การหาอน พ นธ โดยใช ฟ งก ช นลอการ ท ม

ดิฟผลคูณและดิฟผลหาร, สูตรดิฟผลหาร, สูตรดิฟผลคูณ, กฎอนุพันธ์ของผลหาร, กฎอนุพันธ์ผลหาร, ล่างดิฟบนลบบนดิฟล่างส่วนล่างกำลังสอง

(product and quotient rule of derivative)

สูตรการหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

สูตรผลคูณ ถ้า $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ที่ $x$ ได้ แล้ว

$(fg)'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$

ให้ $F(x)=f(x)g(x)$

\begin{eqnarray*} F'(x)&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ &=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}\\ &=& \lim_{h\rightarrow0}\left ( f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h} + g(x)\frac{f(x+)-f(x)}{h} \right )\\ &=& \lim_{h\rightarrow0}f(x+h) \cdot \lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} + \lim_{h\rightarrow0}g(x) \cdot \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=& f(x)g'(x)+g(x)f'(x) \end{eqnarray*}

สำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประเภทนี้อาจใช้วิธีการกระจายตัวประกอบแล้วค่อยหาอนุพันธ์ด้วยสูตรพื้นฐานก็ได้ แต่การใช้สูตรผลคูณนี้ช่วยให้หาอนุพันธ์ได้เร็วขึ้น

วิธีการท่องจำสูตรผลคูณให้ขึ้นใจ

ฟังก์ชัน $y=f(x)g(x)$ ให้ $f(x)$ คือ "ตัวหน้า" และ $g(x)$ คือ "ตัวหลัง" สูตรการหาอนุพันธ์ของ $y$ คือ

"หน้าดิฟหลัง บวก หลังดิฟหน้า"

ตัวอย่างการใช้สูตรหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 1

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=(2x+1)(x^2-5)$

\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& (2x+1)\frac{d}{dx}(x^2-5)+(x^2-5)\frac{d}{dx}(2x+1)\\ &=& (2x+1)(2x)+(x^2-5)(2)\\ &=& 4x^2+2x+2x^2-10\\ &=& 6x^2+2x-10 \end{eqnarray*}

$\displaystyle \frac{dy}{dx}= 6x^2+2x-10$

ตัวอย่างที่ 2

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=(4x^2-1)(7x^3+x)$

\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& (4x^2-1)\frac{d}{dx}(7x^3+x)+(7x^3+x)\frac{d}{dx}(4x^2-1)\\ &=& (4x^2-1)(21x^2+1)+(7x^3+x)(8x)\\ &=& 84x^4+4x^2-21x^2-1+56x^4+8x^2\\ &=& 140x^4-9x^2-1 \end{eqnarray*}

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=140x^4-9x^2-1$

ตัวอย่างที่ 3

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=(x^2-2x+3)(2x+5)$

\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}&=& (x^2-2x+3)\frac{d}{dx}(2x+5)+(2x+5)\frac{d}{dx}(x^2-2x+3)\\ &=& (x^2-2x+3)(2)+(2x+5)(2x-2)\\ &=& 2x^2-4x+6+4x^2-4x+10x-10\\ &=& 6x^2+2x-4 \end{eqnarray*}

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=6x^2+2x-4$

ตัวอย่างที่ 4

กำหนด $f(x)=(2x^2-3x+1)(x-x^2)$ จงหา $f'(-1)$

\begin{eqnarray*} f'(x) &=& (2x^2-3x+1)\frac{d}{dx}(x-x^2)+(x-x^2)\frac{d}{dx}(2x^2-3x+1)\\ &=& (2x^2-3x+1)(1-2x)+(x-x^2)(4x-3) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} f'(-1)&=& [2(-1)^2-3(-1)+1][1-2(-1)]+[(-1)-(-1)^2][4(-1)-3]\\ &=& (2+3+1)(1+2)+(-1-1)(-4-3)\\ &=& 18+14\\ &=& 32 \end{eqnarray*}

ดังนั้น $f'(-1)=32$

การหา $f'(a)$ นั้น เราไม่จำเป็นต้องจัดรูป $f'(x)$ ให้สมบูรณ์ก็ได้ เราสามารถแทนค่า $a$ ได้เลย

สูตรการหาอนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชัน

สูตรผลหาร ถ้า $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ แล้ว

$\displaystyle \left ( \frac{f}{g} \right )'(x)=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

ให้ $\displaystyle F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

\begin{eqnarray*} F'(x)&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}\\ &=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x)g(x+h)}\\ &=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x)}{hg(x)g(x+h)}\\ &=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{\left[ g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right]-\left[ f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right]}{g(x)g(x+h)}\\ &=& \frac{ \displaystyle\lim_{h\rightarrow0}g(x) \cdot \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\lim_{h\rightarrow0}f(x) \cdot \lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}{ \displaystyle\lim_{h\rightarrow0}g(x) \cdot \lim_{h\rightarrow0}g(x+h)}\\ &=& \frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{eqnarray*}

สำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประเภทนี้ หากสามารถจัดรูปตัวเศษและตัวส่วนให้ตัดกันได้ ก็จะช่วยให้หาอนุพันธ์ได้ง่ายขึ้น

วิธีการท่องจำสูตรผลหารให้ขึ้นใจ

ฟังก์ชัน $\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}$ ให้ $f(x)$ คือ "ตัวบน" และ $g(x)$ คือ "ตัวล่าง" สูตรการหาอนุพันธ์ของ $y$ คือ

"ล่างดิฟบน ลบบนดิฟล่าง ส่วนล่างยกกำลังสอง"

ตัวอย่างการใช้สูตรหาอนุพันธ์ของผลหารของอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 5

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $\displaystyle y=\frac{3x-1}{2x+3}$

\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& \frac{(2x+3)\frac{d}{dx}(3x-1)-(3x-1)\frac{d}{dx}(2x+3)}{(2x+3)^2}\\ &=& \frac{(2x+3)(3)-(3x-1)(2)}{(2x+3)^2}\\ &=& \frac{6x+9-6x+2}{(2x+3)^2}\\ &=& \frac{11}{(2x+3)^2} \end{eqnarray*}

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{11}{(2x+3)^2}$

ตัวอย่างที่ 6

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $\displaystyle y=\frac{4x+1}{x^2-5}$

\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& \frac{(x^2-5)\frac{d}{dx}(4x+1)-(4x+1)\frac{d}{dx}(x^2-5)}{(x^2-5)^2}\\ &=& \frac{(x^2-5)(4)-(4x+1)(2x)}{(x^2-5)^2}\\ &=& \frac{4x^2-20-8x^2-2x}{(x^2-5)^2}\\ &=& \frac{-4x^2-2x-20}{(x^2-5)^2} \end{eqnarray*}

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{-4x^2-2x-20}{(x^2-5)^2}$

ตัวอย่างที่ 7

กำหนด $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-1}{x+1}$ จงหา $f'(2)$

\begin{eqnarray*} f'(x) &=& \frac{(x+1)\frac{d}{dx}(2x^2-1)-(2x^2-1)\frac{d}{dx}(x+1)}{(x+1)^2}\\ &=& \frac{(x+1)(4x)-(2x^2-1)(1)}{(x+1)^2}\\ &=& \frac{4x^2+4x-2x^2+1}{(x+1)^2}\\ &=& \frac{2x^2+4x+1}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}

ดังนั้น $\displaystyle f'(2)=\frac{2(2)^2+4(2)+1}{(2+1)^2}=\frac{17}{9}$

$\displaystyle f'(2)=\frac{17}{9}$

ตัวอย่างการใช้สูตรอนุพันธ์ของผลคูณและผลหารของฟังก์ชัน เมื่อกำหนด $f'(a)$ มาให้

ตัวอย่างที่ 8

กำหนดให้ $f(4)=3$ และ $f'(4)=-5$ จงหา $g'(4)$ เมื่อ

(1) $g(x)=\sqrt{x}f(x)$

สำหรับข้อนี้ $g(x)$ อยู่ในรูปผลคูณของฟังก์ชัน

\begin{eqnarray*} g'(x) &=& \sqrt{x}f'(x)+f(x)\frac{d}{dx}\sqrt{x}\\ &=& \sqrt{x}f'(x)+f(x)\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)\\ &=& \sqrt{x}f'(x)+\frac{f(x)}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*} g'(4) &=& \sqrt{4}f'(4)+\frac{f(4)}{2\sqrt{4}}\\ &=& 2(-5)+\frac{3}{2(2)}\\ &=& -10+\frac{3}{4} &=& -\frac{37}{4} \end{eqnarray*}

$\displaystyle g'(4)=-\frac{37}{4}$

(2) $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}$

สำหรับข้อนี้ $g(x)$ อยู่ในรูปผลหารของฟังก์ชัน

\begin{eqnarray*} g'(x) &=& \frac{xf'(x)-f(x)\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\\ &=& \frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}\\ \end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*} g'(4) &=& \frac{4f'(4)-f(4)}{4^2}\\ &=& \frac{4(-5)-3}{16}\\ &=& -\frac{23}{16} \end{eqnarray*}

$\displaystyle g'(4)=-\frac{23}{16}$

คำคล้าย : ดิฟผลคูณและดิฟผลหาร, สูตรดิฟผลหาร, สูตรดิฟผลคูณ, กฎอนุพันธ์ของผลหาร, กฎอนุพันธ์ผลหาร, ล่างดิฟบนลบบนดิฟล่างส่วนล่างกำลังสอง