=, n 5 และ=r =2 0.02 100 จาก P = S 1 + r − kn k จะได P = 50000 1 + 0.02 −5 1 = 45,286.54049 ดังนนั้ เงินตน เม่ือเรม่ิ ตน ปท ่ี 6 คอื 45,286.54049 บาท พิจารณาในชวง 5 ปแ รกที่ก่งิ แกวฝากเงนิ (ปท่ี 1 – 5) ในทีน่ =้ี S 45,286.54049=, k 1=, n 5 และ=r =1 0.01 100 จาก P = S 1 + r − kn k จะได P = 45, 286.54049 1 + 0.01 −5 1 = 43,088.58939 17. 1) ดังนนั้ เงินตนเมอื่ เรม่ิ ตนปท่ี 1 คือ 43,088.58939 บาท น่ันคือ กง่ิ แกวเรมิ่ ตนฝากเงนิ ไวประมาณ 43,089 บาท ให R แทนคา งวดที่กกุ ไกต องผอนชาํ ระทุกส้ินเดือน ในท่ีนี้ i = 12 และ r = 0.01 12 เนือ่ งจากคอมพิวเตอรร าคา 12,000 บาท โดยกุกไกจะผอ นชําระทุกเดือนเปนเวลา 10 เดอื น ดังนั้น ตอ งหามูลคาปจจุบันของเงนิ ผอ นแตละงวด แลวจงึ นํามารวมกัน สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี บทท่ี 3 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 114 คูมอื ครูรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 RRR RRRR RR R จากแผนภาพ จะไดม ลู คา ปจจุบันของเงินผอนงวดที่ 1, 2, , 10 คอื R (1.01)−1 , R (1.01)−2 , , R (1.01)−10 ตามลําดบั นน่ั คอื ผลรวมของมลู คา ปจจุบันของเงินผอ นทงั้ สบิ งวด คอื R (1.01)−1 + R (1.01)−2 + + R (1.01)−10 ซึง่ เปนอนุกรมเรขาคณติ ท่มี ี 10 พจน โดยพจนแ รก คือ R(1.01)−1 และอตั ราสวนรวม คือ (1.01)−1 ดังน้นั ผลรวมของมลู คาปจ จุบนั ของเงนิ ผอนทั้งสบิ งวด คอื ( )R (1.01)−1 1− (1.01)−10 1 − (1.01)−1 เนื่องจากกุกไกมเี งนิ ท่ตี องผอนชําระ 12,000 บาท จะไดว า ( )R (1.01)−1 1− (1.01)−10 12,000 = 1 − (1.01)−1 ( )12,000 1− (1.01)−1 ( )R = (1.01)−1 1 − (1.01)−10 R ≈ 1,266.98 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี บทท่ี 3 | ลาํ ดบั และอนุกรม 115 คูมือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 ดงั นัน้ กกุ ไกจ ะตองผอ นชําระเดอื นละประมาณ 1,267 บาท 2) เน่ืองจากกุกไกไ ดร บั คาใชจ า ยจากผูปกครองเดือนละ 5,000 บาท ดังนน้ั กกุ ไกจะเหลือเงินหลงั ผอ นชาํ ระคา คอมพวิ เตอรแ ลวเดอื นละประมาณ 5,000 – 1,267 = 3,733 บาท สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 116 คูมอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 เฉลยแบบฝก หัดและวิธีทําโดยละเอียด บทท่ี 1 เลขยกกาํ ลัง แบบฝก หัด 1.1 1. 1) 1100 = 1 2) ( )−1 2019 = −1 3) (−8.43)0 = 1 4) 1 −4 = 54 = 625 5 ( )3−2 ×158 0 = 3(−2)(0) ×15(8)(0) 2. 1) = 30 ×150 =1 25 −2 × 23 −1 ( ) ( ) (( ) )2) −2 23 × 4−2 × 32−2 × 8 −1 = 23 × 22 × = 23 × 2−4 × 210 × 2−3 = 23+(−4)+10+(−3) = 26 3) 22 ×103 = 22 × (5× 2)3 54 × 25 54 × 25 = 22 × 53 × 23 54 × 25 = 22+3−5 × 53−4 = 20 × 5−1 =1 5 4) 2−3 × 3−5 = 2−3−0 × 3−5−(−5) 3−5 × 20 = 2−3 × 30 = 1 23 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี คูมอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 117 3. 1) ( )( )x3 y−2 x−5 y3 = x3+(−5) y−2+3 2) = x−2 y 3) 4) y 5) = x2 6) ( ) ( ) x4 −2 2 xy 2 3 = x−8 23 x3 y6 2 y−2 2−2 y4 = 23−(−2) x−8+3 y6−4 = 25 x−5 y2 = 25 y2 x5 ( )y 1 = 4 y4+2+(−8) 4 3 y 2 12 y−8 = 22 y−2 = 22 y2 ( )( ) ( )x−5 y7 x−2 y−7 z0 = x−5+(−2) y7+(−7) 1 = x−7 y0 = 1 x7 1 x−3 y 2 −4 = 1 x12 y−8 2 2−4 = 24 x12 y8 ( )( )x2 y3 xy4 −3 = ( )( )x2 y3 x−3 y−12 x2 y x2 y = x2+(−3)−2 y3+(−12)−1 = x−3 y−10 = 1 x3 y10 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี 118 คมู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 แบบฝก หดั 1.2 1. 1) เนอ่ื งจาก 82 = 64 และ (−8)2 =64 ดงั นน้ั รากที่ 2 ของ 64 คอื 8 และ −8 2) เนื่องจาก ( )2 =5 และ (− )2 5 5 =5 ดังนน้ั รากที่ 2 ของ 5 คอื 5 และ − 5 3) เน่ืองจาก (4 )4 = 4 และ (− 4 )4 =4 4 4 ดังนัน้ รากที่ 4 ของ 4 คอื 4 4 และ − 4 4 4) เนอ่ื งจาก (−7)3 =−343 ดังนน้ั รากที่ 3 ของ −343 คือ −7 5) เนือ่ งจากรากที่ 4 ของ 625 คือ 5 และ −5 และ (625)(5) > 0 แต (625)(−5) < 0 ดังนั้น คาหลักของรากที่ 4 ของ 625 คอื 5 6) เนื่องจากไมมรี ากที่ 4 ของ −1296 ในระบบจาํ นวนจรงิ ดังนั้น ไมมีคา หลกั ของรากที่ 4 ของ −1296 ในระบบจํานวนจริง 2. 1) 144 = 12 ×12 = 12 2) 4 256 = 4 4 × 4 × 4 × 4 =4 3) 3 64 = 3 4 × 4 × 4 =4 1 = 6 1×1×1×1×1×1 = 1 4) 6 222222 2 64 5) 3 = 3 = 3 = −1 3 −27 3 (−3) × (−3) × (−3) ( −3) 6) (−11)2 = 121 = 11×11 = 11 3. 1) 5= 5 2 2 5⋅ 2 = 22 10 = 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี คูมอื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 119 2) 21 = 7 × 3 15 5× 3 = 7× 3 5× 3 =7 5 = 7⋅ 5 55 35 = 5 3) 3 = 3 20 20 = 3 ⋅ 20 20 20 = 60 20 = 2 15 20 = 15 10 4) 96 = 8×12 2 12 2 12 = 8 × 12 2 12 =8 2 = 22 2 =2 5) 3 8 = 3× 2 2 4 12 4×2 3 = 32 43 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี 120 คูม ือครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 3 8 = 3 2⋅ 3 4 12 43 3 = 36 12 6) =6 4 4. 1) 2) 39 39 3) = 4) 5) 3 4 3 2×2 = 39 ⋅32 3 2×2 3 2 = 3 18 2 45 ⋅ 20 = 3× 3× 5 × 2 × 2 × 5 = 2×2×3×3×5×5 = 2×3×5 = 30 ( ) ( )7 5 − 3 5 + 3 2 + 2 = (7 − 3) 5 + (3 +1) 2 = 4 5+4 2 = 4( 5 + 2) (2 3 + 7 )(2 3 − 7 ) = (2 3 + ) (7 2 3 − 2 3 + 7 ) 7 = 12 + 2 21 − 2 21 − 7 =5 (2 + )2 = (2+ 3)(2+ 3) 3 = (2+ 3)(2)+(2+ 3)( 3) = 4+2 3+2 3+3 = 7+4 3 3 8 − 4 18 + 7 2 = 6 2 −12 2 + 7 2 = (6 −12 + 7) 2 =2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 121 6) 2 5 + 125 − 8 = 2 5 + 5 5 − 8 20 2 5 = 2 5+5 5 − 2 8 ⋅ 5 5 5 = 2 5+5 5−8 5 10 = 2 5+5 5−4 5 5 = 2 + 5 − 4 5 5 = 31 5 5 5. 1) เนอ่ื งจาก (−7)2 = 49 = 7 จะได (−7)2 > −7 2) เนอ่ื งจาก 5 −32 =5 (−2)5 =−2 และ −5 32 =−5 25 =−2 จะได 5 −32 =−5 32 3) เนอื่ งจาก 3 1=08 3 1=08 3=27 3 และ 3 9 3 24 = 3 9 × 24 = 3 216 = 6 34 4 ดังน้นั 3 108 < 3 9 3 24 34 4) เนื่องจาก 12 = 12 = 6 = 6 ⋅ 2 = 6 2 = 3 2 8 22 2 2 2 2 และ 18 = 3 2 ดังนนั้ 12 = 18 8 5) เน่ืองจาก 6 = 6 ⋅ 3 2 = 33 2 34 34 32 และ 3 18 3 6= 3 18 × 6= 3 22 × 33= 33 4 จะได 33 2 < 33 4 ดงั นัน้ 6 < 3 18 3 6 34 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี 122 คมู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 แบบฝก หัด 1.3 2 2 1. 1) 27 3 (33 )3 32 2) = 32 3) 3 = 32 4) ( 0.25 ) 2 32 5) 6) =1 7) 3 ( )= 0.52 2 = (0.5)3 2 2 1 3 1 3 3 125 5 = = 1 2 5 = 1 52 2 (−3)3 3 ( )2 (−27)3 = = (−3)2 = 32 22 2+2 33 × 33 = 33 3 4 = 33 7 4 2 14 73 = 7 3 ( )( )− 4 −4 −1000 3 = ( −10 )3 3 = (−10)−4 =1 ( −10 )4 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี คมู อื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 123 ( −1000 )− 4 = 1 3 104 24 2+4 8) 53 × 53 = 53 3 6 = 53 = 52 5 −4 85 + − 4 3 3 9) 83 ×8 3 = 1 = 83 1 ( )= 23 3 =2 7 −3 7 + − 3 2 2 10) 0.52 × 0.5 2 = 0.5 4 = 0.52 = 0.52 5 −8 5 + − 8 3 3 11) 103 ×10 3 = 10 −3 = 10 3 = 10−1 =1 10 15 12) 22 × 22 1 + 5 −1 2 = 22 2 = 22 3 3 23 × 82 23 × 23 2 =1 8 23 2 ( ( ) )13) 9 = 23 × 22 3 22 3+ 9 − 3 = 2 22 = 26 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี 124 คูมอื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 1 1 83 + 7 ( )23 3 + 7 14) 1= 1 ( )273 33 3 = 2+7 3 =3 22 15) 883 = 88 3 11 2 113 2 = 83 2 ( )= 23 3 = 22 22 2 2 ( )16) 23 ×123 = 23 × 22 × 3 3 1 1 ( )183 2 × 32 3 2 42 23 × 23 × 33 = 12 23 × 33 2+4−1 2−2 = 23 3 3 × 33 3 5 = 23 × 30 5 = 23 22 17) 30 3 30 3 2 2= 2 (3 × 5)3 33 × 53 2 = 30 3 15 2 = 23 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 125 52 52 18) 8× 33 × 63 = 23 × 33 × (2 × 3)3 2. 1) 35 35 2) 22 − 22 22 − 22 5 22 23 × 33 × 23 × 33 = 35 22 − 22 5 22 23 × 33 × 23 × 33 = 3 3 +1 22 − 22 5 22 23 × 33 × 23 × 33 = 3 3 22 − 22 × 2 5 22 = 23 × 33 × 23 × 33 3 22 (1− 2) 5 22 = − 23 × 33 × 23 × 33 3 22 3+ 2 − 3 5+2 = −2 3 2 × 33 3 13 7 = −2 6 × 33 1 x−4 2 = x−2 2 y3 4y6 = 1 2x2 y3 2 3 2 − − 3 3 x3 3 2 = x −3 x2 13 3 = x 6 13 = x2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี 126 คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 3) 9 x 3 ( 3x )− 1 = 32 × 3 −1 × −1 2 2 4) x2 ×3 2 x2 3. 1) 32+ −1 3 + − 1 2) 2 2 2 3) = × x 4) 5) 3 6) = 32 x 27 x6 − 2 33 x6 − 2 3 3 = × 3 3 y 2 y 2 = 3−2 × x−4 y −1 = y 32 x4 ( )3 10 3 1 3 = 103 3 (−12)3 = 10 14 56 1 ( )= (−12)3 3 = −12 = ( 2× 7 )( )2× 2× 2× 7 3 6 × 3 36 = 2×2×2×2×7×7 50 + 32 − 18 = 2×2×7 = 28 53 4 + 23 32 − 3 108 = 3 6× 3 6×6 = 3 6×6×6 =6 = 52 × 2 + 42 × 2 − 32 × 2 = 5 2 +4 2 −3 2 = (5 + 4 − 3) 2 = 62 = 53 4 + 23 23 × 4 − 3 33 × 4 = 53 4 + 43 4 − 33 4 = (5 + 4 − 3) 3 4 = 63 4 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี คูม ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 127 7) 3 81 + 3 375 − 3 192 = 3 33 × 3 + 3 53 × 3 − 3 43 × 3 8) = 33 3 + 53 3 − 43 3 9) = (3+ 5 − 4) 3 3 10) = 43 3 11) เน่อื งจาก 3 2 + 32 − 4 64 = 3 2 + 42 × 2 − 4 24 × 22 = 3 2 + 4 2 − 24 22 1 ( )= 3 2 + 4 2 − 2 22 4 1 = 3 2 + 4 2 − 2 22 = 3 2+4 2−2 2 = (3+ 4 − 2) 2 = 52 ( )5 2 3 − 2 5 = 2 15 −10 = −10 + 2 15 ( )2 = ( 7 + 4 5)( 7 + 4 5) 7+4 5 = ( 7 +4 5)( 7)+( 7 +4 5)(4 5) = 7 + 4 35 + 4 35 + 80 = 87 + 8 35 1 ( )4 81 34 4 = ( )4 8 1 23 4 1 = 3 × 24 11 ( )23 4 24 1 = 3×24 2 = 3 1 2 24 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 128 คมู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 1 ( )8 1024 = 210 8 10 = 28 5 = 24 1 = 2 24 ( )และ 8 324 1 = ( )4 9 22 × 34 8 1 32 4 11 = 24 × 32 1 32 1 = 24 ดังน้นั 4 81 − 8 1024 + 8 324 = 3 1 − 1 + 1 48 49 2 2 24 24 24 = 3 − 2 + 1 1 2 24 = 1 1 2 24 1 −1 = 24 −3 = 24 1 =3 24 1 = 48 12) เนื่องจาก ( )1 1 4(9)6 = 4 32 6 1 = 4(3)3 ( )1 1 3(24)3 = 3 23 × 3 3 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี คมู อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 129 11 3(24)3 = 6(3)3 2 2 2 483 2 24 × 3 3 1 1 ( )และ = ( )1446 24 × 32 6 82 = 2× 23 ×33 21 23 × 33 1+ 8 − 2 2−1 = 2 3 3 × 33 3 1 = 23 (3)3 1 = 8(3)3 2 2 483 ดังนน้ั 1 + 1 − = 1 11 1 4(9)6 3 ( 24 ) 3 4(3)3 + 6(3)3 − 8(3)3 1446 1 = 2(3)3 4. 1) 72x3 = 62 × 2x3 2) 3) = 6x 2x 54xy4 = 32 × 6xy4 = 3y2 6x 32x4 42 × 2x4 y2 = y2 = 4 2x2 y ( )4) 4 3x2 4 = 3x2 5) x2 4x3 − 2x x5 + 9x7 = 2x3 x − 2x3 x + 3x3 x = 3x3 x ( )( ) ( )( )6) 12x3 y 27xy = 2x 3xy 3 3xy สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี 130 คมู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 ( )( )12x3 y 27xy = 6x(3xy) = 18x2 y เน่อื งจาก 2 2 27=3 33 =3 3=2 9 ( )5.1) ( )และ 3 3 9=2 32 =2 3=3 27 ดงั นั้น 23 27 3 < 92 เนอ่ื งจาก 1 1 1 และ=3 414 3= 22 14 1 2 18 2 =2 2 =6 22 3 22 ( ) ( )2) 2 × 32 ดงั นั้น 1 1 2182 > 3 44 เนื่องจาก 22 2 2 3 18 312 3 =(18 ×12 ) 3 ( )3) =63 =62 และ 3 1 3+1 4 62 62 6=2 62 =2 6=2 ดงั นั้น 22 31 183123 = 62 62 1 3+ 1 16 1 11 7=37 5 7=5 7 5 , 4=910 72=10 75 เนือ่ งจาก ( )4) และ 16 > 1 55 ดังน้นั 11 7375 > 4910 3 3 26 , 84−2=2 22 2 (( ))เนือ่ งจาก5) 3 2 4=3 23 −=2 22−3=6 29 42 = และ 6 < 9 ดงั น้นั 3 2 < 3 42 42 8−2 6. จาก d = 3.57 h และ h = 49 จะได d = 3.57 49 = (3.57)(7) = 24.99 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี คูมอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 131 ดงั น้ัน ชายผนู ี้สามารถมองไดไกลสุดประมาณ 24.99 กิโลเมตร 7. จาก W 12 และ L = 32 = (0.0016) L5 จะได 12 W = (0.0016)(32) 5 12 ( )= (0.0016) 25 5 ( )= (0.2)4 212 ( )= (2 × 0.1)4 212 = 24+12 × 0.0001 = 216 × 0.0001 = 65,536 × 0.0001 ≈ 6.55 ดังนั้น วาฬท่มี ีความยาว 32 ฟุต จะมีน้าํ หนกั ประมาณ 6.55 ตนั 8. จาก=n n0 (1+ r )t ในทีน่ ้ี t =10=, r =4 0.04 และ n0 = 112,000 100 จะได n = 112,000(1+ 0.04)10 = 112,000(1.04)10 ≈ 165,787.36 ดงั น้ัน ใน พ.ศ. 2571 จงั หวัดน้ีมีประชากรประมาณ 165,787 คน 9. 1) ในทน่ี ้ี P = 50000 , n = 10 และ=r 0=.75 0.0075 100 จากทฤษฎบี ท 7 จะมีจํานวนเงินฝากเมื่อสนิ้ ปท ่ี 10 คอื 50,000(1+ 0.0075)10 ≈ 53,879.13 บาท ดงั นนั้ ถาฝากเงนิ 50,000 บาท โดยไมม ีการถอนเงิน เม่ือส้ินปท่ี 10 จะมเี งนิ ฝาก ประมาณ 53,879.13 บาท และไดรับดอกเบีย้ ทง้ั หมดประมาณ 53,879.13 − 50,000 =3,879.13 บาท 2) ในทน่ี ี้ n = 15=, r 0=.75 0.0075 100 และเงนิ รวมในบัญชีเม่ือสนิ้ ปที่ 15 เทากบั 150,000 บาท จากทฤษฎบี ท 7 จะได P (1+ 0.0075)15 = 150,000 P = 150,000(1.0075)−15 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 132 คมู ือครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 ≈ 134,095.88 ดงั น้ัน ถาตอ งการใหมีเงนิ ในบัญชเี มือ่ สน้ิ ปที่ 15 เปนจาํ นวนเงนิ 150,000 บาท แลว ตองฝากเงนิ อยา งนอยประมาณ 134,096 บาท 10. ในท่ีน้ี P = 20,000 และ n = 5 เงนิ รวมเมอ่ื สิน้ ปที่ 5 เทากับ 22,081.62 บาท ใหอัตราดอกเบี้ยท่ีธนาคารกําหนดคอื i % ตอป และ r = i จากทฤษฎีบท 7 จะได 100 20,000(1+ r )5 = 22,081.62 (1+ r )5 = 22,081.62 20, 000 (1+ r )5 ≈ 1.1041 1 1 + r ≈ (1.1041)5 1 + r ≈ 1.02 r ≈ 0.02 น่นั คอื i ≈ 2 ดังนัน้ อัตราดอกเบยี้ ทธ่ี นาคารกําหนดสําหรับเงนิ ฝากนปี้ ระมาณ 2% 11. จากโจทย สามารถใชแ นวคดิ เดยี วกบั การคิดดอกเบ้ยี แบบทบตน โดยใช P แทน เงินเดอื นเรม่ิ ตน สําหรับพนกั งานวุฒปิ ริญญาตรี i แทนรอยละของเงินเดือนทีเ่ พิ่มข้ึนตอป และ r = i จะได P =18,000 และ=r =7 0.07 100 100 1) ในทน่ี ้ี n = 30 − 24 = 6 จากทฤษฎบี ท 7 จะไดว า เมอื่ สายธารมอี ายุ 30 ป สายธารจะไดรับเงินเดือน ประมาณ 18,000(1+ 0.07)6 ≈ 27,013.15 บาท 2) จากโจทย ตอ งการไดเงนิ เดอื นเกิน 50,000 บาท จากทฤษฎบี ท 7 จะได 18,000(1+ 0.07)n = 50,000 (1.07)n = 50,000 18, 000 ≈ 2.7778 เนือ่ งจาก (1.07)15 ≈ 2.7590 และ (1.07)16 ≈ 2.9522 จะได 18,000(1.07)15 ≈ 49,662.57 และ 18,000(1.07)16 ≈ 53,138.95 น่นั คือ สายธารตอ งทาํ งาน 16 ป จงึ จะไดร ับเงนิ เดอื นเกิน 50,000 บาท 3) จากโจทย เงินเดือนสูงสดุ ของพนักงานทีม่ วี ุฒิปริญญาตรีจะไดรับ คือ 80,000 บาท สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี คูม ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 133 จากทฤษฎีบท 7 จะได 18,000(1+ 0.07)n = 80,000 (1.07)n = 80,000 18, 000 ≈ 4.4444 เนอ่ื งจาก (1.07)22 ≈ 4.4304 และ (1.07)23 ≈ 4.7405 จะได 18,000(1.07)22 ≈ 79,747.23 และ 18,000(1.07)23 ≈ 85,329.54 นัน่ คือ เม่ือสายธารทาํ งานไปแลว 22 ป เงนิ เดือนจะยงั ไมถึง 80,000 บาท แตเ มื่อสายธารทํางานไปแลว 23 ป จะไดรบั เงินเดือนในอัตราสูงสุด 80,000 บาท ดงั นั้น สายธารจะไดร บั เงินเดือนในอัตราสงู สดุ เม่ืออายุ 24 + 23 =47 ป แบบฝกหดั ทา ยบท 1. 1) 2 × 50 × 3−3 2 × 50 × 3−3 2) 3−3 × 8 = 3−3 × 23 3) = 21−3 × 50 × 3−3−(−3) 2 × 6−2 × 33 = 2−2 × 50 × 30 9−3 × 8 =1 22 2 × (2 × 3)−2 × 33 ( )= 32 −3 × 23 = 2 × 2−2 × 3−2 × 33 3−6 × 23 = 21+(−2)−3 × 3−2+3−(−6) = 2−4 × 37 = 37 24 ( )3 − 32 + 33 − 34 + 35 0 = (183)0 =1 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี 134 คูม ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 4) 123 ×10−1 × 302 ( )22 × 3 3 × (2 × 5)−1 × (2 × 3× 5)2 42 ×152 × 6−2 2. 1) = 2) x2 y−3 3) x4 y2 ( )22 2 × (3× 5)2 × (2 × 3)−2 ( ) ( ) ( )26 × 33 × 2−1 × 5−1 × 22 × 32 × 52 x9 (2x)4 ( ) ( )= x3 24 × 32 × 52 × 2−2 × 3−2 ( )6x2 y−5z 2 = 26+(−1)+2−4−(−2) × 33+2−2−(−2) × 5−1+2−2 ( )2 x−2 yz 3 = 25 × 35 × 5−1 (2 × 3)5 = 5 = 65 5 = x2−4 y−3−2 = x−2 y−5 =1 x2 y5 ( )x9 24 x4 = x3 = 24 x9+4−3 = 24 x10 ( )62 x4 y−10 z2 ( )= 2 x−6 y3 z3 = 62 x4−(−6) y−10−3 z2−3 2 = 18x10 y−13 z−1 = 18x10 y13 z สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี คมู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 135 ( )( ) ( )( )4) 2xy−1 xy2 −2 = 2xy−1 x−2 y−4 = 2x1+(−2) y−1+(−4) = 2x−1 y−5 =2 xy5 5) 1 −2 = 1 3−2 x−4 y6 3x2 y −3 = 32 x4 y6 6) x−1 yz−2 −1 = xy −1 z 2 y5 z−1x8 y−5 zx−8 = x1−8 y−1−5 z2−(−1) = x−7 y−6 z3 = z3 x7 y6 3. 1) เนื่องจาก 112 =121 และ (−11)2 =121 ดังนน้ั รากที่ 2 ของ 121 คือ 11 และ −11 2) เน่ืองจาก ( )3 396 3 = 396 ดังน้นั รากที่ 3 ของ 396 คอื 3 396 3) เน่ืองจาก ไมมจี าํ นวนจรงิ y ซงึ่ y4 = −81 ดงั นั้น ไมมรี ากท่ี 4 ของ −81 ในระบบจาํ นวนจริง 4) เน่ืองจาก (−2)5 =−32 ดงั นน้ั รากที่ 5 ของ −32 คอื −2 4. 1) ( )2 2 (0.027)3 = (0.3)3 3 = (0.3)2 = 0.09 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 136 คูมอื ครูรายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 3 3 9 2 3 2 2 16 4 2) = = 3 3 4 = 27 64 −1 −1 4 16 4 = ( )3) 24 = 2−1 =1 2 ( )4) 1 −1 ( −125)− 3 = ( −5)3 3 = (−5)−1 = −1 5 1 − 2 1 3 − 2 8 3 2 3 5) − = − = − 1 −2 2 =4 33 3 6) 0.52 × 82 = (0.5 × 8)2 3 = 42 3 ( )= 22 2 = 23 =8 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี คมู ือครูรายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 137 7 5 5 7 7) 42 = 42 7 ( )= 22 2 = 27 = 128 8) ( )2 2 123 22 × 3 3 1= 1 ( )183 2 × 32 3 42 23 × 33 = 12 23 × 33 4−1 2−2 = 23 3 × 33 3 = 21 × 30 =2 55 5 9) 53 × 23 (5× 2)3 2= 2 103 103 5 = 103 2 10 3 5−2 = 103 3 = 10 10) 22 22 53 × 323 ( )53 × 25 3 1= 1 ( )503 2 × 52 3 2 10 53 × 2 3 = 12 23 ×53 10 −1 2−2 = 2 3 3 ×53 3 = 23 × 50 =8 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี 138 คูม ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 22 22 11) 23 ×103 23 ×(2×5)3 11 = 12) 11 5. 1) 53 × 23 53 × 23 2) 2 22 23 × 23 ×53 = 11 53 × 23 2+2−1 2−1 = 23 3 3 ×53 3 1 = 21 × 53 1 = 2 53 ( ) ( )( )−3 = 2× 2×3 −3 ×3 2 2×6 2 ×3 32 −3 23 3 −3 3 2 2× 9 2 ×82 −3 −3 = 2×2 2 ×3 2 ×3 9 3−3 × 22 21+ − 3 − 9 − 3 +1−(−3) 2 2 = ×3 2 5 = 2−5 × 32 5 32 = 25 3 32 × 42 × 6 = 3 32 × 42 × (2 × 3) ( )= 3 32 × 22 2 × (2 × 3) = 3 33 × 25 = 63 4 3 81 − 3 24 + 3 375 = 33 3 − 23 3 + 53 3 = (3 − 2 + 5) 3 3 = 63 3 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี คูมอื ครูรายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 139 3) 20 − 45 + 2 5 = 2 5 − 3 5 + 2 5 4) วธิ ีท่ี 1 = (2 − 3+ 2) 5 วธิ ที ี่ 2 =5 5) วิธที ี่ 1 (5 2 +1)(5 2 −1) = (5 2 +1)(5 2 ) − (5 2 +1)(1) วิธีท่ี 2 = 50 + 5 2 − 5 2 −1 6) = 49 7) ( )( ) ( )5 2 +1 5 2 −1 = 5 2 2 −12 8) วิธที ่ี 1 = 50 −1 = 49 ( 6− )2 = ( 6 − 3)( 6 − 3) 3 = ( 6 − 3)( 6)−( 6 − 3)( 3) = 6 − 18 − 18 + 3 = 9 − 2 18 = 9−6 2 ( 6− )2 = ( 6)2 − 2( 6)( 3)+( )2 3 3 = 6 − 2 18 + 3 = 9 − 2 18 = 9−6 2 ( )3 5 10 + 2 5 = (3 5)( 10 ) + (3 5)(2 5) = 15 2 + 30 ( 5 − 2)(2 5 −1) = ( 5 − 2)(2 5) − ( 5 − 2)(1) = 10 − 4 5 − 5 + 2 = 12 − 5 5 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )3 3 −1 3 9 + 3 3 +1 = 3 3 −1 3 9 + 3 3 −1 3 3 + 3 3 −1 (1) = 3− 3 9 + 3 9 − 3 3 + 3 3 −1 = 3−1 =2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี 140 คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 วิธีที่ 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )3 3 −1 3 9 + 3 3 +1 2 (1) + (1)2 = 3 3 −1 33 33 + ( )= 3 3 3 −13 = 3−1 =2 9) (2 3 + 7 )( 3 − 3 7 ) = (2 3 + 7 )( 3) − (2 3 + 7 )(3 7 ) = 6 + 21 − 6 21 − 21 = −15 − 5 21 10) ( 98 − 18)( 8 + 50 ) = (7 2 − 3 2 )(2 2 + 5 2 ) = (4 2)(7 2) = 56 11) 3 54 = 3 54 35 5 = 3 54−1 = 3 53 =5 12) 1 1296 + 867 − 32 = 1 36 + 17 3 −4 2 2 3 4 4 2 3 2 = 1 (36 +17 − 4) 2 = 49 2 = 49 ⋅ 2 22 = 49 2 2 13) 15 − 15 + 15 = 15 − 15 + 15 3 135 6 25 9 125 33 5 3 5 3 5 =5 35 = 5 ⋅ 3 52 3 5 3 52 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี |
ล าด บเลขคณ ต ม.5 แบบฝ กห ด 3.1.2
กระทู้ที่เกี่ยวข้อง
ลิขสิทธิ์ © 2024 th.ketiadaan Inc.
