หัวขอ้ เรอื่ ง (Topics)
4.1 เปอร์เซน็ ไทล์ 4.2 เดไซล์ 4.3 ควอไทล์
สมรรถนะย่อย (Element of Competency)
แสดงความรูเ้ กย่ี วกบั เปอร์เซน็ ไทล์ เดไซล์ และควอไทล์
จุดประสงค์เชงิ พฤตกิ รรม (Behavioral Objectives)
1. อธิบายความหมายและวธิ กี ารคานวณหาคา่ เปอรเ์ ซน็ ไทลไ์ ด้ 2. อธิบายความหมายและวิธีการคำนวณหาค่าเดไซลไ์ ด้ 3. อธิบายความหมายและวิธกี ารคำนวณหาคา่ ควอไทลไ์ ด้
1
4.1 เปอรเ์ ซ็น
เปอรเ์ ซ็นไทล์ (Percentile) หมายถึง ตำแหนง่ ที่แสดงให้ทราบวา่ มจี ำนวนรอ้ ยละเท่าไรของ จำนวน คะแนนท่ีมคี ่าตำ่ กวา่ คะแนนท่ตี ำแหน่งนัน้ เชน่ นักศึกษาคนหนงึ่ สอบวชิ าภาษาไทยได้ 54 คะแนนและ คะแนน 54 น้ี อย่ตู ำแหนง่ เปอร์เซน็ ไทลท์ ี่ 60 หมายความว่า รอ้ ยละ 60 ของนักศึกษา กลุ่มนน้ั ไดค้ ะแนน วชิ าภาษาไทยตำ่ กว่า 54 คะแนน
4.1.1 การคำนวณหาค่าคะแนนทีต่ ำแหน่งเปอร์เซน็ ไทล์ทกี่ ำหนดให้ การคำนวณหาคา่ เฉลีย่ ท่ตี ำแหนง่ เปอรเ์ ซ็นไทลท์ กี่ ำหนดให้สามารถทำได้ 2 วธิ ี คือ
สำหรบั คะแนนที่ไมไ่ ดจ้ ดั หมวดหมู่ และสำหรบั คะแนนทจี่ ัดหมวดหมู่ 1. การคำนวณหาคะแนนทีต่ ำแหน่งเปอร์เซ็นไทลท์ ่กี ำหนดให้สำหรบั ขอ้ มลู ทไี่ ม่ได้จัดหมว
หมู่ ตัวอย่างท่ี 4.1 ผลการสอบวิชาสถิตขิ องนักศกึ ษาระดบั ประกาศนยี บตั รวชิ าชพี ชนั้ สูง จำนวน 20
คนได้คะแนนสอบดังต่อไปนี้ 67 45 73 78 38 54 61 41 53 36 55 37 74 65 47 34 66 68 77 44
คะแนนเทา่ ไหร่ท่แี สดงวา่ นกั ศกึ ษาร้อยละ 75 ของนกั ศึกษา 20 คนนไ้ี ด้คะแนนตำ่ กวา่ คะแนนนนั้ วิธที ำ ก. เรยี งลำดับคะแนนสอบจากนอ้ ยไปหามาก ดังน้ี 34 36 37 38 41 44 45 47 53 54 55 61 65 66 67 68 73 74 77 78 ข. หาตำแหนง่ เปอร์เซ็นไทลท์ ก่ี ำหนดให้ จากตำแหน่งของคะแนนทเี่ รยี งลำดับ
แลว้ ในขอ้ 1 คะแนนในตำแหน่งเปอรเ์ ซ็นไทลท์ ี่ 75 คือ (75 x 20) / 100 = 15 ดังนน้ั จากคะแนนทเ่ี รยี งลำดับแล้ว ตำแหน่งท่ี 15 คอื คะแนน 67 ตอบ
2
2. การคำนวณหาคา่ คะแนนทีต่ ำแหน่งเปอร์เซน็ ไทล์ทกี่ ำหนดใหส้ ำหรับข้อมลู ที่จัดหมวดหมู่ เทียบบัญญัตไิ ตรยางศ์ และใช้โค้งความถี่สะสม
วธิ กี ารคำนวณคลา้ ยกบั การคำนวณหาคา่ มธั ยมฐาน ต่างกันที่การหาตำแหนง่ เปอร์เซน็ ไทล์ ในคะแนนชุดนน้ั จะไมใ่ ชค้ ะแนนในตำแหน่งกลาง (N/2) เหมอื นกับมัธยมฐาน ซ่งึ สูตรทีใ่ ช้ในการ คำนวณ ตำแหน่งเปอรเ์ ซ็นไทล์ คอื
\=L + I {( − )/( − )} เมือ่ Pr = คะแนนท่ีตำแหนง่ เปอรเ์ ซน็ ไทล์ทต่ี ้องการ L = ขดี จำกัดลา่ งชน้ั ท่ีมี F, อยู่ I = ความกว้างของอันตรภาคช้นั = ขีดจำกดั บน - ขีดจำกดั ล่าง Fn = ความถ่ีสะสมของตำแหนง่ ท่ีต้องการ = (P x N) / 100 F1= ความถสี่ ะสมของชนั้ ที่อยถู่ ดั จากชน้ั F ไปทางคะแนนน้อย F2 2 = ความถส่ี ะสมช้นั F
3
ตวั อยา่ งที่ 4.2 จงคำนวณหาคะแนนในตำแหนง่ P ซง่ึ คะแนนของนักศกึ ษา 50 คนดงั นี้
คะแนน ความถ่ี
10 – 19 2 20 – 29 8 30 – 39 9 40 – 49 14 50 – 59 8 60 – 69 6 70 – 79 3
N = 50
วธิ ที ำ
ก. สรา้ งตารางแจกแจงความถ่ีสะสมจากคะแนนน้อยไปหามาก
คะแนน ความถ่ี ความถ่สี ะสม
10 – 19 2 2 20 – 29 8 10 30 – 39 9 19 40 – 49 14 33 50 – 59 8 41 60 – 69 6 47 70 – 79 3 50
N = 50
ข. คำนวณหาความถี่สะสมของตำแหนง่ ทตี่ ้องการ (Fn) ของคะแนนทต่ี ำแหนง่ เปอร์เซ็นไทล์ ที่ กำหนดให้
4
P25 ของคะแนนชดุ น้ตี รงกบั ความถ่ีของตำแหน่งท่ี = (P x N) / 100 \= (25 x 50) / 100 \= 12.5
ดังนนั้ Fn = 12.5 ค. หาชน้ั คะแนนในตารางความถส่ี ะสม ท่มี ีตำแหนง่ ท่ีตอ้ งการ (Fn) อย่ซู ึง่ ตำแหน่งที่ 12.5 อยู่ ในช้นั ที่มคี ะแนนระหวา่ ง 30–39 ดังนั้น
L = 29.5 I = 19.5 – 9.5 = 10 F1 = 10 F2 = 19 ง. คำนวณหาคะแนนในตำแหน่งเปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ีกำหมด จากสูตร Pr = L + I{( Fn−F1 )/ (F2− F1)} P25 = 29.5 + 10 {(12.5 − 10)/ (19 − 10)}
\= 29.5 + 10 {2.5 / 9} \= 29.5 + 2.78 P25 = 32.28 ดงั นั้นคะแนนในตำแหนง่ P25 ของคะแนนชุดนค้ี อื 32.28 ซ่ึงหมายถงึ นักศึกษาร้อยละ 25 ของนักศึกษา 50 คน ได้คะแนนตำ่ กว่า 32.28 คะแนน 4.1.2 การคำนวณหาตำแหน่งของเปอรเ์ ซ็นไทลข์ องคะแนนท่ีกำหมดให้
5
การคำนวณหาตำแหนง่ ของเปอร์เซน็ ไทลข์ องคะแนนท่ีกำหมดใหส้ ามารถทำได้ 2 วิธี คือ สำหรบั คะแนนทไ่ี ม่ได้จัดหมวดหมู่ และสำหรับคะแนนทจ่ี ัดหมวดหมู่
1. การคำนวณหาตำแหนง่ ของเปอรเ์ ซ็นไทล์ของคะแนนทก่ี ำหมดใหส้ ำหรับข้อมูลทไี่ ม่ไดจ้ ดั หมวดหมูใ่ หเ้ รยี งลำดับของคะแนนจากน้อยไปมาก แล้วหาตำแหนง่ เปอร์เซฯ็ ไทล์ จาก สตู ร P.R. = (100 R) / N เมอ่ื P.R. = ตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ R = อันดับทีข่ องคะแนน N = จำนวนประชากร
ตวั อยา่ งที่ 4.3 ผลการสอบวชิ าภาษาอังกฤษของนกั ศึกษาชน้ั ปที ี่ 3 จำนวน10 คน มีคะแนน เรยี งลำดับจากน้อยไปหามากดังนี้ 32 43 44 51 55 63 66 70 75 84 จงหาตำแหนง่ เปอร์ไทล์ของ คะแนนของนกั ศกึ ษา 10 คนดังนี้
วธิ ีทำ คะแนนท่เี ปน็ อนั ดบั ท่ี 1 คือคะแนนต่ำสดุ ของคะแนนชุดน้ี คอื 32 สามารถคำนวณหา เปอรเ์ ซ็นไทลไ์ ดจ้ ากสูตร
P.R. = (100 R) / N P.R.(1) = (100(1)) / 10
\=100 / 10 \= 10 P.R.(2) = (100(2)) /10 \= 200 / 10 \= 20
6
ดงั น้นั ตำแหนง่ เปอร์เซ็นไทล์ของคะแนนของนกั ศึกษา 10 คนนีค้ อื 10 , 20 , 30 ,….,100
2. การคำนวณตำแหนง่ ของเปอร์เซ็นไทล์ของคะแนนทก่ี ำหนดให้สำหรบั ข้อมลู ท่จี ดั หมวดหมู่ คำนวณหาตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ จากสตู ร Pr = L + I{(Fn− F1)/(F2− F1)}
เม่ือ Pr = คะแนนทีต่ ำแหน่งเปอร์เซ็นไทลท์ ่ตี ้องการ
L = ขดี จำกดั ลา่ งชัน้ ทีม่ ี Fn
I = ความกวา้ งของอนั ตรภาคชน้ั = ขีดจำกัดบน – ขีดจำกัดลา่ ง
Fn = ความถ่สี ะสมของตำแหน่งท่ตี อ้ งการ = (P x N) / 100 F1 = ความถสี่ ะสมของช้นั ที่อยถู่ ดั จากช้ัน Fn ไปทางคะแนนนอ้ ย F2 = ความถ่สี ะสมช้นั Fn ตัวอยา่ งท่ี 4.4 จงหาคะแนน 35 อยใู่ นตำแหนง่ เปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ่ีเท่าไหร่ ซึ่งคะแนนของนักศึกษา
50 คน ดังนี้
คะแนน ความถี่
10 – 19 2 20 – 29 8 30 – 39 9 40 – 49 14 50 – 59 8 60 – 69 6 70 – 79 3
N = 50
7
วิธที ำ ก. สรา้ งตารางแจกแจงความถสี่ ะสมจากคะแนนน้อยไปหาคะแนนมาก
คะแนน ความถ่ี ความถ่สี ะสม
10 – 19 2 2 20 – 29 8 10 30 – 39 9 19 40 – 49 14 33 50 – 59 8 41 60 – 69 6 47 70 - 79 3 50
N = 50
จากตารางความถี่สะสม แสดงวา่ คะแนน 35 อยู่ในชนั้ คะแนน 30-39 ดังน้ัน L = 29. I = 19.5-9.5 = 10
F1 = 10 F2 = 19 ข. หาตำแหน่งที่ต้องการ Fn จากสตู ร
Pr = L + I{(Fn − F1)/ (F2 − F1)}
35 = 29.5 + 10 {Fn − 10) / (19 − 10)} 35 – 29.5 = 10 {Fn − 10) / 9}
5.5 = (10/9)(Fn − 10) (5.5)(9)/10 = Fn – 10
4.95 = Fn – 10
8
Fn = 14.95 เนื่องจาก Fn = (P x N) 100 จะได้ 14.95 = (P x 50) 100 P = 14.95 x 100 / 50 P = 29.9 ดงั นัน้ คะแนน 35 อย่ใู นตำแหน่งเปอรเ์ ซ็นไทล์ 29.9
4.2 เดไซล์
เดไซล์ (Decile) หมายถงึ ตำแหนง่ ท่แี สดงให้ทราบว่ามจี ำนวนข้อมูลเท่าไรใน 10 ส่วนของ จำนวน ข้อมลู ทั้งหมดทม่ี ีค่าตำ่ กว่าขอ้ มลู ท่ีตำแหนง่ นั้น เช่น นักศกึ ษาคนหนงึ่ สอบวชิ าสังคมศกึ ษาได้ คะแนน 55 คะแนน และคะแนน 55 นี้ อยใู่ นตำแหนง่ เดไซลท์ ี่ 7 (D7) หมายความวา่ 7 ใน 10 ของ นักศึกษากลมุ่ นน้ั ได้ คะแนนวิชาสงั คมศกึ ษาตำ่ กวา่ 55 คะแนนและ 3 ใน 10 ของนกั ศึกษากลุม่ นั้นได้ คะแนนวชิ าสงั คมศกึ ษาสูงกว่า 55 คะแนน
เปรยี บเทยี บเดไซลแ์ ละเปอร์เซน็ ไทล์ ดงั น้ี
D1 = P10 D2 = P20
…=… D10 = P100
ดงั นน้ั การคำนวณหาเดไซลจ์ งึ ใชว้ ิธเี ดยี วกันกับการคำนวณหาเปอรเ์ ซ็นไทล์ ต่างกันทก่ี ารแบ่ง หมู่ เท่านัน้ คอื การคำนวณเดไซล์ต้องแบง่ หมูอ่ อกเป็น 10 สว่ น แตเ่ ปอรเ์ ซน็ ไทลแ์ บง่ หมู่ออกเป็น 100 ส่วน
9
4.3ควอไทล์
ควอไทล์ (Quartile) หมายถงึ ตำแหน่งท่แี สดงให้ทราบวา่ มีจำนวนขอ้ มลู เทา่ ไรใน 4 สว่ นของ จำนวน ขอ้ มูลทัง้ หมดทมี่ คี า่ ต่ำกวา่ ข้อมูลท่ตี ำแหน่งนน้ั เชน่ นักศึกษาคนหน่งึ สอบวชิ าสถิตไิ ดค้ ะแนน 72 คะแนน และคะแนน 72 คะแนนน้อี ยู่ในตำแหน่งควอไทลท์ ่ี 3 ( 3) หมายความวา่ 3 ใน 4 ของ นักศึกษากลมุ่ นั้นได้ คะแนนวชิ าสถิตติ ่ำกว่า 72 คะแนนและ 1 ใน 4 ของนักศึกษากลมุ่ นน้ั ไดค้ ะแนน วชิ าสถิตสิ ูงกว่า 72 คะแนน
เปรียบเทยี บควอไทล์ และเปอรเ์ ซ็นไทล์ ดงั น้ี Q1 = P25 Q2 = P50 Q3 = P75 Q10 = P100
ดังนั้น การคำนวณหาควอไทล์จึงใช้วิธีเดยี วกันกบั การคำนวณหาเปอรเ์ ซน็ ไทล์ ต่างกนั ท่ีการ แบง่ หมู่ เทา่ นน้ั คือ การคำนวณควอไทลต์ อ้ งแบง่ หมู่ออกเป็น 4 สว่ น แต่เปอร์เซน็ ไทล์แบ่งหมู่ ออกเป็น 100 สว่ น ตัวอย่างท่ี 4.5 จงคำนวณหาคะแนนในตำแหนง่ Q3 ซ่ึงคะแนนของนกั ศึกษา 50 คน ดังนี้
10
คะแนน ความถ่ี
10 – 19 2
20 – 29 8
30 – 39 9
40 – 49 14
50 – 59 8
60 – 69 6
70 - 79 3
N = 50
วธิ ที ำ สร้างตารางแจกแจงความถสี่ ะสมจากคะแนนนอ้ ยไปหาคะแนนมาก
Q3 ของข้อมูลชุดนอี้ ยูใ่ นตำแหนง่ ที่ = (Q x N) / 4 \= (3 x 50) / 4 \= 37.5
ตำแหน่งท่ี 37.5 อยูใ่ นชนั้ ท่มี ีคะแนนระหว่าง 50-59 Fn = 37.5 L = 49.5 I = 10 F1 = 33 F2 = 41
จากสูตร = L + I {(Fn − F1)/(F2 − F1)} 3 = 49.5 + 10 {(37.5 − 33) / (41 − 33)} \= 49.5 + 10 {(4.5) / (8)}
11
\= 49.5 + 5.625
Q3 = 55.125
ดังน้ัน คะแนนท่ีตำแหน่ง 3 ของขอ้ มลู ชุดนี้ คอื 55.125 ตอบ
การหาตำแหน่งข้อมลู เปน็ การบอกถึงตำแหน่งทขี่ อ้ มูลอยู่ และยงั สามารถบอกได้ด้วยว่า มี ขอ้ มลู จำนวนเทา่ ไรทม่ี ีค่าต่ำกวา่ และมขี ้อมลู จำนวนเทา่ ไรทีม่ ีคา่ มากกว่า การหาตำแหน่งขอ้ มลู มี 3 คา่ ไดแ้ ก่ ควอไทล์ เดไซลแ์ ละเปอร์เซน็ ไทล์ โดยควอไทล์จะแบง่ ขอ้ มูลออกเปน็ 4 สว่ นเท่า ๆ กนั เด ไซลจ์ ะแบง่ ข้อมลู ท้งั หมดออกเปน็ 10 ส่วนเทา่ ๆ กันและเปอร์เซน็ ไทล์จะแบ่งข้อมูลท้ังหมดออกเป็น 100 ส่วนเท่า ๆ กนั
เปอร์เซน็ ไทล์ เดไซลแ์ ละควอไทล์ เป็นค่าทแ่ี สดงตำแหน่งของข้อมลู เมอ่ื เทียบกับจำนวนของ ข้อมูล ทั้งหมด ทำใหท้ ราบว่ามีข้อมูลที่มีคา่ ต่ำกวา่ หรือเท่ากบั ตัวมันอยูเ่ ป็นจำนวนเท่าไร และมีข้อมูล ทีม่ คี า่ สูงกวา่ ตวั มนั อยู่เป็นจำนวนเท่าไร โดยเปอรเ์ ซ็นไทล์จะแบง่ ออกเป็น 100 ส่วนเทา่ ๆ กัน เดไซล์ จะแบ่งข้อมลู ออกเปน็ 10 ส่วนเท่ากัน และควอไทล์จะแบง่ ออกเปน็ 4 สว่ นเท่า ๆ กัน
จากขอ้ มูลทเ่ี ก็บรวบรวมมาได้ นอกจากจะทำการวดั แนวโน้มเขา้ ส่สู ว่ นกลางแล้วยงั สามารถหา คา่ เปอร์เซ็นไทล์ เดไซล์ และควอไทล์ ซง่ึ เป็นค่าท่แี สดงตำแหนง่ ของขอ้ มลู เพอ่ื เทียบกับจำนวนขอ้ มูล ทัง้ หมด จงึ เป็นค่าท่ีแสดงใหท้ ราบวา่ มีข้อมลู ทีม่ ีค่าต่ำกว่าหรอื เทา่ กบั ตวั มันอยจู่ ำนวนเทา่ ไร และมี ข้อมูลท่ีมีค่าสงู กวา่ ตัวมันอยู่จำนวนเทา่ ไร เช่น การจดั อันดบั ผลของการสอบ เปน็ ตน้ ในหนว่ ยน้จี ะ กลา่ วถงึ เรื่องของเปอรไ์ ซล์ เดไซล์ และควอ ไทล์