สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.
แบบรูปและความสัมพันธ์
1.1
แบบรูปคืออะไร ?
แบบรูป
(Patterns)
หรือที่บางครั้งเรียกว่า อนุกรม คือ ชุดของตัวเลข หรือรูปภาพที่มีความสัมพันธ์กันอย่างใดอย่างหนึ่ง
ในลักษณะของจำนวน รูปร่าง สี หรือขนาด ตามกฎเกณฑ์ที่กำหนด ซึ่งเมื่อทราบกฎเกณฑ์หรือความสัมพันธ์ที่กำหนดในแต่ละแบบรูป
เราก็จะสามารถบอก คาดเดาหรือคาดการณ์ได้ว่า สิ่งต่างๆ รูปเรขาคณิต รูปอื่นๆ หรือจำนวนที่หายไป
คืออะไร
1.2
แบบรูปมีกี่ประเภท อะไรบ้าง?
ตามหลักแล้วเราแบ่งแบบรูปออกตามประเภทความสัมพันธ์ได้ดังนี้
1.2.1.
แบบรูปของจำนวน (Number Patterns) เป็นแบบรูปที่แสดงชุดของตัวเลขที่มีความสัมพันธ์กันในลักษณะหนึ่ง
แบ่งออกเป็น
::
แบบรูปของจำนวนที่เพิ่มขึ้น ตัวอย่าง
แบบรูปที่จำนวนเพิ่มขึ้นทีละ 1: 1, 2, 3, 4, 5,
...
แบบรูปที่จำนวนเพิ่มขึ้นทีละ 2: 2, 4, 6, 8, 10,
...
แบบรูปที่จำนวนเพิ่มขึ้นทีละ 10: 11, 21, 31, 41,
...
::
แบบรูปของจำนวนที่ลดลง ตัวอย่าง
แบบรูปที่จำนวนลดลงทีละ 1: 9, 8, 7, 6, 5,
...
แบบรูปที่จำนวนลดลงทีละ 2: 19, 17, 15, 13, 11,
...
::
แบบรูปของจำนวนที่ซ้ำ
ตัวอย่าง
แบบรูปที่ 1: 1, 22, 2, 22, 3, 22, 4, 22,
...
แบบรูปที่ 2: 4, 56, 6, 56, 8,
...
แบบรูปที่ 3: 123, 4, 123, 5, 123, 6,
...
1.2.2.
แบบรูปเรขาคณิต
(Geometric Patterns) เป็นแบบรูปที่แสดงชุดของรูปเรขาคณิตที่มีความสัมพันธ์กันในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง
แบ่งออกเป็น
:: แบบรูปที่มีความสัมพันธ์ในลักษณะของรูปร่าง เช่น
จากการจะสังเกตเราจะเห็นว่าแบบรูปแต่ละแถวเป็นแบบรูปที่ประกอบด้วยรูปเรขาคณิตสีเดียวกันแตกต่างกันเพียงรูปทรงที่เรียงสลับตามลำดับซ้ำกันไปเรื่อยๆ
:: แบบรูปที่มีความสัมพันธ์ในลักษณะของสี เช่น
|
|
:: แบบรูปที่มีความสัมพันธ์ในลักษณะของขนาด เช่น
| |
1.2.3.
แบบรูปอื่นๆ
(Picture Patterns)
เป็นแบบรูปที่แสดงชุดของรูปภาพที่ไม่ใช่รูปเรขาคณิตที่มีความสัมพันธ์กันในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง เช่น แบบรูปที่มีทิศทางสัมพันธ์กัน
|
|
1.3.
เราจะหาจำนวนที่อยู่ถัดไปของแบบรูปได้อย่างไร
?
ให้นักเรียนพิจารณาเกี่ยวกับความสัมพันธ์ในชีวิตประจำวัน
เช่น ราคาค่าดูตั๋วหนัง ดังต่อไปนี้
จากตารางจะพบว่า
1. จำนวนที่อยู่ในแถวของจำนวนคนเป็นจำนวนนับคือ 1, 2, 3, 4, 5, . .
.
2. จำนวนที่อยู่ในแถวของราคา เป็น 90 เท่าของจำนวนคน ซึ่งอยู่ในหลักเดียวกัน เช่น จำนวนคน 2 คน จะสัมพันธ์กับ 180
ซึ่งเท่ากับ
90x2
ถ้าเรามีจำนวนคนหรือลำดับที่
ซึ่งไม่ได้ระบุจำนวนที่แน่นอน จะใช้อักษรภาษาอังกฤษ เช่น คนที่
n
ซึ่งเป็น 90 เท่าของ
n
จะเขียนเป็น
90n
ซึ่งหมายถึง 90
x n
เรียก
n
ว่าตัวแปร
3. เมื่อทราบจำนวนคนที่
n
สัมพันธ์กับราคา
90n
บาท เราก็สามารถหาจำนวนของจำนวนคนที่เท่าไรก็ได้ เช่น หาจำนวนของจำนวนคนที่ 100 ได้จาก
90x100
ซึ่งเท่ากับ 9,000
4. ถ้าต้องการหาว่าจำนวนราคาที่ 630 บาท อยู่ในลำดับของจำนวนคนที่เท่าไรก็หาได้จาก 630 หารด้วย 90 หรือหาจำนวนมาแทน
n
ใน
90n
เพื่อให้ได้ผลคูณเท่ากับ 630
ซึ่งจะได้ว่า 630 เป็นลำดับของจำนวนคนที่ 7
2.
คำตอบของสมการ
2.1.
สมการคืออะไร ?
สมการ
คือ
ประโยคที่แสดงการเท่ากันของจำนวน โดยมีสัญลักษณ์ “
=
”
บอกการเท่ากันบอกการเท่ากัน
เช่น a + b = b +a x + 2 = 27
x + 9 = -2 y + 2 = -3
และจะเรียกประโยคสัญลักษณ์ที่ไม่เท่ากัน โดยมีสัญลักษณ์
≠, <, >, ≤,
≥ ฯลฯ แสดงการไม่เท่ากัน
ว่า
อสมการ
เช่น 5×5
≠ 45
x + 3 < 9
:: ตัวแปร คือ ตัวอักษรหรือสัญลักษณ์ที่ใช้แทนจำนวนที่ยังไม่ทราบค่าในสมการ
:: ค่าคงตัว คือ
ตัวเลขใช้แทนจำนวนที่มีค่าแน่นอน
พิจารณาสมการที่ไม่มีตัวแปรหลายๆสมการต่อไปนี้แล้ว ให้นักเรียนช่วยกันบอกว่า สมการใดเป็นสมการเป็นจริงหรือไม่เป็นจริง
เช่น
5 + 7 = 12 …………………… 18 – 2 = 10 ……………………
8 + 9 = 19
…………………… 29 – 5 = 24 …………………… จะเห็นว่าสมการที่ไม่มีตัวแปรนั้นสามารถบอกได้ทันทีว่าเป็นสมการที่เป็นจริงหรือไม่เป็นจริง ดังนั้นสรุปว่า
สมการที่เป็นจริง
จึงหมายถึง สมการที่มีจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือของเครื่องหมาย = มีค่าเท่ากันกับจำนวนที่อยู่ทางขวามือ
ต่อไปพิจารณาสมการที่มีตัวแปรดังนี้ แล้วให้นักเรียนบอกว่าสมการเป็นจริงหรือไม่เป็นจริง
x – 6 = 5 …………………… x + 4 = -7 ……………………
x + 9 = -2 …………………… x – 9 = 2 ……………………
จะเห็นว่าสมการที่มีตัวแปรนั้น ยังไม่สามารถบอกได้ทันทีว่า เป็น สมการที่เป็นจริงหรือไม่เป็นจริง
2.2. อะไรคือคำตอบของสมการ
?
จากตารางต่อไปนี้กำหนดสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวหลายๆ สมการและให้นักเรียนบอกสมการเป็นจริงหรือไม่เป็นจริง ดังนี้
จากตารางข้างต้นสามารถ สรุปได้ว่า จำนวนที่แทนตัวแปรในสมการแล้วทำให้สมการเป็นจริง
เรียกว่า คำตอบของสมการ และกล่าวได้ว่าจำนวนนั้นสอดคล้องกับสมการ
คำตอบของสมการ นั้นมี 3 แบบ ตามลักษณะคำตอบ ดังนี้
1. สมการที่มีจำนวนบางจำนวนเป็นคำตอบ เช่น
ตัวอย่างที่
1 จงหาคำตอบของสมการ x
– 2 = 5 โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปร
วิธีทำ
เนื่องจาก ………… – 2 = 5 เมื่อแทน x ด้วย 7 ใน x – 2 = 5
แล้วจะได้สมการที่เป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของสมการ x – 2 = 5 คือ 7
2. สมการที่มีจำนวนทุกจำนวนเป็นคำตอบ เช่น
ตัวอย่างที่ 2 จงหาคำตอบของสมการ b+3=3+b โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปร
วิธีทำ เนื่องจากเมื่อแทน b ด้วยจานวนใด ๆ ใน b + 3 = 3 + b
แล้วจะได้สมการที่เป็นจริงเสมอ
ดังนั้น คำตอบของสมการ b + 3 = 3 + b คือ จำนวนทุกจำนวน
3. สมการที่ไม่มีจำนวนใดเป็นคำตอบ เช่น
ตัวอย่างที่
3 จงหาคำตอบของสมการ y + 7 = y โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปร
วิธีทำ เนื่องจากไม่มีจำนวนใดเลยแทน y ใน y + 7 = y
แล้วจะได้สมการที่เป็นจริงเสมอ
ดังนั้น ไม่มีจำนวนใดเป็นคำตอบของสมการ y + 7 = y
ทั้งหมดนี้ขึ้นอยู่กับรูปแบบของสมการที่กำหนด
3.
การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
3.1. สมบัติของการเท่ากัน
นักเรียนได้ศึกษาวิธีการหาคำตอบของสมการโดยวิธีการลองแทนค่าตัวแปรแล้ว พบว่า บางครั้งอาจมีปัญหาในการใช้วิธีนี้
เมื่อสมการมีความยุ่งยาก ซับซ้อนมากขึ้น จึงจำเป็นต้องมีวิธีการหาคำตอบของสมการ ด้วยวิธีที่สะดวกและรวดเร็วกว่านี้
ดังนั้น นักเรียนจำเป็นต้องมีควมรู้เกี่ยวกับ สมบัติของการเท่ากัน ในการหาคำตอบ
3.2.
เราจะแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวได้อย่างไร
?
การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ในทีนี้จะกล่าวย่อๆ ว่า การแก้สมการ ซึ่งหมายถึง การหาคำตอบของสมการ เพื่อความสะดวกและรวดเร็วในการหาคำตอบของสมการ จะใช้สมบัติของการเท่ากันในการหาคำตอบ ได้แก่
สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด สมบัติการบวกและสมบัติการคูณซึ่งได้ศึกษาไปในหัวข้อที่แล้วเพื่อช่วยในการหาคำตอบขอให้นักเรียนสังเกตการใช้สมบัติของการเท่ากันในการหาคำตอบดังนี้
x + 5 = 8
(1) (x + 5) + (-5) = 8 + (-5) เป็นการใช้สมบัติการบวก คือ นำ -5 มาบวกกับ x + 5 และ 8
(2) x + [5 + (-5)] = 8 + (-5) เป็นการใช้สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการบวก
(3) x + 0 = 3 เป็นการใช้สมบัติสมมาตรและสมบัติถ่ายทอด คือ
จาก x + [5 + (-5)] = x + 0
ดังนั้น x + 0 = x + [5 + (-5)]
และ 8 + (-5) = 3
ดังนั้น x + 0 = x + [5 + (-5)]
และ
x + [5 + (-5)] = 8 + (-5)
และ 8 + (-5) = 3
นั่นคือ x + 0 = 3
(4) x = 3
(5) ตรวจสอบ แทน x = 3 สมการ x
+ 5 = 8 ได้ 3 + 5 = 8 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง
ตัวอย่างที่
4 จงแก้สมการ
4x = -12
วิธีทำ 4x = -12
นำ 4 มาหารทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
4x/4 =
-12/4 หรือ
x =
-3
ตรวจสอบคำตอบ
แทนค่า
x = -3
ในสมการ
4x
= -12
จะได้ 4
×
(-3)
= -12
-12 = -12 เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น
–3 เป็นคำตอบของสมการ
4x = -12
4. โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
4.1. ขั้นตอนและวิธีการแก้โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
การแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ จะแก้ได้โดยง่าย ถ้าเขียนความสัมพันธ์ของสิ่งที่ต้องการหา ให้อยู่ในรูปของสมการ
และหาคำตอบของสมการนั้นด้วยโดยทั่วไป เราใช้ตัวแปรแทนจำนวนหรือสิ่งที่ต้องการหายกตัวอย่างตัวแปร เช่น a, b, c, x, y เป็นต้น และนิยมใช้ตัวแปร x แทนจำนวนหรือสิ่งที่ต้องการหา พิจารณาโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ดังนี้
ก่อนมาโรงเรียนคุณแม่ให้เงินน้องปูนจำนวนหนึ่ง
รวมกับที่คุณพ่อให้เงินอีก 10 บาท เป็นเงิน 25 บาท อยากทราบว่าคุณแม่ให้เงินกี่บาท
ให้ x แทนจำนวนเงินที่คุณแม่ให้
เขียนสมการได้ดังนี้……………………………………………
ตัวอย่างที่ 1 จำนวนจำนวนหนึ่งรวมกับ 3 เท่ากับ 15
ให้ x แทนจำนวนจำนวนหนึ่ง
เขียนสมการได้ดังนี้ x + 3 = 15
ตัวอย่างที่ 2 เตยมีเงินเป็น 2 เท่าของตาล ถ้าเตยมีเงิน 400 บาท
ตาลมีเงินเท่าไร
ให้ x แทนจำนวนของตาล
เขียนสมการได้ดังนี้
2X =
400
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตัวอย่างที่
3 สองเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งมากกว่า 10 อยู่ 28 จงหาจำนวนนั้น
วิธีทำ
ให้
x
แทนจำนวนนั้น
สองเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่ง คือ
2x
สองเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งมากกวา 10 คือ
2x - 10
สองเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งมากกว่า 10 อยู่ 28 คือ
2x - 10 =
28
นำ 10
มา บวก ทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
2x
- 10 + 10 =
28
+
10 หรือ 2x =
38
นำ
2
มา หาร ทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
2x/2 =
38/2 หรือ
x = 19
ตรวจสอบ แทน
x
ด้วย 19
ในสมการ
2x - 10
= 28
จะได้
2(19) - 10 = 28
เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น
19
เป็นคำตอบของสมการ
2x - 10
=
28
อ้างอิง
ครูครรชิต
แซ่โฮ่. โรงเรียนจันทร์ประภัสสร์อนุสรณ์.สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว.สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต
15
Emotystyle.(ออนไลน์).สมการเชิงเส้น.อ้างเมื่อ 23
กุมภาพันธ์
2557.
แหล่งที่มา
://e-learning.kusol.org/mod/scorm/player.php