ว ธ การพ บกระดาษเรขาคณ ตสองม ต ม ปลาย

2=4 ความร้พู ้ืนฐานทีน่ กั เรียนตอ้ งมี ครอู าจทบทวนความรพู้ ืน้ ฐานที่นกั เรียนตอ้ งมกี ่อนเรียนในเรอ่ื งรูปเรขาคณิตสองมติ ิและสามมิติ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คมู่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | รปู เรขาคณิตสองมติ ิและสามมติ ิ 265 ความคดิ รวบยอดของบทเรยี น เม่ือตัดรูปเรขาคณิตสามมิติด้วยระนาบ จะเกิดหน้าตัดหรือภาคตัดท่ีเป็นรูปเรขาคณิตสองมิติบนรูปเรขาคณิตสามมิตินั้น ซ่ึงหนา้ ตดั ทไ่ี ด้จะเป็นรปู เรขาคณิตสองมิตชิ นิดใด ข้ึนอยู่กบั ชนดิ ของรูปเรขาคณติ สามมิติ แนวการตัดของระนาบ และตำ�แหนง่ ทตี่ ดั ภาพที่ไดจ้ ากการมองรปู เรขาคณิตสามมติ ิด้านหนา้ (front view) ด้านข้าง (side view) และด้านบน (top view) เป็น รปู เรขาคณติ สองมติ จิ ากการมองในแนวสายตาทตี่ งั้ ฉากกบั ดา้ นทม่ี อง โดยแนวสายตาของการมองดา้ นหนา้ ดา้ นขา้ ง และดา้ นบน จะทำ�มุมฉากกัน ดังรปู ดา้ นบน 90o ดา้ นหนา้ ดา้ นข้าง 90o สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 266 บทท่ี 5 | รปู เรขาคณติ สองมติ ิและสามมิติ คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 5.1 หนา้ ตัดของรปู เรขาคณิตสามมิต ิ (3 ชว่ั โมง) จดุ ประสงค์ นักเรยี นสามารถอธิบายลกั ษณะของหนา้ ตดั ทไี่ ดจ้ ากการตดั รปู เรขาคณติ สามมติ ิด้วยระนาบในทศิ ทางท่กี �ำ หนดให้ ความเข้าใจทค่ี ลาดเคล่อื น นักเรียนอาจพิจารณาหน้าตัดที่เกิดจากการตัดรูปเรขาคณิตสามมิติด้วยระนาบ โดยเปรียบเทียบกับส่วนต่าง ๆ ของ รูปเรขาคณิตสามมิติน้ัน เช่น นักเรียนอาจคิดว่าหน้าตัดของการตัดทรงกระบอกจะเป็นหน้าตัดท่ีมีลักษณะเดียวกับฐานของ ทรงกระบอกเสมอ แต่จรงิ ๆ แลว้ หน้าตัดของทรงกระบอกอาจมหี ลายลกั ษณะ เชน่ วงกลม วงรี หรอื รปู สี่เหลย่ี ม ทัง้ นี้ ขึน้ อยู่กบั แนวการตัดของระนาบ ตดั ทรงกระบอกดว้ ยระนาบในแนวขนานกบั ฐาน หน้าตัดเป็นวงกลม ตัดทรงกระบอกด้วยระนาบในแนวไม่ตัง้ ฉากและไม่ขนานกบั ฐาน หนา้ ตัดเปน็ วงรี ตดั ทรงกระบอกดว้ ยระนาบในแนวตงั้ ฉากกบั ฐาน หน้าตดั เป็นรูปสี่เหล่ียม สอ่ื ทแ่ี นะน�ำ ให้ใช้ในข้อเสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้ 1. ภาพแสดงหน้าตดั ทีอ่ ยใู่ นชวี ิตจริง เชน่ หน้าตดั ของผลไม้ อาหาร ขนม 2. ชดุ ภาคตดั (มีจำ�หนา่ ย ณ รา้ นศกึ ษาภณั ฑพ์ าณชิ ย)์ 3. รูปคลขี่ องรูปเรขาคณติ สามมิติ ประกอบดว้ ยรปู คลข่ี องปริซมึ พรี ะมดิ ทรงกระบอก กรวย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คู่มือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | รูปเรขาคณติ สองมิตแิ ละสามมติ ิ 267 4. สื่อและอปุ กรณ์ของกิจกรรม : เดก็ ป๊ัม 5. สือ่ และอปุ กรณ์ของกจิ กรรม : หวั ผักของฉัน ข้อเสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ ในหัวข้อนี้เป็นเร่ืองเกี่ยวกับหน้าตัดของรูปเรขาคณิตสามมิติ ควรเน้นให้นักเรียนได้เรียนรู้จากการทำ�กิจกรรมโดย การทดลองปฏิบัติจริง และสังเกตหน้าตัดที่เกิดข้ึน เพื่อให้นักเรียนได้ฝึกการมองภาพ และอธิบายลักษณะของหน้าตัดท่ีเกิดข้ึน จากการตัด ซึง่ จะเปน็ การพฒั นาการนึกภาพ และความรสู้ กึ เชิงปริภมู ิให้ผ้เู รียน กิจกรรมทีค่ รคู วรจัดมดี ังนี้ 1. ครูแนะนำ�รูปเรขาคณิตสองมิติ และรูปเรขาคณิตสามมิติ โดยการสนทนาและยกตัวอย่าง ส่ิงต่าง ๆ ท่ีอยู่รอบตัว นักเรียน และเปิดโอกาสให้นักเรียนได้ทำ�ความเข้าใจเก่ียวกับความแตกต่างระหว่างรูปเรขาคณิตหน่ึงมิติ รปู เรขาคณิตสองมติ ิ และรูปเรขาคณิตสามมิติ รวมทัง้ ฝึกฝนการนกึ ภาพและความรสู้ ึกเชิงปริภูมิ 2. ครูควรจัดกิจกรรมเพื่อให้นักเรียนเรียนรู้เก่ียวกับหน้าตัด โดยใช้ “กิจกรรม : เด็กป๊ัม” ซ่ึงมุ่งให้นักเรียนได้ทำ� ความเข้าใจเก่ยี วกบั ระนาบที่ใชใ้ นการตัด ตำ�แหน่ง และแนวการตดั และหนา้ ตดั ที่จะเกดิ ขนึ้ จากการใชม้ ดี ตดั ผัก หรือผลไม้จริง ๆ ซ่ึงเป็นวัตถุสามมิติ และให้มีดเป็นระนาบท่ีใช้ตัด ซึ่งนักเรียนจะมีโอกาสได้เห็นว่าผักหรือผลไม้ ท่ีมีรูปรา่ งแบบเดยี วกัน สามารถมหี นา้ ตดั ที่เกดิ จากการตดั ทแ่ี ตกต่างกันได้ เม่ือแนวการตัดเปล่ยี นแปลงไป 3. ครคู วรจดั กิจกรรมเพื่อให้นกั เรียนได้ส�ำ รวจหนา้ ตดั ของรูปเรขาคณิตสามมิติ ได้แก่ ปรซิ มึ ทรงกระบอก พรี ะมิด กรวย และทรงกลม โดยใช้ “กจิ กรรม : หวั ผกั ของฉัน” เพ่ือเชื่อมโยงจากส่ิงทเี่ ป็นรปู ธรรมไปสู่รปู เรขาคณิตสามมิติ ท่มี คี วามเปน็ นามธรรม 4. จากการท�ำ กจิ กรรมขา้ งตน้ ครคู วรอภปิ รายกบั นกั เรยี นเพอ่ื เชอ่ื มโยงไปสแู่ นวคดิ หลกั ของการตดั รปู เรขาคณติ สามมติ ิ ดว้ ยระนาบ ซง่ึ ลกั ษณะของหนา้ ตดั จะขน้ึ อยกู่ บั ปจั จยั 3 ประการ คอื 1) ชนดิ ของรปู เรขาคณติ สามมติ ิ 2) แนว การตดั ของระนาบ และ 3) ต�ำ แหนง่ ทต่ี ดั ทง้ั น้ี ครคู วรใชช้ ดุ ภาคตดั ซง่ึ เปน็ สอ่ื อปุ กรณส์ �ำ เรจ็ รปู ทแ่ี สดงภาคตดั ของ การใชร้ ะนาบตดั รปู เรขาคณติ สามมติ ใิ นแนวตา่ ง ๆ มาชว่ ยในการสรปุ เพอ่ื ใหน้ กั เรยี นเกดิ ความเขา้ ใจมากยง่ิ ขน้ึ 5. ครูอาจสนทนาเกี่ยวกับการทำ�กิจวัตรประจำ�วันของคนในบางอาชีพ เช่น การเล่ือยไม้ของช่างไม้ให้ได้หน้าตัดท่ีมี ลกั ษณะคล้ายวงกลม หรือรูปสี่เหลย่ี ม เพ่ือน�ำ ไปใช้ประโยชน ์ แม่ครัวหั่นหรอื ตดั ช้นิ อาหารใหส้ วยงาม คนขาย ผลไมห้ น่ั หรอื ตดั ผลไมเ้ ปน็ รปู หนา้ ตดั ตา่ ง ๆ เพอื่ ความสวยงาม หรอื สนทนาเกย่ี วกบั อาชพี ในปจั จบุ นั ทเี่ กยี่ วขอ้ งกบั การใช้หน้าตัด เช่น ชา่ งไม้ท่ที ำ�ชุดมา้ น่งั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 268 บทที่ 5 | รูปเรขาคณติ สองมิติและสามมิติ ค่มู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 กิจกรรม : เด็กป๊ัม กิจกรรมนี้ เป็นกจิ กรรมที่จำ�ลองการตดั รปู เรขาคณติ สามมติ ิ โดยใช้มีดตัดผักและผลไม้ชนิดตา่ ง ๆ ท่ีมีรปู ร่างและลักษณะ แตกต่างกัน เพ่ือให้นักเรียนเห็นภาพหน้าตัดและสามารถระบุลักษณะของหน้าตัดท่ีได้จากการตัดผักและผลไม้ในแนวการตัดที่ แตกตา่ งกัน โดยมีอุปกรณแ์ ละขน้ั ตอนการด�ำ เนินกิจกรรมดงั นี้ อุปกรณ์ 1. พชื ผกั หรอื ผลไมท้ ี่หาได้ตามท้องถ่ินอย่างนอ้ ยสามชนิดทม่ี ีลกั ษณะแตกต่างกนั เช่น กล้วยดบิ มะเฟอื ง มันเทศ ก้านกล้วย นำ�้ เต้า หวั หอม 2. สโี ปสเตอร์ (สเี ข้ม) และจานสี 3. มีด (เพ่ือความปลอดภยั ไมค่ วรใชม้ ีดปลายแหลม) 4. เขียง 5. กระดาษสขี าว หรือสีออ่ น ข้นั ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม 1. ครูแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่ม แล้วอภิปรายกับนักเรียนว่าในการตัดส่ิงต่าง ๆ เราสามารถกำ�หนดแนวการตัดของมีด เม่ือเทียบกับเขียงได้ในลักษณะใดบ้าง โดยครูอาจตรวจสอบความเข้าใจของนักเรียนด้วยการปฏิบัติ สมมุติให้มือ ขา้ งหน่งึ เป็นมีด และอกี ข้างหน่งึ เป็นเขยี ง แล้วใหน้ กั เรียนแสดงท่าทางตามท่ีครกู ำ�หนด เชน่ แนวตง้ั ฉากกับเขยี ง แนวขนานกับเขียง แนวท่ไี มต่ ั้งฉากและ ไมข่ นานกบั เขียง 2. ครใู หน้ กั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ เลอื กผกั หรอื ผลไมม้ า 1 ชนดิ พรอ้ มทง้ั ระบลุ กั ษณะของผกั หรอื ผลไมช้ นดิ นน้ั วา่ คลา้ ยรปู เรขาคณติ สามมิติชนิดใด จากน้ัน เลือกแนวที่จะตัด แล้วทายว่าหน้าตัดที่ได้จะเป็นรูปเรขาคณิตอะไร เพื่อตรวจสอบคำ�ตอบ ใหจ้ ุ่มสว่ นท่เี ปน็ หนา้ ตดั ลงในจานสีทีม่ ีสโี ปสเตอร์ แลว้ ป๊มั ลงในกระดาษขาวหรอื กระดาษสอี อ่ น สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คมู่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | รูปเรขาคณิตสองมิติและสามมติ ิ 269 3. ท�ำ เชน่ เดมิ อกี ครง้ั โดยใชผ้ ลไมช้ นิ้ เดมิ และแนวการตดั เดมิ แตเ่ ปลย่ี นต�ำ แหนง่ ทตี่ ดั ไป เพอื่ ศกึ ษาวา่ หนา้ ตดั เปลย่ี นแปลง ไปหรอื ไม่ อยา่ งไร 4. ใชผ้ ักหรือผลไม้ชนิดเดมิ แต่เปลย่ี นแนวการตัด เพ่ือศกึ ษาวา่ หน้าตัดมีลกั ษณะทเ่ี ปลยี่ นแปลงไปหรอื ไม่ อย่างไร 5. เปลย่ี นชนดิ ของผกั หรอื ผลไม้ ลองตดั ดว้ ยแนวการตดั และต�ำ แหนง่ ทแี่ ตกตา่ งกนั ไป เพอื่ ศกึ ษาลกั ษณะของหนา้ ตดั ทไี่ ด้ 6. เม่ือนกั เรียนทกุ กลุม่ ป๊ัมหนา้ ตดั ที่ไดจ้ ากการตดั ผกั หรอื ผลไม้ชนิดต่าง ๆ แลว้ ครูอภปิ รายกับนกั เรียนว่า ลักษณะของ หนา้ ตัดทไ่ี ด้จากการตัดผักหรอื ผลไม้ขึ้นอยกู่ บั ปัจจัยใดบ้าง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 270 บทที่ 5 | รปู เรขาคณิตสองมิติและสามมิติ คูม่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยกิจกรรม : เด็กปม๊ั ในการตดั พชื ผัก หรือผลไม้ จะได้หนา้ ตัดในหลากหลายลักษณะ ซงึ่ จากกิจกรรมน้คี รคู วรใหน้ กั เรียนสรปุ ไดว้ า่ ลกั ษณะ ของหนา้ ตัดจะเป็นอย่างไรนน้ั ขนึ้ อยูก่ บั ปัจจัยตอ่ ไปน้ี 1. รปู รา่ งหรอื ลกั ษณะของพืช ผัก หรอื ผลไม้ 2. แนวการตัด 3. ตำ�แหนง่ ที่ตดั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | รปู เรขาคณิตสองมติ แิ ละสามมติ ิ 271 กิจกรรม : หวั ผักของฉนั กจิ กรรมน้ี เปน็ กิจกรรมทีเ่ ปิดโอกาสใหน้ กั เรยี นส�ำ รวจหนา้ ตดั ของรูปเรขาคณิตสามมติ ิ เชน่ ปริซึม ทรงกระบอก พีระมดิ กรวย และทรงกลม ในแนวการตดั ตา่ ง ๆ โดยจะจ�ำ ลองสถานการณก์ ารตดั รปู เรขาคณติ สามมติ เิ หลา่ นนั้ ผา่ นการตดั ผกั หรอื ผลไม้ โดยมอี ปุ กรณ์และขัน้ ตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม ดังนี้ อปุ กรณ์ 1. ผกั หรือผลไม้ ที่มีลกั ษณะคล้ายทรงกระบอก เช่น ไชเท้า หรือแคร์รอต อย่างน้อย 2 หัว 2. ผกั หรือผลไม้ ท่ีมีลักษณะคลา้ ยทรงกลม เชน่ มะนาว หรอื สม้ 3. มดี (เพื่อความปลอดภัย ไม่ควรใช้มดี ปลายแหลม) 4. เขียง ข้นั ตอนการดำ�เนินกิจกรรม 1. ครูแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่ม แล้วให้นักเรียนตัดผักหรือผลไม้ตามข้ันตอนในกิจกรรม โดยก่อนตัดให้นักเรียนนึก ภาพลักษณะของหนา้ ตดั ทจ่ี ะได้ และอาจใหน้ ักเรียนวาดภาพทน่ี กึ ได้ลงในกระดาษ 2. เมือ่ ตดั แลว้ ใหน้ กั เรียนตรวจสอบว่าสอดคลอ้ งกับภาพที่นึกไวห้ รือวาดไวห้ รือไม่ 3. ครูนำ�อภิปรายด้วยการถามถึงลักษณะของหน้าตัดที่นักเรียนนึกภาพไว้ และที่ได้จากการตัดจริง รวมถึงการเปลี่ยน ต�ำ แหน่งทีต่ ดั และแนวการตัด จะท�ำ ให้ภาพหนา้ ตดั เปลยี่ นแปลงไปอย่างไรโดยไมต่ อ้ งวาดภาพ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 272 บทท่ี 5 | รปู เรขาคณติ สองมติ แิ ละสามมติ ิ ค่มู ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยกิจกรรม : หัวผักของฉัน แนวการตดั ต้งั ฉากกับฐาน ขนานกับฐาน ไม่ต้ังฉากและ ลกั ษณะของ ไม่ขนานกับฐาน ไชเทา้ ท่ตี ดั แตง่ แลว้ ปรซิ มึ สี่เหลีย่ มมมุ ฉาก รปู ส่เี หล่ียมมุมฉาก รูปส่ีเหลย่ี มมมุ ฉาก ค�ำ ตอบมมี ากกว่าหนึ่งอยา่ ง เชน่ รูปสเี่ หล่ียมมุมฉาก พรี ะมิดฐานสามเหลย่ี ม รูปสามเหลยี่ ม รปู สามเหลยี่ ม รูปสามเหล่ยี ม ทรงกระบอก วงกลม รูปส่ีเหล่ยี มคางหมู รปู ส่ีเหลีย่ มมุมฉาก กรวย รปู สามเหลี่ยม ทรงกลม รูปสามเหลี่ยม (ตดั ผ่านจดุ ยอด) คำ�ตอบมมี ากกว่าหนึ่งอยา่ ง เชน่ หรือ พาราโบลา วงรี รูปสีเ่ หลย่ี ม วงกลม วงกลม วงรี หรอื ส่วนหนง่ึ ของวงรี (ตัดผ่านฐาน) วงกลม วงกลม เฉลยคำ�ถามทา้ ยกิจกรรม : หัวผกั ของฉัน 1. หน้าตัดท่ีเกิดจากการตัดแบ่งครึ่งมะนาวและส้มจะมีลักษณะคล้ายวงกลมเหมือนกัน แต่สิ่งที่แตกต่างกันคือขนาด เนือ่ งจากสม้ มขี นาดใหญก่ วา่ ดังน้นั หน้าตัดของสม้ จึงมีลกั ษณะคล้ายวงกลมท่ีมขี นาดใหญ่กวา่ หน้าตดั ของมะนาว 2. ถ้าเราตัดมะนาวในแนวตั้งฉากกับเขียงในตำ�แหน่งที่แตกต่างกัน ในการตัดแต่ละคร้ังจะได้หน้าตัดท่ีมีลักษณะคล้าย วงกลมเหมือนกัน แตม่ ีขนาดแตกตา่ งกัน 3. ตอ้ งตัดแบง่ คร่งึ นั่นคอื ตำ�แหนง่ ตรงกลางของผลมะนาว สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คู่มอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | รปู เรขาคณิตสองมิติและสามมติ ิ 273 เฉลยชวนคิด ชวนคิด 5.1 งานที่เก่ยี วข้องกับการนึกภาพหน้าตัด เชน่ นวัตกรรมการพิมพ์ภาพสามมติ ิ ทีเ่ รยี กวา่ 3D printing โดยใช้ เครื่องพิมพ์ภาพ 3 มิติ (3D printer) ซึ่งส่วนใหญ่ใช้หลักการเดียวกัน คือ พิมพ์ภาพ 2 มิติทีละช้ันใน แนวขนานกับพื้นโลกก่อน จากน้ัน เครื่องจะเลื่อนฐานพิมพ์ไปพิมพ์ชั้นถัดไป พิมพ์ไปเรื่อย ๆ หลายร้อย หลายพนั จนออกมาเปน็ รปู สามมติ ิ นนั่ คอื 3D printing จะวเิ คราะหห์ฺ นา้ ตดั ของรปู สามมติ ทิ อ่ี อกแบบดว้ ย ระนาบในแนวขนานกบั พืน้ โลก แลว้ พิมพ์ทลี ะหน้าตดั ชวนคิด 5.2 จาก “กจิ กรรม : เด็กปั๊ม” เมื่อใชม้ ีดตดั ผักหรือผลไม้แตล่ ะคร้ัง จะได้หนา้ ตดั สองหนา้ โดยหน้าตัดแต่ละหน้า จะปรากฏอยบู่ นผกั หรอื ผลไมท้ ถ่ี กู ตดั ทง้ั สองสว่ น ซง่ึ นกั เรยี นจะพบวา่ หนา้ ตดั แตล่ ะหนา้ จะเปน็ รปู ทเ่ี หมอื นกนั และทบั กันสนทิ (ไมใ่ ช้คำ�ว่ารูปทเี่ ท่ากันทุกประการ เนอื่ งจากนกั เรยี นยังไมร่ ู้จกั ความเทา่ กนั ทุกประการ) ชวนคดิ 5.3 ✤ หนา้ ตดั สว่ นทค่ี ลา้ ยรปู สเี่ หลย่ี มผนื ผา้ 3 รปู เกดิ จากรปู เรขาคณติ สามมติ ทิ ม่ี ลี กั ษณะคลา้ ยปรซิ มึ สเ่ี หลย่ี ม มมุ ฉาก ✤ หนา้ ตดั สว่ นทคี่ ลา้ ยรปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั 2 รปู เกดิ จากรปู เรขาคณติ สามมติ ทิ ม่ี ลี กั ษณะคลา้ ยปรซิ มึ สเ่ี หลย่ี ม มุมฉาก ✤ หน้าตัดส่วนท่ีคลา้ ยวงกลม 1 รูป เกิดจากรปู เรขาคณิตสามมติ ทิ ่มี ีลกั ษณะคลา้ ยทรงกระบอก ✤ หน้าตัดส่วนที่คล้ายรูปสามเหล่ียมมุมฉาก 2 รูป เกิดจากรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีลักษณะคล้ายปริซึม สามเหล่ียมมุมฉาก สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 274 บทท่ี 5 | รปู เรขาคณติ สองมติ ิและสามมิติ คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 แบบฝกึ หัด 5.1 เฉลยแบบฝกึ หัด 4) 1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) หมายเหต ุ ค�ำ ตอบของนกั เรยี นอาจเป็นรูปท่ีอยู่ในทศิ ทางอ่ืนได้ เช่น หรือ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ค่มู ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | รูปเรขาคณติ สองมติ ิและสามมิติ 275 และภาพด5้า.น2บ นภขาพองดรา้ ปู นเหรขนา้าคภณาติ พสดา้ามนมขติ า้ ิ ง (3 ชว่ั โมง) จุดประสงค์ นกั เรียนสามารถ 1. ระบภุ าพท่ไี ดจ้ ากการมองดา้ นหน้า ดา้ นข้าง และดา้ นบนของรปู เรขาคณติ สามมิติ 2. เขียนภาพที่ไดจ้ ากการมองดา้ นหนา้ ด้านขา้ ง และด้านบนของรูปเรขาคณิตสามมติ ิท่ปี ระกอบข้ึนจากลกู บาศก์ ความเข้าใจที่คลาดเคลอื่ น - ส่ือท่แี นะน�ำ ให้ใชใ้ นขอ้ เสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ 1. ภาพการมองดา้ นหนา้ ด้านข้าง และดา้ นบนในชวี ิตจริง เช่น ภาพถ่ายทรงผม ภาพถา่ ยรถยนต์ แบบแปลนบา้ น 2. ชุดลกู บาศก์ 64 (มีจำ�หนา่ ย ณ รา้ นศึกษาภัณฑ์พาณิชย)์ 3. รปู คลข่ี องลูกบาศก์ 4. กระดาษจุด 5. อปุ กรณข์ องกิจกรรมเสนอแนะ 5.2 ก : มองด้านไหนดี 6. ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ก : มองด้านไหนดี 7. อุปกรณข์ องกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ข : กอ่ ร่างสรา้ งรูปเรขาคณติ สามมิติ ขอ้ เสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ ในหวั ขอ้ นเ้ี ปน็ เรอื่ งเกยี่ วกบั ภาพทไี่ ดจ้ ากการมองดา้ นหนา้ ดา้ นขา้ ง และดา้ นบน ของรปู เรขาคณติ สามมติ ิ การจดั กจิ กรรม ควรเนน้ ใหน้ กั เรยี นไดใ้ ชก้ ารนกึ ภาพ และความรสู้ กึ เชงิ ปรภิ มู ิ ในการมองภาพจากวตั ถจุ รงิ ซงึ่ เปน็ รปู ธรรม เพอ่ื ระบเุ ปน็ ภาพทเี่ กดิ จากการมองดา้ นหนา้ ด้านขา้ ง และด้านบน ของวัตถุนั้น กจิ กรรมทค่ี รูควรจัดมีดังนี้ 1. ครคู วรแสดงให้นักเรยี นเห็นถึงความสำ�คัญของการมองดา้ นตา่ ง ๆ รปู เรขาคณิตในชีวติ จรงิ เชน่ ในการเขยี นแบบ เพ่ือสร้างสิ่งต่าง ๆ อย่างไรก็ดี ครูควรชี้แจงให้นักเรียนทราบว่า การเขียนแบบในชีวิตจริง อาจมีการมองภาพ ด้านตา่ ง ๆ มากกวา่ สามดา้ น เชน่ ด้านหนา้ ดา้ นข้างทางซ้าย ด้านข้างทางขวา ด้านหลงั ดา้ นบน หรอื ดา้ นล่าง แตห่ นังสือเลม่ นจี้ ะเนน้ การมองเพยี งสามดา้ น คอื ดา้ นหน้า ดา้ นขา้ ง และดา้ นบน เท่านน้ั โดยก�ำ หนดให้ดา้ นใด ดา้ นหนงึ่ ของวตั ถุเปน็ ด้านหนา้ และกำ�หนดภาพดา้ นอื่น ๆ ดงั รูป สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 276 บทท่ี 5 | รูปเรขาคณติ สองมติ ิและสามมติ ิ ค่มู ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 90o ด้านบน ดา้ นหน้า ด้านขา้ ง 90o ท้งั น้ี ครอู าจใช้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ก : มองด้านไหนด”ี เพ่อื ใหน้ กั เรียนฝึกการมองวัตถุสามมิติในทิศทาง ต่าง ๆ ทสี่ ัมพันธ์กบั การมองดา้ นหน้า ดา้ นขา้ ง และด้านบน และเปิดโอกาสใหน้ กั เรียนฝกึ การหมนุ และพลกิ วัตถุ เพอื่ มองภาพดา้ นขา้ งและดา้ นบนของวตั ถุที่ถกู ต้องตามหลกั การทแี่ นะนำ�ในหนงั สอื เรยี น 2. ครูแนะนำ�รูปเรขาคณิตสามมิติที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศก์โดยใช้ชุดลูกบาศก์ 64 และให้นักเรียนฝึกมองภาพ ดา้ นหนา้ ดา้ นขา้ ง และดา้ นบนของรปู เรขาคณติ สามมติ ทิ ปี่ ระกอบขน้ึ จากลกู บาศก ์ โดยเรมิ่ จากลกู บาศกห์ นงึ่ ลกู และเพม่ิ เปน็ สองลกู โดยวางตามแนวตงั้ หรอื แนวนอน แลว้ เพมิ่ ลกู บาศกอ์ กี หนง่ึ ลกู เปน็ สามลกู จากนน้ั ใหน้ กั เรยี น ชว่ ยกนั วเิ คราะหว์ า่ เราสามารถวางลกู บาศกล์ กู ทส่ี ามไดแ้ บบใดบา้ ง พรอ้ มทง้ั ฝกึ เขยี นภาพทไ่ี ดจ้ ากการมองดา้ นตา่ ง ๆ การเรียงลูกบาศก์สองลกู ตวั อยา่ งการเรยี งลูกบาศก์สามลกู 3. ครคู วรเนน้ ใหน้ กั เรยี นทราบวา่ การเขยี นตวั เลขแสดงจ�ำ นวนลกู บาศกม์ คี วามส�ำ คญั เนอื่ งจากจะท�ำ ใหเ้ หน็ ลกั ษณะ การจัดเรยี งของลกู บาศก์อย่างชัดเจน เพราะในบางกรณี แม้ภาพทไ่ี ด้จากการมองดา้ นหนา้ ดา้ นขา้ ง และด้านบน ของรูปเรขาคณิตสามมิติสองรูปจะเหมือนกัน แต่ลักษณะการจัดเรียงของลูกบาศก์ในแต่ละรูปอาจแตกต่างกัน จึงจำ�เปน็ ตอ้ งเขยี นตัวเลขแสดงจำ�นวนลูกบาศกก์ �ำ กบั เพอ่ื ให้เห็นการจัดเรยี งทแี่ ตกตา่ งนัน้ ดังแสดงในสองรูปนี้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ค่มู ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | รูปเรขาคณติ สองมิติและสามมิติ 277 ซึ่งนักเรียนควรสังเกตเห็นว่า ภาพที่ได้จากการมองด้านหน้า ด้านข้าง และด้านบนของรูปเรขาคณิตสองรูปน้ี เหมือนกัน แต่จำ�นวนลูกบาศก์ที่แสดงจะไม่เท่ากัน 4. เพ่ือให้นักเรียนมีโอกาสได้ฝึกนึกภาพรูปเรขาคณิตท่ีประกอบข้ึนจากลูกบาศก์ ครูอาจใช้ “กิจกรรมเสนอแนะ 5.2 ข : กอ่ ร่างสรา้ งรปู เรขาคณิตสามมติ ิ” โดยในกิจกรรมนน้ี กั เรียนจะตอ้ งสร้างรปู เรขาคณติ ทป่ี ระกอบขึน้ จาก ลูกบาศก์ จากภาพด้านหน้า ภาพด้านข้าง และภาพด้านบน ที่ระบุจำ�นวนลูกบาศก์ โดยใช้ลูกบาศก์จริง ในการประกอบ แลว้ วเิ คราะห์วา่ จากภาพด้านหน้า ภาพดา้ นข้าง และภาพดา้ นบน ที่ก�ำ หนดให้ สามารถสรา้ งเปน็ รปู เรขาคณิตทปี่ ระกอบข้ึนจากลกู บาศก์ท่ีแตกตา่ งกนั ไดก้ ีแ่ บบ 5. การประเมินทักษะนักเรยี น ควรประเมินจากกระบวนการการเรียนรู้และการท�ำ งานของนกั เรยี นอยา่ งตอ่ เน่ือง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 278 บทที่ 5 | รปู เรขาคณิตสองมติ แิ ละสามมติ ิ คมู่ ือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 กิจกรรมเสนอแนะ 5.2 ก : มองด้านไหนดี กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมที่ช่วยให้นักเรียนเข้าใจถึงความสำ�คัญของการกำ�หนดทิศทางการมองด้านหน้า ด้านข้าง และ ด้านบน รวมถงึ ฝกึ การมองในทศิ ทางตา่ ง ๆ ทีส่ ัมพนั ธก์ ับการมองด้านหน้า ด้านขา้ ง และด้านบน ดว้ ยการเปิดโอกาสใหน้ ักเรยี น หมุนและพลิกวัตถุเพื่อมองภาพด้านข้างและภาพด้านบนของวัตถุท่ีถูกต้องตามหลักการท่ีแนะนำ�ในหนังสือเรียน โดยมีอุปกรณ์ และขนั้ ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม ดังนี้ อุปกรณ์ 1. กล่องทรงสี่เหลย่ี มมมุ ฉาก เชน่ กล่องยาสีฟนั กลอ่ งสบู่ หรอื กลอ่ งนม 2. ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ก : มองด้านไหนดี ขน้ั ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม 1. ครแู บง่ กลมุ่ นกั เรยี น แลว้ แจกกลอ่ งทรงสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากทม่ี ลี กั ษณะเหมอื นกนั ใหท้ กุ กลมุ่ จากนน้ั ใหแ้ ตล่ ะกลมุ่ เลอื กวา่ จะเรม่ิ มองภาพดา้ นหน้าของกล่องทรงส่เี หล่ียมมุมฉากจากดา้ นใดก่อนก็ได้ 2. ครูให้นักเรียนแต่ละกล่มุ วางกลอ่ งที่ไดร้ ับบนโตะ๊ โดยแตล่ ะกลมุ่ จะวางในต�ำ แหน่งใดก็ได้ 3. ครใู หน้ กั เรียนวาดรปู กล่องแล้วแสดงทิศทางการมองดา้ นหนา้ ในใบกิจกรรมเสนอแนะ 5.2 ก : มองด้านไหนดี จากนัน้ ให้นกั เรยี นพลกิ กล่องแล้ววาดภาพทไี่ ด้จากการมองดา้ นหนา้ ด้านขา้ ง และด้านบน ในใบกจิ กรรม 4. ครใู หน้ กั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ น�ำ เสนอภาพทไ่ี ดจ้ ากการมองดา้ นหนา้ ดา้ นขา้ ง และดา้ นบนของกลอ่ งทม่ี ลี กั ษณะเหมอื นกนั ของแต่ละกลุ่ม แล้วอภิปรายเปรียบเทียบภาพท่ีได้ ในกรณีท่ีแต่ละกลุ่มเลือกทิศทางการมองของภาพด้านหน้า เหมอื นกันและแตกต่างกัน 5. ครสู รปุ ความส�ำ คญั ของการก�ำ หนดทศิ ทางการมองของภาพดา้ นหนา้ วา่ จะมผี ลตอ่ ภาพดา้ นตา่ ง ๆ ทไี่ ด้ โดยเมอ่ื ก�ำ หนด ให้ด้านใดด้านหน่ึงของวัตถุเป็นด้านหน้า ด้านข้างต้องเป็นด้านท่ีมองวัตถุนั้นด้วยมุมมอง 90 องศา จากด้านหน้าไป ทางขวา และด้านบนจะต้องเปน็ ด้านท่ีมองวัตถนุ ัน้ ด้วยมุมมอง 90 องศา จากด้านหน้าข้ึนไปขา้ งบน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | รูปเรขาคณติ สองมติ แิ ละสามมติ ิ 279 ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ก : มองด้านไหนดี ค�ำ ชแ้ี จง จงกำ�หนดทิศทางการมองด้านหน้าของกล่องโดยวาดรูปกล่องในตาราง จากนั้นเขียนภาพท่ีได้จากการมอง ดา้ นหนา้ ดา้ นขา้ ง และดา้ นบน ของกล่อง รปู เรขาคณิตสามมติ ิที่ได้รบั ดา้ นหน้า ภาพดา้ นขา้ ง ภาพด้านบน ภาพด้านหนา้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 280 บทท่ี 5 | รปู เรขาคณติ สองมติ ิและสามมิติ คู่มอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ก : มองดา้ นไหนดี ค�ำ ตอบมีได้หลากหลาย ขนึ้ อยูก่ บั อุปกรณ์ เชน่ รปู เรขาคณติ สามมติ ทิ ่ีไดร้ บั ดา้ นหนา้ ภาพดา้ นขา้ ง ภาพด้านบน ภาพดา้ นหน้า สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | รปู เรขาคณิตสองมติ ิและสามมิติ 281 กจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ข : กอ่ รา่ งสรา้ งรปู เรขาคณิตสามมติ ิ กิจกรรมนี้ เป็นกิจกรรมท่ีเปิดโอกาสให้นักเรียนฝึกฝนการนึกภาพรูปเรขาคณิตสามมิติท่ีประกอบขึ้นจากลูกบาศก์ จากภาพด้านหน้า ด้านข้าง และด้านบน พร้อมท้ังจำ�นวนลูกบาศก์ของรูปเรขาคณิตสามมิติท่ีกำ�หนดข้ึนซ่ึงเป็นการฝึกทักษะ เรอ่ื งการมองภาพดา้ นหนา้ ดา้ นขา้ ง และดา้ นบน ของรปู เรขาคณติ ทป่ี ระกอบขน้ึ จากลกู บาศก์ ทย่ี อ้ นกลบั จากการแสดงดว้ ยภาพ สกู่ ารประกอบลูกบาศก์จรงิ ใหต้ รงตามภาพที่กำ�หนด โดยมีอปุ กรณแ์ ละข้ันตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม ดังนี้ อปุ กรณ์ 1. ลูกบาศก์ กลุม่ ละประมาณ 20 ลูก (อาจใหน้ กั เรียนชว่ ยกันสร้างจากรปู คล่ี หรอื ใชช้ ดุ ลกู บาศก์ 64) 2. บัตรภาพลกู บาศก์ ขนั้ ตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม 1. ครแู บง่ นักเรียนออกเปน็ กลมุ่ แล้วแจกลกู บาศกใ์ ห้กลมุ่ ละประมาณ 20 ลกู 2. ครูแจกบัตรภาพลูกบาศก์ซึ่งแสดงภาพท่ีได้จากการมองด้านหน้า ด้านข้าง และด้านบน ของรูปเรขาคณิตสามมิติ ทปี่ ระกอบขนึ้ จากลกู บาศกพ์ รอ้ มตวั เลขแสดงจ�ำ นวนลกู บาศก์ แลว้ ใหน้ กั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ แขง่ กนั ตอ่ ลกู บาศกใ์ หไ้ ดต้ รง ตามบตั รภาพ กลมุ่ ใดตอ่ ไดถ้ กู ต้องและรวดเร็วที่สุดเป็นกลุม่ ทชี่ นะ 3. เม่อื ไดผ้ ชู้ นะในรอบแรกแลว้ ครูจึงแจกบัตรภาพลกู บาศกร์ ูปอ่นื ๆ ให้นักเรียนแขง่ ขนั ต่อ โดยอาจเพ่มิ ความท้าทายคือ ใหม้ นี กั เรยี นเพยี งหนงึ่ คนท�ำ หนา้ ทป่ี ระกอบลกู บาศก์ โดยใหย้ นื หา่ งจากเพอ่ื นในกลมุ่ ประมาณ 2 เมตร และไมส่ ามารถ มองเห็นภาพจากบตั รภาพ จากนัน้ ให้เพอื่ นในกลมุ่ บอกกบั นักเรียนทท่ี ำ�หน้าท่ีประกอบลกู บาศกต์ ามคำ�บอก เพ่อื ฝกึ ทกั ษะดา้ นการสื่อสาร 4. นักเรียนกลมุ่ ทีส่ ามารถตอ่ ลกู บาศกไ์ ดถ้ ูกต้องและรวดเร็วมากที่สุด เป็นผชู้ นะ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 282 บทที่ 5 | รูปเรขาคณิตสองมิตแิ ละสามมติ ิ ค่มู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ตวั อยกา่ ง่อบรตั ่ารงสภราพ้างกริจปู กเรรขรมาคเสณนิตอสแานมะมิต5ิ.2 ข : 111 3331 3 111 11 1 1 3 3 33 2 11 1 344 ภาพด�านหน�า ภาพด�านบน ภาพด�านขา� ง เฉลยตัวอยา่ งบัตรภาพกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ข : กอ่ ร่างสรา้ งรูปเรขาคณิตสามมิติ 33 3 1 3 11 1 1 3 11 1 3 44 ภาพด�านบน ภาพด�านขา� ง 11 1 11 1 3332 ภาพด�านหนา� สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | รปู เรขาคณติ สองมิติและสามมติ ิ 283 เฉลยชวนคิด ชวนคดิ 5.4 ไม่จำ�เป็นท่ีภาพด้านหน้า ภาพด้านข้าง และภาพด้านบน ของวัตถุสามมิติหน่ึงจะแตกต่างกันเสมอ เช่น ลกู บาศกเ์ ปน็ วตั ถสุ ามมติ ทิ ม่ี ภี าพดา้ นหนา้ ภาพดา้ นขา้ ง และภาพดา้ นบน เปน็ ภาพเดยี วกนั คอื รปู สเี่ หลยี่ ม จัตรุ ัสทแ่ี บง่ เป็นช่องรปู สเี่ หล่ียมจัตรุ สั 9 ชอ่ ง ทั้งสามรปู หรืออกี ตวั อยา่ งหนึง่ คอื ทรงกลม มภี าพด้านหนา้ ภาพด้านขา้ ง และภาพดา้ นบน เป็นภาพเดยี วกัน คอื วงกลม ทมี่ รี ศั มีเทา่ กันทั้งสามรปู ชวนคดิ 5.5 1. เทา่ กัน 2. จ�ำ นวนของลกู บาศก์ทง้ั หมดท่ปี ระกอบขนึ้ เป็นรปู เรขาคณติ สามมติ ิ ชวนคิด 5.6 ยังมีคำ�ตอบอื่นได้อีก เน่ืองจากอาจมีลูกบาศก์ที่ถูกซ่อนอยู่ด้านหลัง ซึ่งทำ�ให้ไม่สามารถมองเห็นจากการ มองด้านหน้า หรืออาจมีลูกบาศก์ที่ถูกซ่อนอยู่ด้านข้างอีกด้านหน่ึงที่ทำ�ให้ไม่สามารถมองเห็นจากการมอง ดา้ นข้าง ดังภาพ 1 มลี กู บาศก�วางอยูด� �านหลัง 1 ลูก มลี กู บาศกว� างอย�ูดา� นข�าง 1 ลูก 321 132 1 2 2 2 2 111 111 ภาพด�านบน ภาพด�านบน 1 1 1 1 13 112 13 11 2 342 3 1131 1242 311 4 ภาพด�านหนา� ภาพดา� นขา� ง ภาพด�านหน�า ภาพด�านขา� ง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 284 บทที่ 5 | รูปเรขาคณิตสองมติ ิและสามมิติ คมู่ ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยแบบฝึกหัด แบบฝกึ หัด 5.2 ก 1. 1) ค 2) ง 3) ก 4) จ 5) ข 2. 1) ข 2) ค 3) ฉ 4) จ 5) ง 3. 1) ง 2) ค 3) ฉ 4) ข 5) ก แบบฝึกหัด 5.2 ข 2) 1. 1) 31 1 1 1 11 ภาพดา� นบน 1 11 1 1 ภาพด�านบน 31 ภาพดา� นหน�า 1 32 21 21 1 ภาพดา� นหน�า ภาพด�านข�าง 1 112 ภาพดา� นขา� ง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คมู่ ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | รปู เรขาคณติ สองมติ แิ ละสามมติ ิ 285 3) คำ�ตอบมีไดห้ ลากหลาย เชน่ 2 1 12 1 3 11 3 11 11 12 ภาพด�านบน ภาพดา� นบน ภาพด�านข�าง ภาพด�านขา� ง 1 1 2 2 2 12 ภาพด�านหนา� ภาพดา� นหนา� 4) ค�ำ ตอบมีไดห้ ลากหลาย เชน่ 321 1 1 1 1 2 321 2 13 1 131 ภาพด�านบน ภาพดา� นขา� ง ภาพด�านบน ภาพดา� นข�าง 1 11 1 211 11 311 ภาพดา� นหนา� ภาพดา� นหน�า สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 286 บทที่ 5 | รูปเรขาคณติ สองมติ ิและสามมิติ คู่มอื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 5) ค�ำ ตอบมไี ดห้ ลากหลาย เช่น 1 11 4 1 1 1 1 1 1 11 4 1 2 11 1 11 114 2 1141 ภาพดา� นบน ภาพด�านขา� ง ภาพด�านบน ภาพด�านขา� ง 1 1 1 11 1 3111 11 3121 ภาพด�านหน�า ภาพด�านหน�า 6) คำ�ตอบมีไดห้ ลากหลาย เช่น 1 11 1 1 2 2 111 111 ภาพดา� นบน ภาพด�านบน 1 1 1 241 1 141 3111 3121 ภาพด�านหนา� ภาพด�านหน�า ภาพด�านข�าง ภาพดา� นข�าง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คูม่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | รปู เรขาคณิตสองมติ แิ ละสามมติ ิ 287 7) ค�ำ ตอบมไี ด้หลากหลาย เชน่ 1 1 1 1 1 1 11 1 3 1111 1121 1 3 ภาพด�านบน ภาพดา� นข�าง 1 ภาพด�านข�าง ภาพดา� นบน 1 1 1 4 1 14 ภาพดา� นหน�า ภาพดา� นหน�า 8) ค�ำ ตอบมีได้หลากหลาย เช่น 34 31 1 1 1 3 34 31 3 ภาพด�านบน 3 3 1 4 ภาพด�านบน 41 111 ภาพดา� นข�าง 1 ภาพด�านข�าง 111 111 111 1 111 211 1 ภาพด�านหน�า ภาพด�านหน�า สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 288 บทท่ี 5 | รูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ คู่มอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 9) ค�ำ ตอบมไี ด้หลากหลาย เช่น 31 1 31 1 1 11 11 11 2 112 122 2 ภาพดา� นบน ภาพด�านขา� ง ภาพด�านข�าง ภาพดา� นบน 1 2 1 31 2 131 ภาพด�านหนา� ภาพดา� นหนา� 10) ค�ำ ตอบมีไดห้ ลากหลาย เช่น 2 2 22 2 44 12 44 12 32 221 32 222 221 222 ภาพด�านบน ภาพดา� นบน ภาพดา� นขา� ง ภาพดา� นข�าง 11 11 21 21 23 33 23 33 ภาพดา� นหน�า ภาพด�านหนา� สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ค่มู ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | รปู เรขาคณติ สองมิตแิ ละสามมติ ิ 289 12 2 32 2 44 12 44 121 32 221 32 222 222 222 ภาพด�านบน ภาพด�านบน ภาพดา� นขา� ง ภาพด�านขา� ง 11 11 21 31 23 33 33 33 ภาพดา� นหน�า ภาพด�านหนา� 2. 1) ก. ภาพด้านบน ข. ภาพดา้ นข้าง ค. ไมใ่ ช ่ ง. ภาพดา้ นหน้า ค. ไม่ใช่ ง. ภาพดา้ นหน้า 2) ก. ภาพด้านขา้ ง ข. ภาพด้านบน ค. ภาพดา้ นบน ง. ภาพด้านหน้า ค. ภาพดา้ นหนา้ ง. ภาพดา้ นบน 3) ก. ภาพดา้ นขา้ ง ข. ไม่ใช ่ ข. และ ค. ไม่ใช ่ ง. ภาพดา้ นบน 4) ก. ภาพด้านข้าง ข. ไม่ใช ่ 5) ก. ภาพดา้ นหน้าและภาพดา้ นข้าง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 290 บทที่ 5 | รปู เรขาคณติ สองมติ แิ ละสามมติ ิ คูม่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 กจิ กรรมท้ายบท : มติ ิหรรษา กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมท่ีเปิดโอกาสให้นักเรียนได้ฝึกทักษะการมองภาพสามมิติ โดยอาศัยการจินตนาการรูปเรขาคณิต สามมิตทิ ่เี กิดจากการหมุนรปู เรขาคณิตสองมิติรอบแกน หรือเลอื่ นรปู เรขาคณิตสองมิติข้นึ หรอื ลงตามแกน เพ่อื พฒั นาความรูส้ กึ เชิงปริภมู ิและความคดิ สร้างสรรค์ โดยมอี ปุ กรณ์และขั้นตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม ดงั นี้ อปุ กรณ์ 1. กระดาษแขง็ ขนาด 20 × 30 ตารางเซนติเมตร 1 แผ่น 2. ไมเ้ สียบลูกชิน้ 1 ไม้ 3. เทปใส หรือกระดาษกาวย่น 4. กรรไกร ข้นั ตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม 1. ครูให้นักเรียนเตรียมอุปกรณ์เพือ่ ส�ำ รวจการหมนุ รูปเรขาคณิตสองมติ ริ อบแกน โดยใหน้ กั เรยี นเลอื กรูปเรขาคณติ สอง มิติที่ไม่ซับซอ้ น เช่น รูปสเี่ หลีย่ ม รูปสามเหลย่ี ม วงกลม เป็นตน้ ซ่งึ ในท่นี ีจ้ ะนำ�เสนอการหมุนรูปสามเหลย่ี ม 2. ครใู หน้ กั เรยี นตดั กระดาษแขง็ เปน็ รปู สามเหลย่ี ม เจาะรู 2 รู แลว้ สอดไมเ้ สยี บลกู ชน้ิ ผา่ นรทู เ่ี จาะไว้ ใชเ้ ทปใสตดิ ไมเ้ สยี บ ลกู ชิ้นกบั กระดาษแขง็ ตรงรอยเจาะให้แน่น ดงั รปู ไม้เสียบลกู ชิน้ กระดาษแข็งรูปสามเหล่ียม สอดไม้ผ่านรูที่เจาะไว้แล้ว เจาะรู 2 รู ปิดทับด้วยเทปใสใหแ้ นน่ หากนักเรยี นเลือกรูปสี่เหลย่ี มหรอื วงกลม ให้เตรียมอปุ กรณใ์ นลกั ษณะเดียวกนั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คู่มอื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | รปู เรขาคณิตสองมติ ิและสามมติ ิ 291 3. ครใู หน้ กั เรียนลองหมนุ รปู เรขาคณติ สองมติ ทิ ี่เตรียมไว้ในข้อ 2 โดยหมนุ แกนไมต้ ามทศิ ทางของลูกศร ดังรูป 4. จากการหมนุ (ดงั รปู ) ใหน้ กั เรยี นจนิ ตนาการวา่ เปน็ รปู เรขาคณติ สามมติ ชิ นดิ ใด ซง่ึ นกั เรยี นควรสงั เกตไดว้ า่ รปู ทไ่ี ดจ้ าก การหมนุ รปู สามเหล่ียมเปน็ กรวย เนอ่ื งจากไมใ่ ช่รปู เรขาคณิตสามมติ ทิ ซ่ี บั ซ้อน ดงั รูป หากนักเรียนเลือกรูปสี่เหลี่ยมหรือวงกลม นักเรียนควรสังเกตได้ว่ารูปท่ีได้จากการหมุน รูปส่ีเหลี่ยมหรือวงกลม เปน็ ทรงกระบอกหรอื ทรงกลม ตามลำ�ดบั ดงั รปู การหมนุ รปู ส่ีเหล่ยี ม การหมนุ วงกลม 5. ครใู หน้ กั เรยี นเตรยี มอปุ กรณเ์ พอ่ื ส�ำ รวจการเลอ่ื นรปู เรขาคณติ สองมติ ติ ามแกน โดยใหน้ กั เรยี นเลอื กรปู เรขาคณติ สองมติ ิ ทไ่ี ม่ซบั ซ้อน เชน่ รูปส่ีเหลี่ยม รูปสามเหล่ียม วงกลม เปน็ ต้น ซึง่ ในท่นี จ้ี ะนำ�เสนอการเลอื่ นรปู วงกลม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 292 บทที่ 5 | รูปเรขาคณติ สองมติ ิและสามมติ ิ คมู่ ือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 6. ครใู หน้ กั เรยี นตดั กระดาษแขง็ เปน็ รปู วงกลม เจาะรตู รงจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม แลว้ สอดไมเ้ สยี บลกู ชนิ้ ผา่ นรทู เี่ จาะไว้ พรอ้ มทั้งทดสอบว่าสามารถเลื่อนแผน่ กระดาษแขง็ รูปวงกลมตามแนวของไม้เสียบลกู ชิน้ ได้หรอื ไม่ ไมเ้ สยี บลกู ชน้ิ กระดาษแข็งรปู วงกลม สอดไมเ้ สียบลกู ชิน้ ผ่านรทู ี่เจาะไว้ 7. ครูให้นักเรียนลองเล่ือนรูปเรขาคณิตสองมิติท่ีเตรียมไว้ในข้อ 6 โดยเลื่อนแผ่นกระดาษแข็งตามทิศทางของลูกศร พร้อมท้ังสังเกตและจินตนาการว่าเป็นรูปเรขาคณิตสามมิติชนิดใด ซึ่งนักเรียนควรสังเกตได้ว่ารูปท่ีได้จากการเลื่อน วงกลมเปน็ ทรงกระบอก ดังรปู การเลอ่ื นวงกลมไปตามแกน เมอื่ แกนอยูใ่ นแนวจุดศนู ยก์ ลางของวงกลม 8. ครตู งั้ ค�ำ ถามใหน้ กั เรยี นคดิ เชน่ เปน็ ไปไดห้ รอื ไมว่ า่ เราสามารถหมนุ รปู เรขาคณติ สองมติ โิ ดยทไ่ี มม่ สี ว่ นใดสว่ นหนงึ่ ของ รูปเรขาคณิตสองมติ ิสัมผัสกับแกน ซ่งึ นักเรียนอาจตอบว่าไดห้ รือไมไ่ ด้ 9. กจิ กรรมตอ่ ไป ให้นกั เรียนทำ�กจิ กรรมเป็นกลุ่ม โดยท�ำ อปุ กรณ์ในท�ำ นองเดยี วกบั ข้อ 2 และขอ้ 6 เมอ่ื ตัดกระดาษแข็ง เป็นรูปเรขาคณิตสองมิติแล้วทดลองหมุนรอบแกนหรือเลื่อนตามแกนในลักษณะเดียวกับข้อ 1)–8) ของ กิจกรรมท้ายบท : มิติหรรษา ในหนังสือเรียน แล้วจดบันทึกรูปเรขาคณิตสามมิติที่จินตนาการได้ในแบบบันทึก “รูปในจนิ ตนาการ” 10. ครูนำ�นักเรียนอภิปรายในประเด็นที่เก่ียวกับความสัมพันธ์ระหว่างรูปเรขาคณิตสองมิติและรูปเรขาคณิตสามมิติ เชน่ รูปเรขาคณติ สามมิตทิ ี่เกดิ จากการหมนุ หรือเล่อื นรูปเรขาคณิตสองมติ แิ ต่ละรูปมีความสัมพนั ธ์กันหรอื ไม่ อยา่ งไร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คู่มอื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | รปู เรขาคณติ สองมติ แิ ละสามมิติ 293 เฉลยกจิ กรรมทา้ ยบท : มิตหิ รรษา 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 294 บทท่ี 5 | รูปเรขาคณติ สองมิติและสามมติ ิ คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยแบบฝึกหดั ทา้ ยบท 1. 1) (1) ขนานกับฐาน (2) รูปส่เี หล่ยี มคางหมู (3) สว่ นหนึง่ ของวงกลม 2) (1) ตง้ั ฉากกับฐาน (2) รปู สี่เหล่ียมมมุ ฉาก (3) รปู สเ่ี หลี่ยมคางหมู 3) (1) ขนานกบั ฐาน (2) รปู สเี่ หลย่ี มจตั ุรัส 2. 1) 21 1 1 ภาพด�านบน 1 1 31 112 ภาพดา� นหนา� ภาพดา� นข�าง 2) มสี องคำ�ตอบคอื 1 1 11 1 12 21 12 22 ภาพด�านบน ภาพดา� นบน ภาพด�านขา� ง ภาพด�านขา� ง 1 1 12 22 ภาพดา� นหน�า ภาพด�านหนา� สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คู่มอื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | รูปเรขาคณติ สองมติ แิ ละสามมติ ิ 295 3) ค�ำ ตอบมีไดห้ ลากหลาย เชน่ 431 1 1 1 11 2 431 2 11 2 11 2 1 12 2 3 11 12 2 3 1 1 ภาพดา� นบน ภาพดา� นขา� ง ภาพด�านบน ภาพด�านขา� ง 1 1 11 11 11 11 1421 1521 ภาพดา� นหนา� ภาพดา� นหนา� 4) คำ�ตอบมไี ดห้ ลากหลาย เชน่ 1 111 1 1 111 21 111 11 ภาพด�านบน 1 111 ภาพดา� นบน 3241 31 2 31 1 1 ภาพดา� นหนา� ภาพด�านข�าง 2341 32 1 31 ภาพด�านหน�า ภาพด�านข�าง 3. 1) ก. ภาพด้านขา้ ง ข. ไมใ่ ช่ ค. ภาพด้านบน ง. ภาพด้านหนา้ 2) ก. ไม่ใช่ ข. ภาพด้านบน ค. ภาพด้านหน้า ง. ภาพด้านขา้ ง 3) ก. ภาพด้านหนา้ ข. ภาพดา้ นบน ค. ภาพดา้ นขา้ ง ง. ไมใ่ ช่ 4. 1) ค. 2) ข. 3) ค. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 296 บทที่ 5 | รูปเรขาคณติ สองมิติและสามมติ ิ ค่มู ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 5. 1) คำ�ตอบมีได้หลากหลาย เชน่ 31 131 2 2 ภาพด�านบน ภาพดา� นบน 1 1 1 1 2 11 2 11 21 12 121 13 ภาพด�านหน�า ภาพดา� นข�าง ภาพด�านหนา� ภาพด�านข�าง 2) คำ�ตอบมีไดห้ ลากหลาย เช่น 1111 1111 11 111 2 2 ภาพด�านบน ภาพดา� นบน 1 1 1 1 3211 124 13211 134 ภาพดา� นหนา� ภาพดา� นขา� ง ภาพดา� นหน�า ภาพด�านข�าง 3) ค�ำ ตอบมีได้หลากหลาย เชน่ 3 13 21 21 11 11 ภาพด�านบน ภาพด�านบน 1 1 1 2 1 2 11 1221 11 221 221 222 ภาพด�านหน�า ภาพด�านหนา� ภาพดา� นขา� ง ภาพด�านขา� ง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คมู่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | รปู เรขาคณติ สองมติ ิและสามมติ ิ 297 4) คำ�ตอบมไี ดห้ ลากหลาย เช่น 3 13 322 322 11 11 ภาพดา� นบน ภาพดา� นบน 2 11 2 11 21 1 31 211 31 321 231 1 32 1 232 ภาพดา� นหน�า ภาพดา� นข�าง ภาพด�านหน�า ภาพดา� นขา� ง 5) ค�ำ ตอบมีได้หลากหลาย เช่น 322 1 3121 322 3121 ภาพด�านบน ภาพดา� นบน 2 11 11 212 23 2 23 2221 43 212 431 3221 ภาพดา� นหน�า ภาพด�านขา� ง ภาพดา� นข�าง ภาพดา� นหน�า 6) คำ�ตอบมีไดห้ ลากหลาย เช่น 321 1 11 321 ภาพด�านบน 11 1 ภาพดา� นบน 11 122 1 1 1 2 11 2 ภาพดา� นหน�า 23 222 231 ภาพดา� นขา� ง ภาพดา� นหนา� ภาพดา� นข�าง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 298 บทท่ี 5 | รูปเรขาคณติ สองมิตแิ ละสามมติ ิ คู่มือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ตัวอยา่ งแบบทดสอบทา้ ยบท 1. หน้าตัดทไ่ี ด้จากการตดั รูปเรขาคณติ สามมติ ดิ ว้ ยระนาบในแนวการตัดตามรูป ตรงกับขอ้ ใด (1 คะแนน) ก. รปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ ัส ข. รูปส่เี หลี่ยมผนื ผา้ ค. รูปสีเ่ หล่ยี มขนมเปียกปนู ง. รูปส่เี หลยี่ มคางหมู จ. รูปสามเหล่ยี ม ฉ. รปู ห้าเหลี่ยม 2. สม้ โอไปเทย่ี วกรงุ ปกั กงิ่ สาธารณรฐั ประชาชนจนี ในขณะทเ่ี ดนิ ผา่ นยา่ นธรุ กจิ สม้ โอเหน็ ตกึ สงู ทถี่ กู ออกแบบอยา่ งสวยงาม ดงั รูป ทม่ี า: http://www.chinadaily.com.cn สืบคน้ เมื่อ 5 เมษายน 2560 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี