1470 ก โลกร ม ต อ ตารางเซนต เมตร

ตัวอยา่ งท่ี 1 พีระมิดแห่งหน่งึ มีฐานเป็นรปู ส่เี หล่ียมจัตุรสั ยาวด้านละ 6 เมตร สูงเอยี ง 5 เมตร จงหาพน้ื ทีผ่ ิว

วธิ ที ำ จากโจทย์พจิ ารณาได้ ดงั นี้

พ้ืนทฐ่ี านของพรี ะมดิ = ดา้ น x ด้าน

\= 6x6

\= 36 ตารางเมตร

พื้นทด่ี ้านขา้ ง ( สามเหลีย่ ม 4 รปู ) = [ 1 x 6 x 5 ] x 4 ตารางเมตร 2

\= 15 x 4 ตารางเมตร

\= 60 ตารางเมตร

พื้นท่ีผวิ ของพีระมิดท้ังหมด = พ้นื ทฐี่ านของพีระมิด + พ้ืนท่ีด้านขา้ ง

\= 36 + 60 ตารางเมตร

ตอบ พื้นทผ่ี ิวของพรี ะมดิ 96 ตารางเมตร

ตวั อยา่ งที่ 2 พีระมิดฐานสีเ่ หลย่ี มจัตรุ ัสมดี า้ นฐานยาวดา้ นละ 10 น้วิ สว่ นสูงยาว 12 นิว้ จงหาพน้ื ทผ่ี วิ ขา้ ง พีระมิด

วิธที ำ เนื่องจาก สูตรพืน้ ที่ผวิ ข้างของพรี ะมิด = 1 × ความยาวรอบฐาน × สูงเอยี ง

2

( แตโ่ จทย์ไม่กำหนดความยาวสงู เอยี ง ดงั น้ัน ต้องหาความยาวสงู เอยี งก่อน ) ข้ันท่ี 1 หาสงู เอียง ให้ AC เป็นสว่ นสูง ยาว 12 น้วิ , และ AB เปน็ ความสูงเอยี ง

BC เปน็ ความยาวครงึ่ หนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 น้วิ ตามทฤษฎีปที าโกรัส ใน รปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC พิจารณาสามเหลยี่ ม ABC

AB 2 = 12 2 + 5 2 \= 144 + 25 \= 169

จะได้่ AB = 13 ดงั น้ัน สงู เอียงยาว 13 นิว้

~6~

ขั้นท่ี 2 หาพื้นท่ีผิวข้าง พ้ืนท่ีผิวข้างของพีระมิด = 1 × ความยาวรอบฐาน × สงู เอียง

2

ไดพ้ น้ื ท่ีผิวขา้ งพรี ะมิด = 1 × ( 10 + 10 + 10 + 10 ) × 13

2

\= 1 × 40 × 13

2

\= 260 ตารางนิ้ว ตอบ 260 ตารางนว้ิ

การหาปรมิ าตรของพรี ะมดิ จาก ปรมิ าตร คือ ปริมาณทวี่ ัด เพื่อวดั บรเิ วณทวี่ า่ ง (ความจุ) ภายในรูปทรงสามมิติ การวดั ปริมาตร

ของรูปทรงสามมติ ิใช้หนว่ ยวัดเปน็ ลกู บาศก์หนว่ ย และความสัมพันธ์ของปรมิ าตรของทรงพีระมิดกับทรงปริซมึ เปน็ ดังน้ี

ปรมิ าตรของทรงพรี ะมิดเปน็ 1 ใน 3 ของปริมาตรทรงปรซิ ึมท่มี ีพน้ื ทฐ่ี าน และสงู เทา่ กัน ดงั รูป

จากสตู ร ปรมิ าตรของทรงปริซึม = พืน้ ทฐ่ี าน × สงู จะไดว้ า่

ปรมิ าตรของทรงพีระมดิ = 1 x พน้ื ท่ฐี าน × สงู

3

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหาปรมิ าตรของพรี ะมดิ ตรงฐานสเี่ หลีย่ มจตั ุรสั ท่ีมดี า้ นฐานยาวด้านละ 22 เซนติเมตร

ส่วนสงู 15 เซนติเมตร วธิ ีทำ จากโจทยก์ ำหนดให้

ปรมิ าตรของทรงพรี ะมดิ = 1 x พน้ื ทฐ่ี าน × สงู ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร ลูกบาศก์เซนติเมตร 3 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร ลูกบาศก์เซนตเิ มตร \= 1 x ( ดา้ น x ดา้ น ) × สงู

3

\= 1 x ( 22 x 22 ) × 15

3

\= 2420

ตอบ 2420 ลกู บาศก์เซนติเมตร

~7~

ตวั อย่างที่ 4 จงหาปริมาตรของพรี ะมิดตรงฐานสีเ่ หลี่ยมจัตุรสั ท่มี ดี ้านฐานยาวด้านละ 14 เซนติเมตร

สงู เอียงยาว 25 เซนตเิ มตร

วิธีทำ พิจารณาโจทย์กำหนดให้ โจทย์ไมไ่ ดก้ ำหนดส่วนสงู มากให้ ดงั นน้ั ตอ้ งหาส่วนสงู ก่อน

ข้ันท่ี 1 หาสว่ นสูง

ให้ AB เป็นความสูงเอียง, AC เป็นส่วนสูง

BC เปน็ ความยาวครงึ่ หนึ่งของด้านฐานยาว คือ 14 ÷ 2 = 7 นิ้ว

ตามทฤษฎีปีทาโกรสั ในรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC

AC2 + 72 = 25 2

AC2 = 625 – 49

AC2 = 576

AC = 24

เพราะฉะนัน้ สว่ นสงู ยาว 24 นว้ิ

ขั้นท่ี 2 หาปริมาตร

จากทรงปริมาตรพรี ะมดิ = 1 × พ้นื ทีฐ่ าน × สูง

3

\= 1 × ( ดา้ น × ดา้ น ) × สงู

3

\= 1 × ( 14 × 14 ) × 24

3

\= 14 × 14 × 8

\= 1,568 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

ตอบ 1,568 ลบ.ซม.

~8~

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1

เรอ่ื ง การหาพน้ื ทีผ่ ิวและปริมาตรของพีระมิด

วิชา คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน รหสั ค 23201 ชว่ งชั้นท่ี 2 ช้นั ปีท่ี 3

คำชี้แจง 1. จงหาบอกส่วนประกอบของพีระมดิ ต่อไปนี้

พีระมิด .......................................

พรี ะมิด .............................................

~9~

2. จงหาสว่ นตา่ ง ๆ ของพรี ะมิดทกี่ ำหนดให้ต่อไปนี้ ( สงู เอยี ง , สว่ นสูงของพรี ะมิด , สัน , ความ ยาวของด้านทฐ่ี าน ) 2.1) สูงเอียง ..................................................... สว่ นสูงของพีระมิด ..................................... สันของพีระมิด ............................................ ความยาวด้านทีฐ่ าน .................................... .................................................................... 2.2) สูงเอยี ง ..................................................... สว่ นสงู ของพรี ะมดิ ..................................... สันของพรี ะมิด ............................................ ความยาวดา้ นทฐ่ี าน .................................... ..................................................................... 2.3) สูงเอยี ง ..................................................... สว่ นสูงของพรี ะมดิ ..................................... สนั ของพีระมิด ............................................ ความยาวด้านทีฐ่ าน .................................... .................................................................... 2.4) สงู เอียง ..................................................... สว่ นสูงของพีระมดิ ..................................... สันของพรี ะมิด ............................................ ความยาวด้านท่ีฐาน .................................... ..................................................................... 2.5) สูงเอยี ง ..................................................... ส่วนสูงของพรี ะมดิ ..................................... สันของพรี ะมิด ............................................ ความยาวดา้ นท่ีฐาน .................................... .....................................................................

~ 10 ~

แบบฝกึ ทักษะที่ 2

เรือ่ ง การหาพืน้ ที่ผิวและปริมาตรของพรี ะมิด

วิชา คณิตศาสตร์พื้นฐาน รหัส ค 23201 ช่วงช้ันที่ 2 ช้นั ปที ่ี 3

คำชีแ้ จง จงแสดงวิธที ำในแต่ละข้อต่อไปนี้

1. พรี ะมิดฐานสเ่ี หล่ียมจตั รุ ัสมดี ้านฐานยาวด้านละ 10 นิ้ว สว่ นสูงยาว 12 นวิ้ จงหาพืน้ ที่ผวิ ขา้ ง พีระมิด ตอบ .......................................................................................................................................

2. จงหาพื้นท่ีของพรี ะมิดฐานส่ีเหล่ียมผนื ผา้ ซ่งึ มีดา้ นประกอบมมุ ฉากยาว 32 ซม. และ 10 ซม. และมคี วามสงู 12 ซม. ตอบ .......................................................................................................................................

3. พรี ะมิดฐานห้าเหล่ยี มดา้ นเท่ามมุ เทา่ ฐานยาวด้านละ 8 ซม. และมีพื้นทผ่ี วิ ขา้ ง 120 ตาราง เซนติเมตร จะมีสงู เอียงเปน็ เท่าไร ตอบ .......................................................................................................................................

4. พรี ะมิดฐานสิบเหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ วัดความยาวรอบฐานได้ 56 เมตร และมพี ื้นทผี่ วิ ขา้ ง 224 ตารางเมตร สว่ นสงู เอียงของพรี ะมิดยาวเท่าใด ตอบ .......................................................................................................................................

5. รูปจำลองศิลาจารึก มสี ่วนล่างเป็นรปู ปริซมึ รูปสีเ่ หล่ียมจตั ุรัส ส่วนบนเปน็ รูปพีระมิด ( ดงั รูป )

ฐานของท้ังสองเป็นรปู สเ่ี หลย่ี มจัตุรัสยาวดา้ นละ 30 นว้ิ และมีปริมาตรทัง้ หมด 40,200

ลูกบาศกน์ ้วิ ถา้ สว่ นล่างสงู 42 น้ิว จงหา

5.1 สว่ นสงู เอียงของพีระมดิ 5.2 พนื้ ท่ีผวิ ทงั้ หมดของศิลาจารกึ

ตอบ ............................................................................................................................ ...........

.................................................................................................................................................

6. พรี ะมิดฐานสี่เหล่ยี มจตั รุ สั ยาวด้านละ 24 ซม. และสูงเอยี ง 13 ซม. จงหาส่วนสูงของพีระมดิ ตอบ .......................................................................................................................................

~ 11 ~

7. พีระมิดฐานหกเหลี่ยมด้านเท่ามมุ เทา่ วัดความยาวรอบฐานได้ 90 เซนตเิ มตร วดั สูงเอียงได้ 6 เซนตเิ มตร จะมีพ้นื ทีผ่ วิ ขา้ งเท่าไร ตอบ .......................................................................................................................................

8. พีระมิดฐานสีเ่ หล่ียมจัตรุ สั มฐี านยาวดา้ นละ 14 นว้ิ สงู 24 นวิ้ จงหา

8.1. สงู เอียง 8.2. ผิวข้าง 8.3. ปริมาตร

ตอบ .......................................................................................................................................

.......................................................................................................................... .......................

9. พรี ะมิดฐานหา้ เหล่ียมด้านเท่ามุมเท่า มฐี านยาวดา้ นละ 10 ซม. สูงเอยี ง 5 ซม. พรี ะมิดน้มี ี พื้นทีผ่ ิวข้างเทา่ ใด ตอบ ............................................................................................................................. ..........

10. พีระมิดฐานแปดเหล่ียมด้านเทา่ มมุ เทา่ มฐี านยาวดา้ นละ 10 ซม. และสูงเอยี งยาว 12 ซม. จงหาพนื้ ทีผ่ วิ ทั้งหมดของพรี ะมิด ตอบ ............................................................................................................................. ..........

~ 12 ~

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3

เรื่อง การหาพื้นท่ีผิวและปริมาตรของพีระมดิ

วิชา คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน รหสั ค 23201 ชว่ งช้นั ท่ี 2 ชัน้ ปที ี่ 3

คำช้แี จง จงแสดงวธิ ที ำในแต่ละข้อต่อไปน้ี

1. พรี ะมิดฐานหกเหลย่ี มด้านเท่ามมุ เท่า ยาวด้านละ 12 ซม. สนั ของพรี ะมิดยาว 19 ซม. จงหาพนื้ ทีผ่ วิ ท้ังหมดและปรมิ าตรของพรี ะมิด ตอบ ............................................................................................................................. ..........

2. จงหาปริมาตรของพรี ะมิด ซ่งึ มีฐานเป็นรูปสเี่ หลยี่ มจัตรุ สั ยาวดา้ นละ 15 เซนตเิ มตร สงู ตรงเปน็ 45 เซนติเมตร ตอบ ...................................................................................................................................... .

3. จงหาปรมิ าตรพรี ะมิคฐานสามเหลยี่ มท่ีมดี ้านยาว 50 , 60และ70 เซนตเิ มตร สูง 25 เซนติเมตร ตอบ .......................................................................................................................................

4. ชา่ งปูนต้องการหล่อปนู เป็นรูปพีระมิดฐานส่ีเหลีย่ มผนื ผ้ารูปหนึ่ง กว้าง 5 นว้ิ ยาว 8 น้ิว สูง 9 นว้ิ อยากทราบวา่ ต้องใช้ปนู ซีเมนต์กล่ี ูกบาศกน์ ้ิว ตอบ ...................................................................................................................................... .

5. สวนสาธารณะเบญจสิริ เปน็ สถานทีท่ ี่พักผ่อนและออกกำลังกาย แห่งหน่งึ ของคนกรุงเทพ ฯ สรา้ งข้ึนใน วโรกาสท่ี สมเด็จพระนางเจา้ สริ กิ ิตพ์ิ ระบรมราชินนี าถ ทรงมพี ระชนมายุ ครบ 60 พรรษาเมื่อ 2535 นอกจากต้นไม้ทรี่ ม่ รนื่ ในสวนแห่งนี้ ยังมงี านปฏิมากรรมร่วมสมยั จัดวางไวท้ ่วั บริเวณ ผลงานท่ีโดดเด่น ชน้ิ หนงึ่ คือ พรี ามิดฐานสเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั ซง่ึ มีฐานยาวด้านละ 2 เมตร สูงประมาณ 7 เมตร พรี ามดิ น้ีมี ปรมิ าตรประมาณเท่าใด ตอบ ............................................................................................................................. ..........

~ 13 ~

6. ขนมเทียนมีลักษณะใกล้เคียงพีระมิดฐานส่เี หล่ียมจัตรุ ัส ต้องการทำ ขนมเทยี นให้มฐี านยาวด้านละ 4 เซนตเิ มตร สงู 3 เซนตเิ มตร จำนวน 100 หอ่ ถ้าขนมเทยี นแต่ละห่อ ใช้แป้งประมาณ 2 ของขนม

3

จะต้องใชแ้ ปง้ ก่ีลติ ร ตอบ .......................................................................................................................................

7. ศลิ าจารึกหลักท่ี 1 ของพ่อขุนรามคำแหง ได้รบั การจดทะเบียนระดบั โลก (World Project) จากองคก์ า ศกึ ษาวิทยาศาสตร์และวัฒนธรรมแห่งสหประชาชาติ เม่ือ พ.ศ. 2546 เพราะถอื เปน็ หลักฐานสำคญั ทางด้านประวัตศิ าสตร์ การปกครอง การคา้ และวฒั นธรรม ของราชอาณาจักรสุโขทัย ที่มคี วามสำคญั กับ นานาชาติ ตอบ ............................................................................................................................. ..........

~ 14 ~

แบบทดสอบกอ่ น – หลังเรยี น

เรื่อง การหาพ้ืนที่ผิวและปริมาตรของพีระมดิ

วชิ า คณิตศาสตร์พื้นฐาน รหัส ค 23201 ชว่ งช้ันท่ี 2 ช้ันปีที่ 3

คำชี้แจง ใหน้ กั เรยี นเลอื กคำตอบท่ีถูกต้องท่ีสดุ เพยี งคำตอบเดียว

ขอ้ ท่ี 1) จงหาพ้ืนทผี่ วิ ของพีระมิดฐานสีเ่ หล่ียมจตั รุ ัสยาว ด้านละ 18 เซนติเมตร สูงตรง 12 เซนตเิ มตร สูง

เอยี งยาว 15 เซนติเมตร สันยาว 3 34 เซนติเมตร

ก. 864 ตารางเซนติเมตร ข. 432 ตารางเซนตเิ มตร

ค. 540 ตารางเซนติเมตร ง. 666 ตารางเซนตเิ มตร

ขอ้ ที่ 2) พีระมิดฐานสเี่ หล่ยี มจัตุรัส ซึ่งมฐี านยาวดา้ นละ 18 เซนติเมตร พีระมิดสูงเอียง 15 เซนตเิ มตร จง

หาความสงู ของพรี ะมิด

ก. 10 เซนติเมตร ข. 11 เซนติเมตร

ค. 12 เซนตเิ มตร ง. 13 เซนติเมตร

ข้อท่ี 3) พนื้ ทีผ่ วิ ขา้ งของพรี ะมดิ ฐานส่ีเหล่ยี มจัตรุ ัส เป็น 644 ตารางเซนติเมตร ความสงู เอียงเปน็ 23

เซนติเมตร จงหาเสน้ รอบรปู ของพรี ะมดิ น้ี

ก. 50 เซนติเมตร ข. 56 เซนติเมตร

ค. 60 เซนติเมตร ง. 72 เซนติเมตร

ข้อท่ี 4) จงหาพนื้ ทีผ่ วิ ข้างของพรี ะมดิ ฐานสเ่ี หล่ยี มจตั รุ ัส ซ่งึ มฐี านยาวดา้ นละ 24 เซนติเมตร สว่ นสงู 9

เซนตเิ มตร

ก. 216 ตารางเซนติเมตร ข. 225 ตารางเซนตเิ มตร

ค. 576 ตารางเซนติเมตร ง. 720 ตารางเซนตเิ มตร

ขอ้ ท่ี 5) จงหาปริมาตรของพีระมิดซึง่ มีฐานเปน็ รูปส่เี หลี่ยมผืนผา้ กว้าง 9 เซนติเมตร ยาว 12 เซนตเิ มตร สงู

15 เซนติเมตร

ก. 540 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร ข. 600 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

ค. 700 ลกู บาศก์เซนติเมตร ง. 720 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

~ 15 ~

ขอ้ ที่ 6) จงหาความสงู ของพีระมดิ ฐานส่ีเหลีย่ มจตั รุ ัส ซงึ่ มีฐานยาวดา้ นละ 21 เซนตเิ มตร และมปี ริมาตร

2,205 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

ก. 15 เซนตเิ มตร ข. 18 เซนตเิ มตร

ค. 20 เซนตเิ มตร ง. 24 เซนตเิ มตร

ขอ้ ท่ี 7) จากรูปเม่ือนามาประกอบเป็นรูปพรี ะมิด จะได้พีระมดิ รปู อะไร

ก. รปู พรี ะมดิ ฐานสามเหลีย่ ม ข. รูปพีระมดิ ฐานสเี่ หล่ียมจัตุรสั ค. รปู พรี ะมดิ ฐานสเ่ี หลี่ยมผนื ผา้ ง. รปู พีระมิดฐานหา้ เหล่ยี ม

ขอ้ ท่ี 8) จากรูปจงหาพ้ืนท่ผี ิวข้างของพีระมิด ก. 100 2 ตารางหน่วย ข. 200 ตารางหนว่ ย ค. 200 2 ตารางหนว่ ย ง. 150ตารางหน่วย

ขอ้ ที่ 9) จากรปู ข้อใดเรียกส่วนประกอบของพีระมิดผิด ก. 1 คือสว่ นยอดของพีระมิด ข. 5 คือส่วนสงู ของพีระมิด ค. 2 คือสันสว่ นข้างของพรี ะมิด ง. 4 คือส่วนฐานของพรี ะมดิ

ข้อท่ี 10) จงหาพน้ื ท่ผี วิ ข้างของพีระมิดฐานสามเหลี่ยมดา้ นเท่า ท่ฐี านยาวด้านละ 16 เซนติเมตร

สันยาว 10 เซนตเิ มตร

ก. 240 ตารางเซนติเมตร ข. 144 ตารางเซนตเิ มตร

ค. 136 ตารางเซนติเมตร ง. 256 ตารางเซนตเิ มตร

~ 16 ~

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ชุดท่ี 2

การหาพื้นท่ผี ิวและปริมาตรของรูปกรวย

~ 17 ~

แบบฝึกทกั ษะ

ชดุ ที่ 2 การหาพืน้ ทีผ่ ิวและปริมาตรของรูปกรวย

วชิ า คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน รหสั ค 23201 ช่วงชน้ั ที่ 2 ช้ันปีที่ 3

สาระสำคัญ

กรวย ( Cone ) คือ รูปเรขาคณติ สามมิติท่ีมีฐานเป็นรูปวงกลม มยี อดแหลมที่ไม่อยใู่ นระนาบ เดียวกนั กบั ฐาน และเส้นท่ีต่อระหว่างจดุ ยอดกบั จุดใดๆ บนขอบของฐานเป็นสว่ นของเสน้ ตรง

จดุ ประสงค์การเรียนรู้

นกั เรยี นสามารถ 4. อธิบายลักษณะและสมบตั ิของรปู ทรงกรวยได้ 5. หาพ้ืนท่ีผิวของทรงกรวยได้ 6. หาปริมาตรของทรงกรวยได้

~ 18 ~

ใบความรู้

เรอ่ื ง การหาพนื้ ที่ผิวและปริมาตรของรูปกรวย

วชิ า คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน รหัส ค 23201 ชว่ งช้นั ท่ี 2 ชน้ั ปที ่ี 3

พืน้ ทผ่ี ิวและปรมิ าตรของรปู กรวย กรวย ( Cone ) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติท่มี ฐี านเป็นรูปวงกลม มยี อดแหลมที่ไมอ่ ยูใ่ นระนาบ

เดยี วกันกบั ฐาน และเส้นที่ตอ่ ระหว่างจุดยอดกับจดุ ใดๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเสน้ ตรง

ท่ีมา : //www.f0nt.com/forum/index.php?topic=9359.90 ทม่ี า : //www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=7875

~ 19 ~

พื้นทผี่ ิวของรูปกรวย

ท่มี า : //www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?ID=82562

แผนภาพแสดงการคลรี่ ูปกรวย

เนื่องจากอตั ราส่วนระหวา่ งพ้ืนท่ีของรูปวงกลมท่ีมี O เป็นจุดศูนย์กลาง รศั มี l กับพ้นื ท่ีของรปู

สามเหลี่ยมฐานโคง้ OAXB เท่ากบั อัตราสว่ นความยาวของเส้นรอบรปู B วงกลมท่ีมี O เปน็ จดุ ศนู ย์กลาง

รศั มี l กับความยาวของ X สว่ นโค้ง AXB

ดงั น้นั l2 . = 2l

พ้นื ท่ขี องรูปสามเหลี่ยมฐานโคง้ OAXB 2r

ฉะนั้น พ้นื ท่ีของรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง OAXB = l2 x 2r

2l

\= rl

พ้นื ทขี่ องรปู สามเหลี่ยมฐานโคง้ OAXB ก็คือ พืน้ ทขี่ องกรวยท่มี ีสูงเอยี งยาว l หนว่ ย และรัศมีที่มีฐาน

ยาว r หนว่ ย

น่ันคอื พน้ื ทผ่ี วิ ข้างทรงกรวย = rl

~ 20 ~

พนื้ ทผี่ ิวของกรวย = พ้นื ทีผ่ วิ ขา้ งทรงกรวย + พน้ื ทฐี่ านของกรวย \= rl + r2

เมอื่ r แทนรศั มฐี านกรวย l แทนสูงเอียงของกรวย

หรอื

จากสตู รการหาพ้นื ท่ีผวิ กรวย = rl + r2 \= ( l + r ) r

หมายเหตุ : พน้ื ที่ผวิ ของกรวย ประกอบด้วยพ้นื ที่ผิวข้างรวมกับพน้ื ทีฐ่ าน โดยที่พ้ืนท่ผี ิวขา้ งของกรวย ไดจ้ ากการคลก่ี รวยออกมาแล้ว เปน็ รูปสามเหลยี่ มฐานโค้ง ส่วนพ้ืนทีฐ่ านเป็นพน้ื ท่วี งกลม

ตวั อย่างท่ี 1 จากรปู ท่ีกำหนดให้ จงหาพน้ื ที่ผิวของกรวย

วิธีทำ l2 = 62 + 82 .

\= 36 + 64

\= 100

\= 102

l l = 10

พน้ื ทผี่ ิวข้างของกรวย = rl

\=  x 6 x 10

\= 60 ตารางหน่วย

พนื้ ทฐี่ านของกรวย = r2

\= 6x6x

\= 36 ตารางหนว่ ย

พื้นทีผ่ วิ ของกรวย = พนื้ ทผ่ี วิ ข้างของกรวย + พื้นท่ฐี านของกรวย

\= 60 + 36

\= 96 ตารางหนว่ ย

ตอบ กรวยนีม้ ีพื้นทผ่ี วิ 96 ตารางหนว่ ย

~ 21 ~

ตวั อย่างที่ 2 จงหาพ้นื ท่ีผวิ ของกรวย ซึ่งสงู 24 เซนติเมตร และเสน้ ผ่านศนู ย์กลาง 14 เซนตเิ มตร

วธิ ีทำ จากโจทยก์ ำหนดให้ กรวยนี้ สงู 24 เซนตเิ มตร

และ เส้นผา่ นศนู ย์กลาง 14 เซนติเมตร

จะไดว้ า่ กรวยน้มี ีรศั มี 7 เซนตเิ มตร

ดังนนั้ หาสงู เอียง โดยใชท้ ฤษฎบี ทพีทาโกรสั l2 = 72 + 242 .

\= 49 + 576

\= 625

\= 252

l = 25

พ้นื ท่ผี ิวของทรงกรวย = พ้นื ทผ่ี ิวข้างของกรวย + พื้นที่ฐานของกรวย

\= rl + r2

\= ( l + r ) r

\= ( 25 + 7 ) x 7 x  ตารางเซนตเิ มตร

\= 32 x 7 x  ตารางเซนตเิ มตร

\= 224 ตารางเซนตเิ มตร

ตอบ พน้ื ท่ีผิวของทรงกรวยน้ีคือ 224 ตารางเซนตเิ มตร

ปริมาตรของรูปกรวย

ปรมิ าตรของกรวยเปน็ 1 ใน 3 ของปริมาตรทรงกระบอกท่ีมพี น้ื ท่ฐี าน และสงู เท่ากัน ดงั รูป

แผนภาพแสดงการเปรยี บเทยี บปริมาตรของกรวยกบั ทรงกระบอก ดังน้ัน จากปริมาตรของทรงกระบอก = พืน้ ทีฐ่ าน x ความสูง

\= r2h

~ 22 ~

จะไดว้ ่า

ปริมาตรของทรงกรวย = 1 [ พ้นื ท่ฐี าน x ความสูง ]

3

\= 1 r2h

3

เมอื่ r แทนรศั มีที่ฐานของทรงกรวย h แทนความสูงของทรงกรวย

ตัวอยา่ งท่ี 3 กำหนดให้ดังรูป จงหาปรมิ าตรของกรวยนี้ วธิ ีทำ จากรปู

จะได้ว่า รัศมีของทรงกรวยน้ี เท่ากับ 3.5

ปริมาตรของทรงกรวย = 1 [ พื้นที่ฐาน x ความสูง ]

3

\= 1 r2h

3

\= 1 x ( 3.5 x 3.5 ) x 10 x 

3

\= 40.83 ลกู บาศกห์ นว่ ย

ตอบ กรวยนม้ี ปี ริมาตร 40.83 ลกู บาศกห์ นว่ ย

ตัวอย่างท่ี 4 กรวยสูง 12 เซนติเมตร ฐานมรี ศั มี 9 เซนติเมตร บรรจนุ ้ำจนเตม็ หากต้องการใหม้ นี ำ้ อยเู่ พยี ง

2 ใน 3 ของความสงู จะต้องเทน้ำออกไปเท่าใด

วิธที ำ จากโจทย์ กำหนดให้กรวยสูง 9 เซนติเมตร และมีรัศมี 9 เซนติเมตร

จะได้ว่า ทรงกรวยน้มี ีปรมิ าตร = 1 [ พื้นทีฐ่ าน x ความสูง ]

3

\= 1 r2h

3

\= 1 x 3.14 x ( 9 x 9 ) x 12 3

\= 1,017.36 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร

แต่โจทย์ตอ้ งการใหม้ นี ำ้ อยเู่ พียง 2 ใน 3 ของความสูง

นัน้ คอื ต้องการให้มนี ำ้ อยใู่ นทรงกรวยนี้ = 2 x 1017.36 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

3

\= 678.24

ฉะน้นั ต้องเทนำ้ ออก 1017.36 – 678.24 = 339.12 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร

ตอบ ต้องเทนำ้ ออก 339.12 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

~ 23 ~

ตวั อยา่ งที่ 5 จงหาปริมาตรจรวดทรงกระบอกมปี ลายเป็นกรวย มีเส้นผา่ นศนู ยก์ ลาง 14 เซนติเมตร ความ

ยาวทรงกระบอก 30 เซนติเมตร ความสงู ยอดกรวย 12 เซนติเมตร

วิธีทำ จากโจทย์กำหนดให้ จรวดประกอบด้วยทรงกระบอก และทรงกรวย

พิจารณา ทรงกระบอก ไดด้ งั น้ี

ทรงกระบอก ยาว 30 เซนติเมตร

เส้นผา่ นศนู ย์กลาง 14 เซนติเมตร

นนั้ คือ มีรัศมี 7 เซนติเมตร

ดงั น้ัน ปรมิ าตรขงิ ทรงกระบอก = พน้ื ทฐี่ าน x สงู

\= r2 x h

\= ( 7 x 7 ) x 30 x  ลูกบาศก์เซนติเมตร

\= 1470 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

พิจารณา ทรงกรวย ไดด้ ังนี้

ทรงกรวย ยาว 12 เซนตเิ มตร

เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลาง 14 เซนติเมตร

นัน้ คอื มีรัศมี 7 เซนตเิ มตร

ปรมิ าตรของทรงกรวย = 1 [ พนื้ ท่ฐี าน x ความสูง ]

3 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร \= 1 r2h

3

\= 1 x ( 7 x 7 ) x 12 x 

3

\= 196

ดงั นัน้ ปริมาตรของจรวดนค้ี ือ 1470 + 196 = 1666 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

ตอบ ปรมิ าตรของจรวดน้ี คือ 1666 ลกู บาศก์เซนติเมตร

~ 24 ~

แบบฝกึ ทักษะที่ 1

เร่ือง การหาพืน้ ที่ผิวและปริมาตรของรปู กรวย

วชิ า คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน รหสั ค 23201 ชว่ งช้ันที่ 2 ช้นั ปีที่ 3

คำชี้แจง ใหน้ ักเรียนแสดงสว่ นประกอบตา่ ง ๆ ของกรวยต่อไปนี้ 1.) จงบอกสว่ นประกอบของกรวยต่อไปนี้

2.) จงตอบคำถามต่อไปน้ี รัศมขี องกรวย ยาว ...................................................... 2.1) . ความยาวของเส้นรอบวง .............................................. ความสูงของกรวย ........................................................ 2.2) . สงู เอยี ง ยาว ................................................................ พืน้ ท่ีผิวทฐี่ าน ............................................................... พน้ื ทผี่ วิ ด้านข้าง ...........................................................

รัศมขี องกรวย ยาว ...................................................... ความยาวของเสน้ รอบวง .............................................. ความสงู ของกรวย ........................................................ สงู เอยี ง ยาว ................................................................ พน้ื ทผ่ี ิวท่ฐี าน ............................................................... พืน้ ทผ่ี วิ ดา้ นขา้ ง ...........................................................

~ 25 ~

2.3) . รศั มีของกรวย ยาว ...................................................... ความยาวของเสน้ รอบวง .............................................. ความสูงของกรวย ........................................................ สงู เอียง ยาว ................................................................ พน้ื ท่ีผิวที่ฐาน ............................................................... พน้ื ที่ผวิ ดา้ นข้าง ...........................................................

2.4) . รศั มีของกรวย ยาว ...................................................... ความยาวของเส้นรอบวง .............................................. ความสูงของกรวย ........................................................ สงู เอียง ยาว ................................................................ พน้ื ทผ่ี วิ ทีฐ่ าน ............................................................... พื้นที่ผวิ ด้านข้าง ...........................................................

2.5) กรวยเล็ก รัศมีของกรวย ยาว ...................................................... ความยาวของเส้นรอบวง .............................................. ความสงู ของกรวย ........................................................ สูงเอยี ง ยาว ................................................................ พน้ื ทผ่ี วิ ทฐ่ี าน ............................................................... พน้ื ท่ผี ิวดา้ นข้าง ...........................................................

กรวยใหญ่ รศั มีของกรวย ยาว ...................................................... ความยาวของเสน้ รอบวง .............................................. ความสงู ของกรวย ........................................................ สูงเอียง ยาว ................................................................ พนื้ ที่ผิวที่ฐาน ............................................................... พื้นทผ่ี ิวด้านข้าง ...........................................................

~ 26 ~

แบบฝึกทกั ษะที่ 2 ชน้ั ปีท่ี 3

เรอื่ ง การหาพ้นื ที่ผิวและปริมาตรของรปู กรวย วิชา คณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน 5 รหสั ค 23101 ชว่ งช้ันท่ี 2

คำชีแ้ จง ให้นกั เรยี นแสดงวิธีทำในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ 1. โรงเรยี นอนบุ าลแห่งหน่ึง ทำกระโจมท่ีมสี ่วนล่างเปน็ ทรงกระบอก มหี ลังคาเป็นกรวยกลมสำหรับให้ นกั เรียนเขา้ ไปเลน่ ส่วนทเี่ ปน็ ทรงกระบอกสงู 120 เซนติเมตร หลังคากระโจมสูง 150 เซนตเิ มตร ฐานกระโจมมีรัศมยี าว 80 เซนตเิ มตร ถา้ ทางโรงเรียนตอ้ งการทาสลี งบนหลังคา จงหาพ้ืนทที่ ี่ต้อง ทาสี ตอบ ............................................................................................................................. ....................

2. หมวกชาวเวียดนามมลี ักษณะทรงกรวย โครงภายในหมวกทำดว้ ยเสน้ ไม้ไผ่เหลากลมขดเปน็ วงกลม ยึดดว้ ยใบลาน ถา้ หมวกใบหน่ึงวัดความยาวของเส้นรอบวงของฐานหมวกได้ 28 เซนตเิ มตร และสูง เอียง 27 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ของใบลานซง่ึ เปน็ ผวิ ขา้ งของกรวยเท่ากบั เท่าไร ตอบ .................................................................................................................................................

3. กรวยใบหนึง่ มเี สน้ ผ่านศนู ย์กลางยาว 12 เซนตเิ มตร กรวยสงู 14 เซนติเมตร จงหาพืน้ ที่ผิวของกรวย ใบนี้ (กำหนดให้   3.14) ตอบ .................................................................................................................................................

4. จงหาพืน้ ทีผ่ วิ ข้างของกรวยตัน ทีม่ ีรศั มีฐานยาว 5 เซนตเิ มตร สงู เอยี ง 7 เซนติเมตร (กำหนดให้   3.14) ตอบ .................................................................................................................................................

5. กรวยใบหนึ่งมีพ้ืนทผี่ ิว 418 ตารางเซนตเิ มตร ถ้ากรวยมีรัศมีฐานยาว 7 เซนตเิ มตร จงหาส่วนสงู เอียง ของกรวย (กำหนดให้   3.14) ตอบ .................................................................................................................................................

6. กรวยใบหนง่ึ มีพ้ืนที่ผิวข้าง 484 ตารางเซนตเิ มตร ด้านสูงเอียงเท่ากบั 11 เซนตเิ มตร อยากทราบวา่ กรวยใบน้ีมพี ้นื ทีฐ่ านเทา่ ไร ตอบ .................................................................................................................................................

~ 27 ~

7. กรวยใบหน่ึงมีเส้นผา่ นศูนย์กลางของฐาน 12 นิว้ สงู 3 ฟตุ อยากทราบว่ากรวยใบนีม้ ีความจุกี่ แกลลอน (กำหนดให้ค่า   3.14 และ 1 แกลลอน มคี วามจุเท่ากับ 231 ลูกบาศกน์ ้วิ ) ตอบ .................................................................................................................................................

8. ตอ้ งการทำกรวยอันหนึง่ ดว้ ยไม้ ใหก้ รวยนมี้ ีรัศมีด้านนอกเท่ากบั 15 เซนตเิ มตร รศั มีดา้ นใน 13 เซนติเมตร ความสูงด้านนอก 10 เซนติเมตร และความสงู ด้านใน 9 เซนตเิ มตร อยากทราบว่า เน้ือไม้ ทใ่ี ชท้ ำกรวยน้มี ีปริมาตรเท่าไร (กำหนดให้   3.14) ตอบ .................................................................................................................................................

9. อลูมิเนยี มแผ่นหนง่ึ กว้าง 60 นิ้ว ยาว 2,400 ฟตุ ต้องการนำมาตดั ทำหมอ้ นง่ึ ซาลาเปา โดยตอนลา่ ง เปน็ ทรงกระบอกสูง 9 นิ้ว มเี ส้นผา่ นศนู ยก์ ลาง 18 นิ้ว สว่ นตอนบนเป็นทรงกรวยกลม ถ้าหมอ้ น่ึง ซาลาเปาทง้ั ใบสงู 24 นว้ิ อยากทราบว่าจะทำหม้อนง่ึ ซาลาเปาได้กี่ใบ ถา้ การตัดแผ่นอลูมิเนยี มนี้ จะตอ้ งเหลือเศษไป 10% (กำหนดให้   3.14) ตอบ .................................................................................................................................................

10. ลูกตุ้มเหลก็ ทรงกรวย สงู 4 เซนติเมตร มีเส้นผา่ นศูนย์กลางยาว 6 เซนติเมตร อยากทราบวา่ ลกู ตมุ้ นี้ มพี ้ืนท่ผี วิ และปรมิ าตรเปน็ เท่าไร (กำหนดให้   3.14) ตอบ .................................................................................................................................................

~ 28 ~

แบบฝึกทกั ษะท่ี 3

เร่ือง การหาพื้นทผ่ี ิวและปริมาตรของรูปกรวย

วชิ า คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน รหสั ค 23201 ช่วงชัน้ ท่ี 2 ชัน้ ปที ี่ 3

คำช้แี จง ให้นกั เรยี นแสดงวธิ ที ำในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้

1. ถงั นำ้ รูปกรวยมีความสูงเท่ากับ 1 เมตร จงหาว่าถ้าบรรจนุ ้ำในถงั โดยใหม้ ีปริมาตรครึ่งหนงึ่ ของ ปริมาตรถงั ระดับน้ำจะอยู่สงู จากกน้ ถังเท่าไร ตอบ .................................................................................................................................................

2. กระโจมของอินเดยี แดงเผา่ หน่ึงมีลกั ษณะ เปน็ กรวยสงู 3.25 เมตร ฐานของกระโจม รัศมียาว 1.75 เมตร ปริมาตรของกระโจม เปน็ เทา่ ไร ตอบ .................................................................................................................................................

3. เทียนไขแฟนซี สองแบบ แบบแรก ทำเปน็ ทรงกระบอกมีเสน้ ผา่ ศนู ย์กลางของฐานยาว 3 เซนตเิ มตร และสูง 6 เซนตเิ มตร แบบทสี่ อง ทำเป็นกรวยสงู 6 เซนติเมตร และรศั มขี องฐาน ยาว 2 เซนติเมตร นกั เรยี นคิดว่า เทียนไขแบบใดใช้เทียนไขมากกวา่ กนั และมากกวา่ กันเท่าใด ตอบ .................................................................................................................................................

4. ธูปหอมเป็นผลติ ภณั ฑ์ภมู ิปญั ญาของชาวบ้านมีขเี้ ลี่อย ผสมผงไม้หอม เป็นส่วนประกอบหลกั กลนิ่ หอมเกิดจากการเตมิ ตะไครห้ อม มะลิ กฤษณา ปาริชาต หรือ ลาเวนเดอร์ ลงในส่วนผสมก่อนนำไป ขน้ึ รูปใหม้ ีรปู ร่างตามต้องการ ถ้าชาวบา้ นไดร้ ับ ใบสง่ั ซื้อสนิ คา้ ใหท้ ำธปู หอมรูปกรวยขนาดสงู 1 นว้ิ เส้นผา่ ศูนยก์ ลางของฐานยาวครึง่ น้ิว จำนวน 50,000 ชิน้ ชาวบ้านควรเตรยี มขเ้ี ล่ือยผสมผงไมห้ อม ไว้เทา่ ใด ตอบ .................................................................................................................................................

~ 29 ~

5. อนุสรณ์สถาน 14 ตุลา บนถนนราชดำเนินกลาง กรงุ เทพมหานคร เปน็ ศูนยเ์ รียนรู้ และสถานท่จี ัด กจิ กรรมสาธารณะ มหี ้องสมดุ และพิพิธภณั ฑ์แสดงประวัตศิ าสตร์ ประชาธิปไตยไทยสำหรบั เยาวชน และบคุ คลทว่ั ไป จุดเดน่ ของอนุสรณ์สถาน 14 ตุลา คือ สถูปรำลกึ วรี ชน 14 ตุลา ซ่ึงมยี อดเป็น กรวยกลวง สูง 9 เมตร เส้นผ่าศูนย์กลาง ภายใน ของฐาน ยาว 2 เมตร จงหาวา่ อากาศ ในยอดสถปู รำลกึ วีรชน 14 ตลุ าคม มีปริมาตรเท่าใด ตอบ .................................................................................................................................................

6. การแต่งหน้าเคก็ เปน็ กจิ กรรม ทเ่ี พลิดเพลิน อปุ กรณ์ แตง่ หน้าเคก็ อยา่ งง่าย ทป่ี ระดิษฐ์ได้เอง ก็คือ กรวยกระดาษไขสำหรับใส่สว่ นผสมของครีมโรยหน้าขนมที่เรียกว่า ไอซิ่ง (Icing) ไอซ่งิ ในกรวยทม่ี ี รัศมี 5 เซนตเิ มตร และสูง 10 เซนติเมตร ทำกลีบดอกไม้ทีม่ ีขนาดเท่ากนั บนหน้าเคก็ ได้ 15 กลีบ พอดี อยากทราบว่า การทำกลีบดอกไม้ 180 กลีบบนหน้าเคก็ ตอ้ งใชไ้ อซง่ิ ท่ีมปี รมิ าตรอย่างน้อย เทา่ ใด ตอบ ........................................................................................................................................... ......

7. จงหาความสงู ของกรวยอนั หนึ่งซงึ่ มปี ริมาตร 48 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร และเสน้ ผา่ ศนู ย์กลางของ ฐาน ยาว 8 เซนติเมตร ตอบ .......................................................................................................................................... .......

8. จงหาปรมิ าตร ของกรวยใหญ่ทีส่ ดุ ทีส่ ามารถบรรจุอยูใ่ นพรี ะมิดฐานสเี่ หลี่ยมจัตรุ ัส โดยใช้ มุมยอด รว่ มกัน พีระมดิ มีสว่ นสูงยาว 18 เซนติเมตร และมี ฐานยาว ดา้ นละ 15 เซนตเิ มตร ตอบ .................................................................................................................................................

~ 30 ~

แบบทดสอบก่อน – หลังเรียน

เร่ือง การหาพน้ื ท่ีผิวและปริมาตรของรปู กรวย

วิชา คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน รหสั ค 23201 ช่วงชัน้ ที่ 2 ชนั้ ปีที่ 3

คำชแ้ี จง ใหน้ กั เรียนเลอื กคำตอบท่ีถูกต้องทีส่ ุดเพยี งคำตอบเดยี ว

ขอ้ ท่ี 1) กรวยอันหนงึ่ สงู เอยี ง 18 เซนติเมตร รศั มขี องฐานมคี วามยาว 8 เซนติเมตร พื้นทผี่ ิวของกรายน้ีเป็น

เท่าใด

ก. 563.21 ตารางเซนตเิ มตร ข. 536.12 ตารางเซนตเิ มตร

ค. 653.02 ตารางเซนติเมตร ง. 653.12 ตารางเซนติเมตร

ข้อท่ี 2) ถา้ ปรมิ าตรของทรงกระบอกเป็น2เทา่ ของปริมาตรของกรวยถา้ รศั มีของฐานเท่ากนั

แลว้ กรวยสูง 24 เซนติเมตร ทรงกระบอกสูงกี่เซนติเมตร

ก. 16 เซนติเมตร ข. 18 เซนตเิ มตร

ค. 19 เซนติเมตร ง. 20 เซนตเิ มตร

ขอ้ ท่ี 3) กรวยกลมมีปริมาตร 615 ลูกบาศกน์ ้ิว ตั้งอยบู่ นฐานเดยี วกันกบั รปู ทรงกระบอกซึ่งสูงเท่ากันกบั

ทรงกระบอกจะมีปรมิ าตรกลี่ กู บาศกน์ ว้ิ

ก. 1,800 ลกู บาศก์น้ิว ข. 1,820 ลูกบาศกน์ ้ิว

ค. 1,835 ลกู บาศก์น้ิว ง. 1,845 ลูกบาศกน์ ิ้ว

ขอ้ ท่ี 4) กรวยกลมซ่ึงมเี สน้ ผ่านศูนย์กลางทฐี่ านยาว 6 เซนตเิ มตร กรวยกลมสูง 4 เซนติเมตร

พน้ื ทผี่ ิวทั้งหมดเปน็ เท่าไร

ก. 25 1 ตารางเซนตเิ มตร ข. 28 2 ตารางเซนติเมตร

7 7

ค. 47 1 ตารางเซนติเมตร ง. 75 2 ตารางซนตเิ มตร

7 7

ข้อท่ี 5) โลหะทรงกรวยตัน 2 ลกู สงู เทา่ กัน รัศมี 6 เซนติเมตร และ 8 เซนติเมตร ตามลำดับ

เม่อื หลอมเปน็ ทรงกรวยลกู เดียวให้สูงเทา่ เดิมจะได้รัศมยี าวกเี่ ซนติเมตร

ก. 10 เซนตเิ มตร ข. 11 เซนติเมตร

ค. 12 เซนติเมตร ง. 14 เซนติเมตร

~ 31 ~

ข้อท่ี 6) กรวยสังกะสีอันหน่ึงสูง 1 ฟตุ มีเส้นผ่านศนู ย์กลางยาว 5 ฟตุ 10 นิ้ว จงหาปริมาตรของ

ทรงกรวยนี้

ก. 1,540 ลกู บาศก์นิว้ ข. 15,400 ลกู บาศกน์ ้ิว

ค. 15,300 ลูกบาศก์น้วิ ง. 16,400 ลกู บาศก์นิ้ว

ขอ้ ที่ 7) กรวยอันหน่งึ มีปริมาตร 48 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร และมีเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางของฐานยาว

8 เซนติเมตร จะมคี วามสงู ตรงกับข้อใด

ก. 6 เซนติเมตร ข. 9 เซนติเมตร

ค. 10 เซนติเมตร ง. 12 เซนติเมตร

ข้อท่ี 8) ถว้ ยกระดาษสาหรับดืม่ นา้ ทาเป็นรูปกรวย มีปริมาตร 75 .36 ลกู บาศก์เซนติเมตร

สูง 8 เซนติเมตร จงหารศั มีของปากกรวย

ก. 3 เซนติเมตร ข. 4 เซนติเมตร

ค. 5 เซนติเมตร ง. 6 เซนตเิ มตร

ข้อที่ 9) ข้อใดกล่าวผดิ ก. กรวยเปน็ รูปเรขาคณิตสามมติ ิ ข. กรวยมฐี านเปน็ รปู วงกลม ค. ยอดแหลมของกรวยอย่บู นระนาบเดียวกันกบั ฐาน

ง. เสน้ รอบรูปของฐานของกรวยยาว 2r หนว่ ย

ข้อท่ี 10) กำหนดให้กรวยอันหนง่ึ มีรศั มีเท่ากบั 9 หน่วย ความสงู ของกรวยเทา่ กับ 15 หนว่ ย กรวยน้มี ี

ปรมิ าตรเทา่ ไร

ก. 1,350.6 ลกู บาศก์หน่วย ข. 1,721.7 ลกู บาศก์หนว่ ย

ค. 1,271.7 ลกู บาศกห์ นว่ ย ง. 1,562.5 ลกู บาศกห์ นว่ ย

~ 32 ~

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ ชดุ ท่ี 3

การหาพน้ื ทผี่ ิวและปริมาตรทรงกลม

~ 33 ~

แบบฝกึ ทกั ษะ

ชดุ ท่ี 6 การหาพื้นทผ่ี ิวและปริมาตรทรงกลม

สาระสำคัญ

ทรงกลม ( Sphere ) คือ ทรงสามมิตทิ ่ีมีผวิ โค้งเรียบและจุดทุกจดุ บนผิวโคง้ อยหู่ า่ งจากจดุ คงท่ี จุด หนงึ่ เปน็ ระยะเทา่ กนั จุดคงท่ีน้นั เรยี กว่า “จุดศนู ยก์ ลางของทรงกลม” และเรยี กระยะหา่ งจากจดุ ใดบนผวิ โคง้ มายงั จดุ ศนู ย์กลางทรงกลมวา่ “รัศมที รงกลม”

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

นกั เรียนสามารถ 7. อธิบายลักษณะและสมบัติของรูปทรงกลมได้ 8. หาพ้ืนทผ่ี วิ ของทรงกลมได้ 9. หาปรมิ าตรของทรงกลมได้

~ 34 ~

ใบความรู้

เร่ือง การหาพน้ื ท่ผี ิวและปริมาตรทรงกลม

วิชา คณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน รหสั ค 23201 ช่วงชัน้ ท่ี 2 ช้ันปที ี่ 3

พื้นทผ่ี วิ และปริมาตรของรูปทรงกลม ทรงกลม (Sphere) คอื ทรงสามมติ ิท่มี ีผวิ โคง้ เรียบและจดุ ทุกจุดบนผิวโค้งอยูห่ า่ งจากจุดคงท่ี จุด

หน่งึ เป็นระยะเท่ากนั จดุ คงที่นัน้ เรยี กวา่ “จดุ ศนู ยก์ ลางของทรงกลม” และเรียกระยะห่างจากจดุ ใดบนผวิ โคง้ มายังจุดศูนย์กลางทรงกลมวา่ “รัศมีทรงกลม”

รูปทรงกลม หมายถึง รปู ทรงสามมิติท่มี ผี ิวโคง้ เรยี บและจดุ ทกุ จุดบนผิวโค้งอยหู่ ่างจากจุดหนึ่งเป็น ระยะทางทีเ่ ท่ากันเราเรยี กจุดคงทนี่ ัน้ ว่า “จุดศูนย์กลางของทรงกลม” และระยะทางทเี่ ท่ากันนนั้ เรยี กว่า “รศั มีของทรงกลม”

~ 35 ~

พ้นื ทผี่ วิ ของทรงกลม

พืน้ ท่ผี วิ ของทรงกลม หมายถงึ พ้นื ที่ทปี่ ระกอบด้วยพน้ื ทีว่ งกลมใหญๆ่ 4 วง ด้ังน้ัน การหาพ้นื ที่ผิวทรงกลมจงึ หาได้จากการหาพ้ืนที่วงกลมใหญท่ ัง้ 4 วงนำมารวมกนั

 พืน้ ที่ผวิ ของทรงกลม = 4r2

ตวั อย่างที่ 1 ลกู บอลลูกหนง่ึ มเี สน้ รอบวงกลมใหญย่ าว 44 เซนติเมตร จะมีพ้ืนที่ผิวเท่าใด

วิธีทำ ความยาวรอบวงกลมใหญ่ = 2r

2r = 44

r = 44

2

\= 44x7

2 x22

\=7

พ้นื ที่ผวิ ทรงกลม = 4r2

\= 4 x 22 x 7 x 7 = 616 ตารางเซนตเิ มตร

7

ลูกบอลพลาสติกมีพ้ืนที่ผิว = 616 ตารางเซนติเมตร ตอบ มพี น้ื ทผี่ ิว 616 ตารางเซนติเมตร

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาพ้ืนท่ีผิวโดยประมาณของรูปเรขาคณติ สามมติ ิ ดังรูป ( กำหนด   3.14 ) วิธีทำ สตู ร พื้นท่ผี ิวทรงกลม = 4r2 \= 4 x 3.14 x ( 6 x 6 ) \= 452.16 ตารางเซนตเิ มตร

พื้นที่ผิวด้านข้างทรงกระบอก = 2rh \= 2 x 3.14 x 6 x 12 \= 452.16 ตารางเซนติเมตร

พื้นที่ผวิ ทั้งหมด = 452.16 + 452.16 \= 905.32 ตารางเซนตเิ มตร

ตอบ 905.32 ตารางเซนตเิ มตร

~ 36 ~

ปรมิ าตรของรปู ทรงกลม

อารค์ ีมีดสี ไดแ้ สดงใหเ้ หน็ โดยใชอ้ ัตราสว่ นแสดงการหาปริมาตรดงั นี้ อตั ราส่วนทางปรมิ าตรของรปู ทรงกลมตนั มคี ่าเทา่ กับ 2 ของรปู ทรงกระบอก ท่ีมีส่วนสูงและ

3

เส้นผา่ ศนู ย์กลางของฐานเทา่ กับเส้นผ่าศูนย์กลางของรูปทรงกลม จากหลกั การน้ที ำใหท้ ราบวธิ กี ารหาปริมาตร ของรปู ทรงกลม

1. ผา่ ครึ่งลกู บอลพลาสตกิ ออกเปน็ สองซกี แลว้ หาความยาวของรัศมีคร่ึงทรงกลม สมมตใิ ห้เปน็ r เซนตเิ มตร

2. ใชก้ ระดาษแข็งสร้างทรงกระบอกให้มีรศั มีของฐานยาว r เซนตเิ มตร และสูง 2r เซนตเิ มตร โดย ปดิ ฐานไวข้ า้ งหนง่ึ

3. ใสท่ รายให้เตม็ ครงึ่ ทรงกลม แล้วเททรายจากครึง่ ทรงกลมใสใ่ นทรงกระบอก ตอ้ งเททรายจาก ครง่ึ ทรงกลมท่ีมีทรายเตม็ ก่คี ร้ังจึงจะเต็มทรงกระบอกพอดี

ปริมาณรปู ทรงกระบอก = พ้นื ที่ฐาน x สูง

\= r2 x 2r เน่ืองจาก สามเทา่ ของปริมาตรครง่ึ ทรงกลมเทา่ กบั ปรมิ าตรของทรงกระบอก

ดังน้ัน 3 x ปริมาตรของคร่ึงทรงกลม = 2r3

จะได้ ปริมาตรของครง่ึ ทรงกลม = 1 x 2r3 น่ันคอื ปรมิ าตรของทรงกลม 3

\= 2 x 1 x 2r3

3

\= 4 r3

3

ปรมิ าตรของทรงกลม = 4 r3

3

เม่อื r แทนรัศมีของทรงกลม

~ 37 ~

ตวั อย่างท่ี 3 ลกู บอลพลาสติกใบหนง่ึ มีพ้ืนทผ่ี ิว 64 ตารางเซนตเิ มตร ถ้าผ่าคร่งึ ลูกบอลพลาสตกิ ใบนี้ ไปบรรจนุ ้ำ จะจนุ ้ำได้ก่ีลิตร

วิธีทำ พน้ื ทผี่ ิวของลกู บอล = 4r2

4r2 = 64 ตารางเซนติเมตร r2 = 16 เซนตเิ มตร r =4

ปรมิ าตรของทรงกลม = 4 r3

3

แตโ่ จทยต์ ้องการ ผา่ ครึง่ ลกู บอลพลาสตกิ ใบน้ีไปบรรจุน้ำ

ดงั นั้น จะไดว้ ่า = 1 x 4 r3

23

\= 2x(4x4x4)x

3

\= 128  ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

3

ตอบ ผา่ ครงึ่ ลกู บอลพลาสตกิ ใบน้ีจะจุนำ้ ได้ 64  ลูกบาศก์เซนติเมตร

3

ตวั อย่างที่ 4 นำลูกเหล็กทรงกลม 3 ลูก มีรัศมี 1 น้ิว 6 นว้ิ และ 8 น้ิว ตามลำดบั มาหลอมรวมกนั เปน็ ทรง