การหาพ นท ส เหล ยมผ นผ า เส นทแยงม ม

Download

• Publications :0
• Followers :0

ปริมาตรและพื้นที่ผิว

ปริมาตรและพื้นที่ผิว

Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!

Create your own flipbook

• Follow
• Upload
• 0
• Embed
• Share

Www.Prapasara Download

• Publications :0
• Followers :0

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น

Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!

Create your own flipbook

View Text Version Likes : 0 Category : All Report

• Follow
• Upload
• 0
• Embed
• Share

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น

บทเรียนเรื่องรูปทรงเรขาคณิตนั้นเป็นเนื้อหาคณิตที่หลายคนอาจจะรู้สึกว่ายากเนื่องจากมีสูตรค่อนข้างเยอะ แต่ความจริงแล้วสูตรต่าง ๆ นั้นมีความเกี่ยวเนื่องกับส่วนประกอบบนรูปทรงนั้น ๆ หากเราทำโจทย์บ่อย ๆ จะช่วยให้จำได้ดีขึ้น วันนี้พี่ได้รวบรวมสูตรทั้งการหาพื้นที่และปริมาตรของหลากหลายรูปทรง หวังว่าจะเป็นประโยชน์สำหรับน้อง ๆ ที่อยากศึกษาเรื่องนี้นะคะ

รูปทรงเรขาคณิต มีอะไรบ้าง?

รูปสามเหลี่ยม (Triangle) ลักษณะ รูปหลายเหลี่ยมมี 3 มุม หรือ 3 จุดยอด และมี 3 ด้านที่มาจากส่วนของเส้นตรง รูปห้าเหลี่ยม (Pentagon) ลักษณะ รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน 5 ด้าน รูปห้าเหลี่ยมปกติ คือ รูปห้าเหลี่ยมที่มีด้านทุกด้านยาวเท่ากันหมดทุกด้าน และมุมภายในมีขนาดเท่ากัน (มุมภายในเท่ากับ 540 องศา) รูปหกเหลี่ยม (Hexagon) ลักษณะ รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน 6 ด้านและมีจุดยอด 6 จุด รูปหกเหลี่ยมปกติ คือ รูปหกเหลี่ยมที่มีด้านทุกด้านยาวเท่ากันหมดทุกด้าน และมีมุมเท่ากันทุกมุมคือ 120 องศา รูปแปดเหลี่ยม (Octagon) ลักษณะ รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน 8 ด้านและมีจุดยอด 8 จุด รูปแปดเหลี่ยมปกติ คือ รูปแปดเหลี่ยมที่มีด้านทุกด้านยาวเท่ากันหมดทุกด้านและมีมุมเท่ากันทุกมุมคือ 135 องศา รูปวงกลม (Circle) ลักษณะ รูปวงกลมคือรูปวงรีกรณีพิเศษที่มีโฟกัสอยู่บนจุดเดียวกันนั่นคือจุดศูนย์กลาง นอกจากนี้รูปวงกลมยังเป็นภาคตัดกรวยที่เกิดจากการตัดด้วยระนาบที่ตัดตั้งฉากกับแกนของทรงกรวย รูปวงรี (Ellipse) ลักษณะ วงรีเป็นภาคตัดกรวย นั่นคือ รูปเรขาคณิตที่เกิดจากการตัดกันของทรงกรวยกับระนาบ (ดูภาพขวา) และยังเป็นภาคตัดของทรงกระบอก ยกเว้นเฉพาะกรณีที่ระนาบตัดขนานกับแกนทรงกระบอก รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก (Rectangle) ลักษณะ รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน 4 ด้าน มุม 4 มุม ซึ่งมุมภายในรวมได้ 360 องศา ในแต่ละมุมมีขนาดเท่ากับ 90 องศา เทียบเท่ากับเงื่อนไขที่ว่าเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน ซึ่งรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก รวมไปถึง สี่เหลี่ยมแบบจตุรัส และสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย รูปทรงกระบอก (Cylinder) ลักษณะ รูปเรขาคณิตที่มีฐานเป็นรูปวงกลมที่มีขนาดเท่ากันทุกประการ อยู่ตรงข้ามกันในระนาบที่ขนานกัน เมื่อตัดรูปทรงกระบอกแบบขนานแล้วจะได้รูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการ

บทนิยามของรูปเรขาคณิตพื้นฐาน

1. ปริซึม คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่ เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองอยู่คนละระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูป สี่เหลี่ยมด้านขนาน
2. ทรงกระบอก คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการ และอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดรูปเรขาคณิคสามมิติด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้หน้าตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันกับฐานเสมอ
3. พีระมิด คือ รูปเรขาคณิตที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใด ๆ แต่มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกันกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น
4. กรวย คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นวงกลม แต่มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกันกับฐาน และเส้นที่ต่ออยู่กับจุดยอดและจุดใด ๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง
5. ทรงกลม คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งในระยะทางเท่ากัน จุดคงที่นั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม ระยะที่เท่ากัน เรียกว่า รัศมีทรงกลม

การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม

การหาพื้นที่รูปห้าเหลี่ยม

สูตรหาพื้นที่รูปห้าเหลี่ยม = 1.72 x (ด้าน)2

* หากน้อง ๆ ไม่อยากจำสูตรสามารถแบ่งรูปห้าเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมย่อย แล้วหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นแทนได้เช่นกัน*

การหาพื้นที่รูปหกเหลี่ยม

การหาพื้นที่รูปแปดเหลี่ยม

สูตรหาพื้นที่รูปแปดเหลี่ยม = 4.828 × (ด้าน)2

การหาพื้นที่รูปวงกลม

การหาพื้นที่รูปวงรี

การหาปริมาตรรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก

หาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม

1. พื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัส = ด้าน x ด้าน หรือ ½ x (เส้นทแยงมุม)2
2. พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = ก x ย
3. พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน x สูง
4. พื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ฐาน x สูง หรือ ½ x ผลคูณของเส้นทแยงมุม
5. พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = ½ x ผลบวกของด้านคู่ขนาน x สูง
6. พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าว = ½ x ผลคูณของเส้นทแยงมุม
7. พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า = ½ x เส้นทแยงมุม x ผลบวกของเส้นกิ่ง

การหาปริมาตรรูปทรงกระบอก

สูตรหาปริมาตรทรงกระบอก = r2h ( รอใส่พายอาร์ )

สูตรหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2rh + 2r2 ( รอใส่พายอาร์ )

การหาปริมาตรปริซึม

สูตรการหาปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง (ตรง)

สูตรหาพื้นที่ผิวปริซึม

1. พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานทั้งสอง
2. พื้นที่ผิวข้าง = ความยาวรอบรูปของฐาน x สูง(ตรง)

การหาปริมาตรพีระมิด

สูตรหาปริมาตรพีระมิด = ⅓ x พื้นที่ฐาน x สูง (ตรง)

สูตรหาพื้นที่ผิวพีระมิด

1. พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานสามเหลี่ยม
2. พื้นที่ผิวข้าง (หาได้ 2 วิธี)

1. จากสูตร พื้นที่ผิวข้าง = ½ x ความยาวรอบรูปของฐาน x สูง(เอียง)

2.(1) หาพื้นที่ผิว 1 หน้า (คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม)

(2) คูณพื้นที่ผิว 1 หน้า ด้วย จำนวนหน้า

แบบฝึกหัดเรื่องรูปทรงเรขาคณิต การหาพื้นที่และปริมาตรพร้อมเฉลย

1. จงหาพื้นที่ผิวข้างของปริซึมตรง ที่มีฐานรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ยาว 4 เซนติเมตร และสูง 6 เซนติเมตร

วิธีทำ แต่ละหน้าด้านข้างของปริซึมตรง คือ ขนาด 4 x 6 ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

วิธีที่ 1 หา 1 หน้าก่อน จากนั้นเอาไปคูณด้วยจำนวนหน้า

ดังนั้น พื้นที่ผิวข้าง 1 หน้า = พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

\= กว้าง x ยาว

\= 4 x 6 = 24

พื้นที่ผิวข้าง 3 หน้า จึงได้เท่ากับ 3 x 24 = 72 ซม.2

สรุป พื้นที่ผิวข้าง = 72 ตารางเซนติเมตร

วิธีที่ 2 หาทุกหน้าด้วยการใช้สูตร

สูตรพื้นที่ผิวข้าง (หาทุกหน้า) = ความยาวรอบรูปของฐาน x สูงตรง

\= (4+4+4) x 6 = 12 x 6 = 72

ตอบ 72 ตารางเซนติเมตร

1. โกดังเก็บของของแบมแบมเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก กว้าง 6 เมตร ยาว 9 เมตร สูง 6 เมตร ถ้าแบมแบมต้องการทาสีเพดานและผนังภายในห้องทั้งสี่ด้าน

จงหา 1. บริเวณที่ทาสีมีพื้นที่เท่าใด

2. ปริมาตรของโกดังเป็นเท่าใด

วิธีทำ

(1) พื้นที่เพดาน [เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า] = กว้าง x ยาว

\= 6 x 9 = 54 ตารางเมตร

พื้นที่ผนังด้านหน้า + ด้านหลัง = 2 x พื้นที่จตุรัส

\= 2 x (6×6) = 72 ตารางเมตร

พื้นที่ผนังด้านข้าง 2 ด้าน \= 2 x พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า \= 2 x (6×9) = 108 ตารางเมตร

ดังนั้น พื้นที่ที่ต้องทาสี เท่ากับ 54 + 72 + 108 = 234 ตารางเมตร

(2) ปริมาตรของโกดัง (รูปปริซึม)

\= กว้าง x ยาว x สูง

\= 6 x 9 x 6 ตารางเมตร = 324 ลูกบาศก์เมตร

ตอบ 1. 234 ตารางเมตร 2. 324 ลูกบาศก์เมตร

1. กำหนดให้ r = 12 / h = 5 จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของรูปทรงกระบอกที่ไม่มีฝาปิดด้านบน

วิธีทำ สูตรพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอก = 2rh + 2r2

จะได้ \= 2(12)(5) + 2(12)(12)

\= 120 + 288

\= 408 ตารางหน่วย

ตอบ 408 ตารางหน่วย

( รอใส่พายอาร์ )

1. ลิซ่าเปิดให้น้ำไหลผ่านท่อกลมซึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางภายในยาว 5 เซนติเมตร ด้วยอัตราเร็ว 1.5 เมตรต่อวินาที จงหาปริมาตรของน้ำเต็มท่อที่ไหลออกจากท่อในเวลา 3 นาที

(กำหนดให้ = 3.14)

วิธีทำ แปลความหมายคำว่า “น้ำไหลด้วยอัตราเร็ว 1.5 เมตรต่อวินาที”

หมายถึง 1 วินาที ไหลได้ 1.5 เมตร

1 วินาที ไหลได้ 150 เซนติเมตร

ซึ่งคำว่า “ไหล” จะมีความหมายเป็น “ความสูง” (h)

หาปริมาตรของน้ำ 1 วินาที

สูตรหาปริมาตรทรงกระบอก = r2h

ดังนั้น ปริมาตรของน้ำที่ไหลออกท่อ 1 วินาที = (2.5)(2.5)(150)

\= 2934.75 ลบ.เมตร

โจทย์ต้องการถามถึงเวลา 3 นาที

ปริมาตร 1 วินาที จะมีน้ำไหลออกจากท่อ = 2934.75 ลบ.เมตร

ปริมาตร 3 นาที (180วินาที) จะมีน้ำไหลออกจากท่อ = 2934.75×180 = 529,875 ลบ.เมตร

ตอบ ประมาณ 529,875 ลูกบาศก์เมตร

( รอใส่พายอาร์ )

1. ถ้ารัศมีของรูปทรงกลมเท่ากับ 2 จงหา (ติดค่า ได้)

1. พื้นที่ผิว 2. ปริมาตร

วิธีทำ จากโจทย์ r = 2

1. หาพื้นที่ผิว

จากสูตร พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4r2

\= 4(2)(2) = 16

1. หาปริมาตร

จากสูตร ปริมาตรทรงกลม = 4/3 r3

\= 4/3(2)3 = 32/3

ตอบ 1. 16 2. 32/3

( รอใส่พายอาร์ )

6. รูปทรงกลมมี r = 7/22 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวของทรงกลมนี้

วิธีทำ จากโจทย์ r = 7/22

สูตรพื้นที่ผิวของรูปทรงกลม = 4r2

\= 4 x 22/7 x 7/22 x 7/22

\= 28/22

\= 1.2727…

1.27 ตารางเซนติเมตร

ตอบ ประมาณ 1.27 ตารางเซนติเมตร

( รอใส่พายอาร์ เเละ ค่าประมาณ )

7. ถ้าพื้นที่ผิวทั้งหมดของรูปทรงกลมเท่ากับ 260 จงหาปริมาตร ให้เขียนคำตอบติด ได้

วิธีทำ จากสูตรพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกลม = 4r2

260 = 4r2

r = 65

จากสูตรปริมาตรทรงกลม = 4/3 r3

\= 4/3(65 )3

\= 260653

ตอบ 260653 ตารางหน่วย

( รอใส่พายอาร์ เเละ root )

8. ถ้าพื้นที่ของรูปทรงกลมเท่ากับ 676 ตารางฟุต จงหารัศมีของรูปทรงกลมนี้

วิธีทำ สูตรพื้นที่ผิวของรูปทรงกลม = 4r2

เนื่องจาก พื้นที่ผิว = 676

676 = 4r2

r = 13 นิ้ว

รัศมีของทรงกลม = 13 นิ้ว

ตอบ 13 นิ้ว

( รอใส่พายอาร์ )

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

รูปร่างเรขาคณิต มีอะไรบ้าง

วงกลม สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม เจ็ดเหลี่ยม แปดเหลี่ยม วงรี และเรขาคณิตสามมิติ ได้แก่ ทรงกลม พีระมิด ปริซึม ทรงกระบอก กรวย

ลูกบาศก์ คือ อะไร

รูปสี่เหลี่ยมุมฉากที่มีความกว้าง = ความยาว = ความสูง

พื้นที่ คือ อะไร

ปริมาณที่บอกความยาวกับความกว้าง มีหน่วยว่า “ตาราง” นำหน้า เช่น ตารางวา ตารางเมตร ตารางหน่วย เป็นต้น

ความยาว คือ อะไร

การวัดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง มีหน่วยเป็นเซนติเมตร นิ้ว วา เมตร เป็นต้น

ปริมาตร คือ อะไร

ปริมาณที่บอกถึง ความกว้าง ความยาว ความสูง(ความลึก) มีหน่วย “ลูกบาศก์” เช่น ลูกบาศก์เมตร ลูกบาศก์เซนติเมตร