�Ť����
��û���ء��ؾѹ����С���Թ�ԡ���
����Ҥ���٧�ش��е���ش
����� ��� f �繿ѧ��ѹ����ǧ I ��� t Î I
1. ��Ҩ����¡ f(t) �������٧�ش����ѷ�� (relative maximum) �ͧ f ���ش t ��������� �ըӹǹ�ǡ h ������� f(x) £ f(t) �ء � x Î (t-h,t+h) ������¡�ش (t,f(t)) ��� �ش�٧�ش����ѷ���ͧ f
2. ��Ҩ����¡ f(t) �����ҵ���ش����ѷ�� (relative minimum) �ͧ f ���ش t ��������� �ըӹǹ�ǡ h ������� f(x) ≥ f(t) �ء � x Î (t-h,t+h) ������¡�ش (t,f(t)) ��� �ش����ش����ѷ���ͧ f
3. ��Ҩ����¡ f(t) �������٧�ش�����ó� (absolute maximum) �ͧ f �� I ��������� f(x) £ f(t) �ء � x Î I ������¡�ش (t,f(t)) ����ش�٧�ش�����ó��ͧ f
4. ��Ҩ����¡ f(t) �����ҵ���ش�����ó� (absolute minimum) �ͧ f �� I ��������� f(x) ≥ f(t) �ء � x Î I ������¡�ش (t,f(t))
����ش����ش�����ó��ͧ f
����Ҥ���٧�ش��Ф�ҵ���ش�Ըշ�� 1 (����ؾѹ���ѹ�Ѻ 1)
��ɮպ���� f �繿ѧ��ѹ������ͧ��� t ��� f’(t) = 0 ���� f’(t) �Ҥ������� ����ժ�ǧ (a,b) ��� t Î (a,b) ��з���� f’(x) > 0 ����� x Î (a,t) ��� f’(x) < 0 ����� x Î (t,b) ���� f(t) ��������٧�ش����ѷ���ͧ f ���ش t
���٨�� ���ͧ�ҡ f �繿ѧ��ѹ������ͧ��� t ���Щй�� f ��������ش t ��������ժ�ǧ (a,t) ������� f’(x) > 0 ����� x Î (a,t)
������� f ���繿ѧ��ѹ������ [a,t] ��� f(t) > f(x) ' x Î [a,t)
�ժ�ǧ (t,b) ������� f’(x) < 0 ����� x Î (t,b)
������� f ���繿ѧ��ѹŴ�� [t,b] ��� f(t) > f(x) ' x Î (t,b]
�ѧ��� f(t) > f(x) ' x ≠ t ��� x Î [a,b]
��蹤�� f(t) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش t
��ɮպ� ��� f �繿ѧ��ѹ��������ͧ��� t ��� f’(t) = 0 ���� f’(t) �Ҥ������� ����ժ�ǧ (a,b) ��� t Î (a,b) ����� f’(x) < 0 ����� x Î (a,t) ��� f’(x) > 0 ����� x Î (t,b) ���� f(t) ������ҵ���ش����ѷ���ͧ f ���ش t �֧������ f’(t) ���Ҥ������� f(t) ���繤���٧�ش (���͵���ش) ���� �ѧ��ѹ f ��ٻ f’(t) �դ�������� ∞ ��蹤�� f’(t) �Ҥ������� �� f(t) �繤���٧�ش
��� f(t) ���������٧�ش����ѷ�� ��Ҩ����¡��� ��ҷ���ش (extreme value) ���� extremum �ͧ f
��� f �������
f’(t) = 0 ���� f’(t) �Ҥ������� �����¡��� ����ԡĵ (critical value)
�Ըա���Ҥ���٧�ش����ѷ����Ф�ҵ���ش����ѷ��(����ؾѹ���ѹ�Ѻ 1)
1. �Ҥ�� f’( t)
2. �Ҥ���ԡĵ t ��
2.1 ��� f’(t) = 0 㹡óշ�� f’(t) �Ҥ����
2.2 ��� = 0 㹡óշ�� f’(t) �Ҥ�������
3. �ӡ�÷��ͺ����ԡĵ t
3.1 ��� f’(x) > 0 ����� x < t ���
f’(x) < 0 ����� x > t
���� f(t) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش a
3.2 ��� f’(x) < 0 ����� x < t ���
f’(x) > 0 ����� x > t
���� f(t) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش t
(��� x ��� x < t ���� x > t �е�ͧ�繤�ҷ����¡��������ҡ���� t ��§��硹�����ҹ�� �����繤�ҷ��������� � t ����ͧ)
������ҧ 1 ���Ҥ���٧�ش����ѷ����е���ش����ѷ��ͧ�ѧ��ѹ f
����������
f(x) = 2x3 + 4x2 – 8x + 1
�Ըշ� ������� f’(x) = 6x2 + 8x – 8
��� f’(t) = 0
���Щй�� 6t2 – 8t – 8 = 0
(3t - 2)(t + 2) = 0
t = ���� -2
������� f’() = 0, f’(x) < 0 ����� x Î (0,)
��� f’(x) > 0 ����� x Î (,1)
���Щй�� f() ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش
������� f’(-2) = 0, f’(x) > 0 ����� x Î (-3,-2)
��� f’(x) < 0 ����� x Î (-2,-1)
���Щй�� f(-2) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش -2
������ҧ 2 ���Ҥ���٧�ش����ѷ����е���ش����ѷ��ͧ�ѧ��ѹ f ����������
f(x) =
�Ըշ� ������� f’(x) =
= =
��� f’(t) = 0 ������� t = -2
�������� ����� t = 0, f’(t) ���Ҥ�������
���Щй�� ����ԡĵ�����ͧ��� ��� -2, 0
������� f’(-2) = 0, f’(x) > 0 ����� x Î (-3,-2)
��� f’(x) < 0 ����� x Î (-2,0)
���Щй�� f(-2) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش -2
������� f’(0) �Ҥ������� f’(x) < 0 ����� x Î (-2,0)
��� f’(x) > 0 ����� x Î (0,1)
���Щй�� f(0) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش 0
�ش����ش����ѷ�� ��� (0,0)
����Ҥ���٧�ش��е���ش�Ըշ�� 2 (����ؾѹ���ѹ�Ѻ 2)
��ɮպ���� f �繿ѧ��ѹ����ǧ I ��� t Î I ��� f’(t) = 0 ��� f(t) �Ҥ����
1. ��� f”(t) > 0 ���� f(t) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ��� t
2. ��� f”(t) < 0 ���� f(t) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ��� t
���٨�� ��� 1. �ҡ������ͧ f”
f”(t) = =
������� f”(t) > 0 ���ժ�ǧ�Դ J ��� t Î J ���
> 0
�ء � x ¹ t � J
��蹤�� f’(x) – f’(t) < 0 ����� x – t < 0
��� f’(x) – f’(t) > 0 ����� x – t > 0
�� f’(t) = 0
f’(x) < 0 ����� x < t
��� f’(x) > 0 ����� x > t
f(t) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ��� t
��� 2. ���٨����ѡɳ����ǡѹ
����ѧࡵ���ͧ �ҡ��ɮպ���������Ƕ֧ �óշ�� f”(t) = 0 �ѧ��� ��� f”(t) = 0 �֧��ػ��������� ������¶֧���Ըչ�鷴�ͺ����� ����Ѻ����Ըշ��ͺ�Ըշ�� 1
�Ըա���Ҥ���٧�ش����ѷ�� ��Ф�ҵ���ش����ѷ���Ըշ�� 2 (����ؾѹ���ѹ�Ѻ 2)
1. �Ҥ�� f’(x), f”(x)
2. �Ҥ���ԡĵ t ��
2.1 ��� f’(t) = 0 ������Ҥ�� f’(t) ��
2.2 ��� = 0 ������Ҥ�� f’(t) �����
3. ���ͺ����ԡĵ t
3.1 ��� f”(t) < 0 ���� f(t) ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش t
3.2 ��� f”(t) > 0 ���� f(t) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش t
3.3 ��� f”(t) = 0 ���� ���Ҥ���٧�ش���͵���ش����ѷ�����Ըչ�����������Ѻ���
�Ըշ�� 1
������ҧ 3 ���Ҥ���٧�ش����ѷ�� ��е���ش����ѷ��ͧ�ѧ��ѹ f ���������� f(x) = x4
�Ըշ� f’(x) = 4x3
��� f’(t) = 0
4t3 = 0
t = 0
f”(x) = 12x2
f”(0) = 0
��蹤�����Ըշ�� 2 ���ͺ����� ��ͧ���Ըշ�� 1 ���ͺ �ѧ���
���ͧ�ҡ f’(0) = 0, f’(x) < 0 ����� (-1,0)
��� f’(x) > 0 ����� (0,1)
���Щй�� f(0) ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش 0
������ҧ 4 ���Ҥ���٧�ش����ѷ�� ��е���ش����ѷ��ͧ�ѧ��ѹ f ����������
f(x) = x3 - x2 – 18x +
�Ըշ� f’(x) = 3x2 – 15x – 18
f”(x) = 6x – 15
��� f’(t) = 0
3t2 – 15t – 18 = 0
(3t + 3)(t – 6) = 0
t = -1, 6
������� f’(-1) = 0 ��� f”(-1) = -21 < 0
���Щй�� f(-1) = 11 ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش -1 ��Шش�٧�ش����ѷ���� (-1,11)
������� f’(6) = 0 ��� f”(6) = 21 > 0
���Щй�� f(6) = ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش 0 ��Шش����ش����ѷ���� (6,
)
������ҧ 5 ���Ҥ���٧�ش����ѷ�� ��е���ش����ѷ��ͧ�ѧ��ѹ f ����������
f(x) = x + ����� x ¹ 0
�Ըշ� f’(x) = 1 - =
f”(x) =
��� f’(t) = 0
t2 – 4 = 0
t = 2, -2
������� f’(2) = 0 ��� f”(2) = 1 > 0 �ٻ��� 8.1.5
���Щй�� f(2) = 4 ���繤�ҵ���ش����ѷ��ͧ f ���ش 2
������� f’(-2) = 0 ��� f”(-2) = -1 < 0
���Щй�� f(-2) = - 4 ���繤���٧�ش����ѷ��ͧ f ���ش - 2
(�������� ����٧�ش����ѷ�� �����繵�ͧ�դ���ҡ���Ҥ�ҵ���ش����ѷ��)
��ҧ�ԧ : //home.npru.ac.th/teerawat/Cal1_Web/chap81.htm
ʶҹ� : ��������� ����ͧ����Ѵ��ФǺ��� |